Comme on le voit donc le curieux dépôt que nous venons de décrire doit son existence à un concours de plusieurs circonstances bien spéciales. Néanmoins les côtes de Sardaigne sont si variées et si sinueuses que je ne doute nullement de l'existence, en d'autres endroits de l'ile, de formations semblables. Il n'est pas non plus illogique de supposer qu'avec le même concours de circonstances, mais sur une échelle plus vaste, il pourrait se produire des dépôts de tourbe marine plus considérables.

X. STAINIER,

Professeur à l'Université de Gand.

BIBLIOGRAPHIE

I

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES (Édition française publiée sous la direction de J. MOLK). Tome I, vol. 2, fasc. 2 et 3; tome I, vol. 3, fasc. 3 et 4; tome I, vol. 4, fasc. 4; tome II, vol. 2, fasc. 1; tome II, vol. 3, fasc. 1; tome III, vol. 1, fasc. 1; tome III, vol. 3, fasc. 1. Paris et Leipzig, Gauthier-Villars et Teubner, 1910 et 1911.

Les années 1910 et 1911 ont vu l'éclosion de neuf nouveaux fascicules de l'Encyclopédie, dont cinq relatifs au tome I (Arithmétique et Algèbre), deux au tome II (Analyse), deux au tome III (Géométrie). Le même soin a présidé à l'élaboration de ces nouveaux fascicules où l'importance relative des additions de l'édition française par rapport à l'édition allemande n'est pas moindre que dans les précédents fascicules; aussi la richesse de cette édition française est-elle véritablement incomparable. Sans rien enlever aux divers collaborateurs de l'Encyclopédie de leur très grand mérite, il est permis de faire honneur de la perfection avec laquelle cette édition française est mise au point, à M. Molk dont le zèle infiniment scrupuleux est à la hauteur de sa vaste érudition. Il n'est pas exagéré de dire que pas une ligne de cette œuvre considérable ne voit le jour sans qu'elle ait été passée au crible de sa critique vigilante, et cela explique, en dépit de la multiplicité des collaborateurs, l'homogénéité qui s'affirme dans l'ensemble de cette belle édition.

Voici maintenant la liste des articles contenus dans les fascicules ci-dessus énumérés:

Propriétés générales des corps et des variétés algébriques, d'après G. Landsberg, par J. Hadamard et J. Kürschak.

Théorie des formes et des invariants, d'après F. W. Meyer, par J. Drach (à suivre).

Théorie arithmétique des formes, d'après K. Th. Vahlen, par E. Cahen.

Propositions transcendantes de la théorie des nombres, d'après P. Bachmann, par J. Hadamard et E. Maillet (à suivre). Technique de l'assurance sur la vie, d'après G. Bohlmann, par H. Poterin du Motel.

Économie politique, par V. Pareto.

Analyse algébrique, d'après A. Pringsheim, par G. Faber et J. Molk.

Fonctions analytiques, d'après W. F. Osgood, par P. Boutroux et J. Chazy (à suivre).

Existence de l'intégrale générale. Détermination d'une intégrale particulière par ses valeurs initiales, par P. Painlevé.

Méthodes d'intégration élémentaires. Étule des équations différentielles ordinaires au point de vue formel, par E. Vessiot. Principes de la géométrie, par F. Enriques.

Notes sur la géométrie non-archimedienne, par A. Schoenflies. Les notions de ligne et de surface, d'après H. von Mangoldt, par L. Zoretti (à suivre).

Coniques, d'après F. Dingeldey, par E. Fabry (à suivre).

On remarquera que plusieurs de ces exposés, dus à MM. Pareto, Painlevé, Vessiot, Enriques, figurent dans l'édition française à titre original.

Ces divers fascicules sont complétés par une Tribune publique renfermant des remarques ou additions relatives aux parties de l'Encyclopédie déjà parues, et qui émanent pour la plupart des lecteurs eux-mêmes. En fin de publication, ces tribunes publiques, réunies en un dernier fascicule, constitueront un très intéressant supplément de l'Encyclopédie dont, sous le contrôle des autorités compétentes, la mise au point définitive aura ainsi été obtenue grâce, peut-on dire, à la collaboration de tout le monde. M. O.

II

LEÇONS SUR LE CALCUL DES VARIATIONS par J. HADAMARD, professées au Collège de France. - Paris, Hermann.

L'ouvrage dont M. Hadamard publie le premier tome aura un grand retentissement. On sait que le Calcul des Variations,

fondé par les géomètres du XVIIIe siècle, en particulier par Euler, les Bernoulli, par Lagrange, développé, au XIXe siècle, par des hommes comme Jacobi, reçut ensuite l'épreuve de la critique de Weierstrass.

On peut dire que cette science resta un peu désemparée. Après Weierstrass, on vit clairement que la doctrine ancienne, de Lagrange et de Jacobi, donne bien des conditions nécessaires, mais non point des conditions suffisantes. Tel est l'état de la question: il faut obtenir des conditions nécessaires et suffisantes. Avouons que le problème est difficile ; M. Hadamard le montre bien par la variété des méthodes qu'il expose et qu'il critique.

Il faut évidemment attendre le tome second pour avoir une vue plus nette des résultats actuels et nul, plus que M. Hadamard, n'est capable de nous la donner. Pour l'instant, parlons du premier volume, déjà riche en résultats positifs.

Le problème, en apparence élémentaire, des Maxima n'est pas encore résolu, sauf pour les fonctions d'une seule variable. Il est difficile de distinguer le maximum du minimum et du minimax (qui n'est ni l'un ni l'autre). De plus, notons-le bien, le Calcul différentiel ne sait pas distinguer un extremum relatif d'un extremum absolu. Par extremum, on entend indifféremment un maximum ou un minimum.

S'il y a tant de difficultés pour les extrema des fonctions données, on pense bien qu'elles sont décuplées lorsqu'il s'agit de déterminer la fonction, sous un signe d'intégration, de telle sorte qu'elle procure à la quadrature effectuée un extremum. Et tel est l'objet, en principe, du Calcul des Variations; en plus, il peut exister toutes sortes de conditions supplémentaires.

Lagrange a donné une condition nécessaire, qu'il obtenait par un raisonnement très ingénieux. Mais la question n'est alors qu'ébauchée, parce que nous ne savons pas si nous obtenons un extremum absolu. M. Hadamard explique ce point avec une parfaite clarté. Paul du Bois-Reymond faisait aussitôt une objection: on écrit une équation différentielle du second ordre, à laquelle la fonction inconnue doit satisfaire; sait-on si cette fonction admet une dérivée seconde continue?

Grâce à la théorie des fonctions implicites, on sait montrer maintenant que cette objection n'a rien d'embarrassant dans le cas des intégrales simples. A cet endroit, M. Hadamard introduit une courbe qu'il nomme figurative et que M. Carathéorodory appelait indicatrice; il y a lieu aussi de dessiner sa polaire réciproque, la figuratrice.

Ces images géométriques sont toujours commodes et on ne saurait trop les employer.

Après avoir supposé les limites de la quadrature fixes, ce qui simplifie beaucoup, M. Hadamard passe aux limites variables, ce qui donne des termes complémentaires dans l'équation obtenue par Lagrange. Ceci est bien connu et M. Hadamard l'expose très clairement.

Au milieu du volume, on verra apparaitre les fonctionnelles ou fonctions de lignes et de surfaces et M. Hadamard cherche visiblement à tirer tout le parti possible de cette notion. Cette idée est tout à fait nouvelle et heureuse.

Après l'étude de la variation première, nous passons à la variation seconde, aux conditions de Jacobi et de Legendre et aux relations entre les deux.

Puis vient l'exposé de la méthode de Weierstrass et il est juste de mentionner que M. Darboux, dans l'étude des géodésiques et de l'action de Maupertuis, a, de son côté, utilisé une idée analogue à celle de Weierstrass, d'une façon indépendante.

Soit une extrémale, c'est-à-dire une courbe solution de l'équation différentielle du second ordre de Lagrange; Weierstrass compare la quadrature effectuée suivant l'extrémale à la quadrature effectuée le long d'une courbe quelconque ayant les mêmes extrémités, et il fait cette comparaison en exprimant la différence par une quadrature effectuée sur la courbe de comparaison choisie.

Appelons E la fonction qui entre alors sous le signe de quadrature; si E conserve un signe constant pour toutes les courbes de comparaison, on est bien certain d'avoir un extremum. Le calcul de E est d'ailleurs lié aux propriétés de transversalité des extrémales.

Weierstrass a ainsi établi des conditions suffisantes et elles coïncident avec les conditions nécessaires, sauf dans des cas exceptionnels que l'on ne rencontre jamais dans les applications.

On peut donc considérer la question théorique comme résolue par Weierstrass. Après l'exposé de ce point de vue, M. Hadamard passe aux solutions discontinues (Carathéorodory), puis il retourne aux méthodes anciennes et c'est son dernier chapitre.

Si nous mentionnons que ce livre contient plus d'un théorème d'analyse pure, qu'il ne se borne pas au cas d'une seule fonction inconnue ni au cas où l'on a seulement dans la quadrature, la première dérivée, si nous disons que la représentation paramétrique des courbes est constamment employée après la repré