LEONHARDI EULERI OPERA OMNIA sub auspiciis Societatis scientiarum naturalium Helveticae edenda curaverunt Ferdinand Rudio, Adolf Krazer, Paul Stäckel. Series prima. Opera mathematica. Volumen I.- Leonhard Euler vollständige Anleitung zur Algebra, mit den zusätzen von Joseph Louis Lagrange, herausgegeben von Heinrich Weber, mit einem Bilde von Euler nach dem Stiche von Mechel, einem Vorwort zur Eulerausgabe, und der Lobrede von Nicolaus Fuss. Leipzig et Berlin. B. G. Teubner 1911. Un vol. in-4 de xcv-651 pages et un portrait d'Euler hors

texte.

Le premier volume des Euvres complètes d'Euler débute par une Introduction générale divisée en deux parties. Dans la première l'un des éditeurs, M. Rudio, professeur au Polytechnicum de Zurich, nous dit dans quelles circonstances la publication de ce grand ouvrage fut décidée, les conditions matérielles de l'entreprise, le plan adopté pour sa réalisation, etc. Il n'y a pas lieu de les répéter de nouveau ici, je les ai fait connaître aux lecteurs de la REVUE, il y a un an, dans mon Bulletin d'Histoire des Mathématiques et de l'Astronomie d'octobre 1910. Les Opera omnia d'Euler formeront, je le rappelle, 45 volumes in-4°, et nous y trouverons tous les travaux de l'immortel géomètre, dans la langue où il les a écrits: latin, français ou allemand. Cette première partie de l'Introduction est en allemand. La seconde, consacrée à l'Eloge d'Euler par Nicolaus Fuss est, elle aussi, dans la même langue. Fuss, il est vrai, prononça cet éloge en français, devant l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg, le 23 octobre 1783; mais il le traduisit lui-même en allemand et c'est cette traduction qu'il publia à Bàle, en 1786.

On doit la considérer comme l'édition originale. Le titre en est reproduit, dans la présente édition, par le procédé anastatique : Lobrede auf Herrn Leonhard Euler, in der Versammlung der Kayserlichen Akademie der Wissenschaften zu St. Petersburg der 23 Octob. 1783 vorgelesen von Nicolaus Fuss Professor der höhern Mathematik, und ordentlichem Mitgliede der Kayserlichen Akademie der Wissenschaften. Von dem Verfasser selbst aus dem französischen übersetzt und mit verschiedenen Zusätzen vermehrt, nebst einem vollständigen Verzeichnis der Eulerschen Schriften. Basel, bey Johann Schweighauser. 1786. La Bibliothèque Royale de Belgique en possède un exemplaire (V. H. 22198).

L'Eloge d'Euler est réédité intégralement d'après l'original allemand, avec la dédicace, la préface, les notes et les commentaires qui l'y accompagnent. Quelques-unes des assertions de Fuss, quelques faits rapportés par lui sont reconnus aujourd'hui comme erronés. Il était bon de les rectifier. Les éditeurs ne se sont cependant pas crus autorisés à toucher pour cela au texte lui-même, mais ils ont relevé les inexactitudes, dans des notes au bas des pages, signées des initiales F. R., qui les distinguent aisément des notes du texte primitif. Excellente méthode à laquelle il n'y a rien à objecter. Une bibliographie d'Euler, à première vue assez étendue, mais reconnue depuis comme très incomplète et n'offrant plus qu'un attrait de simple curiosité, était ajoutée en Appendice à l'Éloge. Les nouveaux éditeurs ont jugé inutile de la réimprimer, l'Inventaire des Euvres d'Euler publié, en 1910, par M. Eneström, dans le JAHRESBERICHT DER DEUTSCHEN MATHEMATIKER VEREINIGUNG, ayant enlevé à peu près toute importance aux bibliographies antérieures.

Le tome I des Opera omnia d'Euler est consacré en entier à ses Eléments d'Algèbre. Écrits en allemand, ils parurent à SaintPétersbourg, en 1770. Mais deux russes, Pierre Inochodtzoff et Ivan Judin, ayant eu en communication le manuscrit d'Euler, le traduisirent et le publièrent dans leur langue, dès 1768 et 1769. La traduction de l'Algèbre vit ainsi le jour avant le texte original. Cela va sans dire, c'est cependant la rédaction allemande qui nous est donnée ici. Les éditeurs y ajoutent les notes de Lagrange publiées du vivant d'Euler, en 1774. Elles contribuent à l'intérêt de l'ouvrage principal.

Le travail préparatoire à l'édition de ce premier volume a été confié à M. Henri Weber, qui y a mis beaucoup de soin et s'en est tiré avec succès. C'est de bon augure pour les volumes

suivants. L'Algèbre d'Euler contient quelques inexactitudes, disons plus, l'une ou l'autre faute véritable, notamment dans les sommations des séries que l'auteur effectue sans s'assurer au préalable de leur convergence; d'où certaines conclusions paradoxales, absolument inadmissibles. M. Weber les signale, au fur et à mesure, au bas des pages, dans des notes sobres, mais suffisantes.

L'Algèbre originale allemande était en deux volumes, dont les titres sont reproduits ici par le procédé anastatique. Voici le premier.

Vollständige Anleitung zur Algebra von Hrn. Leonhard Euler. Erster Theil. Von den verschiedenen Rechnungs-Arten, Verhällnissen und Proportionen. St. Petersburg. Gedrukt bey der Kays. Acad. der Wissenschaften 1770.

Courte Préface.

PREMIÈRE PARTIE. 1° Section. Calcul des monomes. Ch. 1. Généralités sur les mathématiques. -Ch. 2. Explication des signes plus et moins. - Ch. 3. Multiplication des monomes. Ch. 4. Décomposition des nombres entiers en facteurs. Ch. 5. Division des monomes. Ch. 6. Divisibilité des nombres entiers. -Ch. 7. Généralités sur les fractions. Ch. 8. Propriétés des fractions. Ch. 9. Addition et soustraction des fractions. Ch. 10. Multiplication et division des fractions. Ch. 11. Des nombres carrés. Ch. 12. Racines carrées et nombres irrationnels auxquels les racines carrées donnent naissance.—Ch. 13. Des impossibilités ayant la forme de racine carrée imaginaire.-Ch.14. Des cubes.Ch. 15. Racines cubiques et irrationnelles auxquelles elles donnent naissance.-Ch. 16. Généralités sur les puissances.

Ch. 17. Calcul des puissances. - Ch. 18. Racines de degré quelconque. - Ch. 19. Emploi des exposants fractionnaires pour exprimer les irrationnelles. - Ch. 20. Généralités sur les égalités. Ch. 21. Généralités sur les logarithmes. Ch. 22. Des tables de logarithmes usuelles.-Ch. 23. Construction des tables de logarithmes.

Plusieurs des sujets traités dans cette section ne font plus partie aujourd'hui des éléments d'algèbre; nous avons pris l'habitude de les mettre dans les précis d'arithmétique.

2 Section. Calcul des polynomes. - Ch. 1. Addition des polynomes.Ch. 2. Soustraction des polynomes. - Ch. 3. Multiplication des polynomes. --Ch. 4. Division des polynomes. Ch. 5. Développement des fractions en séries illimitées. - Ch. 6. Carrés des polynomes. - Ch. 7. Racines carrées des polynomes.

- Ch. 8. Calcul des radicaux. Ch. 9. Cubes et racines cubiques des polynomes. Ch. 10. Puissances supérieures des polynomes. Ch. 11. Permutations des lettres considérées comme pouvant servir de base à la démonstration de la règle de formation des termes du développement précédent. Ch. 12. Développement des puissances irrationnelles en séries infinies. Ch. 13. Développement des puissances négatives en séries infinies.

3 Section. Rapports et proportions. - Ch. 1. Rapports arithmétiques ou différence de deux nombres. Ch. 2. Proportions arithmétiques. - Ch. 3. Progressions arithmétiques. Ch. 4. Sommation des progressions arithmétiques. -- Ch. 5. Nombres figurés ou polygonaux. Ch. 6. Rapports géométriques. Ch. 7. Plus grand commun diviseur de deux nombres donnés. Ch. 8. Proportions géométriques. - Ch. 9. Remarques sur l'emploi des proportions. Ch. 10. Composition des rapports. Ch. 11. Progressions géométriques. - Ch. 12. Fractions décimales illimitées. Ch. 13. Calcul des intérêts.

Nouveau titre reproduit par le procédé anastatique : Vollständige Anleitung zur Algebra, etc... Zweiter Theil. Von Auflösung algebraischer Gleichungen und der urbestimmten Analytic. St. Petersburg, etc.., 1770.

SECONDE PARTIE. 1° Section. Des équations algébriques et de leur solution. Ch. 1. Généralités sur la résolution des problèmes. Ch. 2. Des équations du 1er degré et de leur solution. Ch. 3. Solution de quelques problèmes. - Ch. 4. Résolution des équations du 1er degré à deux et à un plus grand nombre d'inconnues. Ch. 5. Résolution des équations purement quadratiques (c'est-à-dire, des équations du 2a degré ne renfermant pas la première puissance de l'inconnue). Ch. 6. Résolution des équations quadratiques mêlées (en d'autres termes, des équations complètes du 2a degré).-Ch. 7. Extraction des racines des nombres polygonaux. Ch. 8. De l'extraction de la racine carrée des binomes. (Il s'agit de la transformation des radicaux superposés en somme de radicaux simples). - Ch. 9. Des propriétés des équations quadratiques. Ch. 10. Des équations purement cubiques (c'est-à-dire des équations cubiques binomes).

Ch. 11. Résolution des équations cubiques complètes. Ch. 12. Règle de Cardan ou de Scipion Ferrei (sic). Ch. 13. Résolution des équations du 4 degré, dites aussi équations biquadratiques. — Ch. 14. Règle de Bombelli pour ramener la résolution de l'équation biquadratique à celle d'une équation

cubique. Ch. 15. Nouvelle méthode pour résoudre l'équation biquadratique. Ch. 16. De la résolution des équations par approximations (c'est-à-dire détermination des racines numériques des équations par approximations successives).

2o Section. Analyse indéterminée. — Ch. 1. Résolution d'une seule équation à plusieurs inconnues. Ch. 2. De la règle dite Regula cæci, pour déterminer trois ou un plus grand nombre d'inconnues données par deux équations. — Ch. 3. Des équations indéterminées composées, dans lesquelles l'une des inconnues n'entre qu'au premier degré. (Par équations indéterminées composées, Euler entend celles qui sont d'un degré supérieur au premier). Ch. 4. Manière de rendre rationnelle l'expression irrationnelle (a + bx + cxx). Ch. 5. Des cas où la formule a+bx + cxx ne saurait se transformer en carré. Ch. 6. Des cas où on peut transformer la formule axx+b en carré, en prenant pour a des nombres entiers. - Ch. 7. Méthode particulières pour transformer la formule ann+1 en carré, en prenant pour a des nombres entiers. Ch. 8. Manière de rendre rationnelle l'expression irrationnelle (a + bx + cxx + dr3). Ch. 9. Manière de rendre rationnelle l'expression irrationnelle (a + bx +cxx+dx3+ex). Ch. 10. Manière de rendre rationnelle l'expression irrationnelle (a + bx + cxx + dx3).

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Ch. 11. De la décomposition de l'expression axx baxy+cyy en facteurs. Ch. 12. De la transformation de l'expression axx + cyy en carrés ou en puissances plus élevées. Ch. 13. De quelques expressions de la forme ax + by qui ne sont pas réductibles en carrés. Ch. 14. Solution de quelques questions qui appartiennent à cette partie de l'analyse. Ch. 15. Solution de quelques questions où l'on demande des cubes.

Ici se termine l'Algèbre d'Euler proprement dite. Les Additions à l'Analyse indéterminée de Lagrange parurent, pour la première fois, dans la traduction de l'Algèbre d'Euler, faite par Jean III Bernoulli, et publiée en 2 volumes à Lyon, en 1774, sous le titre : Elémens d'Algèbre par M. Léonard Euler, traduits de l'Allemand avec des notes et additions. Tome premier. De l'analyse déterminée. Tome second. De l'analyse indéterminée. Les Additions de Lagrange y occupent les pages 369-664 du second volume.

L'avertissement contient sur l'Algèbre d'Euler une appréciation intéressante. Venant de Lagrange, elle vaut la peine d'être rappelée ici.

«Les géomètres du siècle passé, dit l'auteur, se sont beaucoup