Dell'uso dei logaritmi nella risoluzione di varie equazioni. Conchiudiamo la teoria dei logaritmi, con farne qualche applica zione alla risoluzione di varie equazioni. Vogliasi il valore di x nell'equazione ab, sarà xLa=Lb..n=Lb: La Sia ora l'equazione amx =c, in questo caso bnx mx La—(nx—1) Ll=Lc, ovvero mxLa—nxLn + Lb=Lc, ovvero Cambiando i segni mxLb-x La-qx Lc-nLb, e risolvendo per I Moltiplicando per x sarà (nx-a) Lb-mx'Lc=(x2—px)Lf. Effettuando le moltiplicazioni: nxLb—a Lb—mx3Lc—x2Lƒ—pxLf. Ordinando per x —mx'Lc—x'Lƒ+nxLb+pxLf=aLb. Cambiando i segni mx Lc+x2Lf-nx Lb-px Lf-aLb. Sciogliendo in fattori x(mLc+Lf)—x(nLb+pLf)=—aLb Equazione dicesi in generale una doppia espressione di una quantità istessa, ovvero una qualunque eguaglianza tra quantità cognite ed incognite: essa si divide in due membri per mezzo del segno di ugualtà. Chiamasi radice di una equazione, quella quantità che sostituita in luogo dell'incognita rende identica l'equazione, cioè fa che i due membri sieno costituiti da sole grandezze cognite. Determinar quei valori che sostituir debbonsi all'incognita perchè l'equazione divenga identica è ciò che dicesi soluzione dell'equazione. La radice di una equazione è positiva o negativa, secondochè positivo o negativo ne è il di lei valore; è irrazionale o razionale, secondochè il di lei valore è involto o no tra' radicali; è reale o immaginaria, secondochè il di lei valore è reale o immaginario. Una equazione i cui termini sono tutti in un membro, e nell'altro non v'ha che il zero si chiama ordinata; quindi se m rappresenta il grado di una equazione, può mettersi sempre sotto la forma (E) xTM —Axm¬1+Bxm—2—Cam−3........ No, ove A, B, C... N xm .... rappresentano quantità note e reali, positive e negative. Una equazione si dice completa, quando tutte comprende le potenze dell' incognita dalla massima sino alla minima, cioè fino al termine tutto cognito. p. e. x1 + ax3 + bx2 + cx + d=o Se l'equazione è incompleta, quei termini che mancano si sostituiscono col segno p. e. x4 + bx2 + co, si scriverebbe xí + bx2 +c=0 Stabilito che le radici di una equazione sostituite in luogo di x rendono l'equazione o, stabiliremo adesso, che se una quantità a sostituita in luogo dell'incognita rende l'equazione o, questa quantità sarà radice dell'equazione, e il primo membro di essa equazione sarà divisibile per a-x. Sintenda eseguita la divisione della proposta equazione (E), per x-a, il quoziente sarà un polinomio della forma xm−1 ‡ Axm−2+ Bxm−3 + Cxm-4 +....+ L'x + M Il residuo sarà R. Moltiplicando adesso per x-a avremo xm+ Axm-1+ B'xm-2 + C'xm-3...+ L'x2+ Mx + R —axm-1-A'axm-2-B'axm-3.......-L'ax-M'a che dovrà essere identico al primo membro della proposta (E); onde paragonando i termini avremo A —a—A B' =Ʌ'a+B C'B'a-C ma a radice dell'equazione (E), dunque Ro, e perciò a divide esattamente. Da ciò si conchiude, che tante radice ha una equazione, quanti fattori di primo grado; e come il numero di questi fattori è uguale al grado dell'equazione, quindi tante sono le radici di una equazione, quante unità contiene il di lei grado. Laonde si può rappresentare una equazione, per mezzo del prodotto dei di lei fattori: così se le radici saranno a, b, c... l'equazione si potrà rappresentare per (x-a) (x—b) x—c)....=o Mostrasi da ciò, che se le radici sono tutte reali e negative, i termini saranno tutti positivi, se poi le radici sono reali e positive, i termini dell'equazione saranno alternati. Una equazione del grado m non può avere più di m radici, altrimenti un polinomio di grado m risulterebbe da un numero di fattori semplici maggiore di m, cosa che non può supporsi. Or consideriamo un polinomio qualunque xm + Axm−1 + Вxm-2.... + U=o, come formato da un numero m di fattori della forma x-a .. x-b X-C considerazione che ci dà l'identità .... xm + Axm-1 Bam-2..+U—(x—a) (x—b) (x—c)..... identità la quale deve aver luogo indipendentemente da ogni valore di x. Le relazioni che esistono tra le quantità a, b, c... e i coefficienti A, B, C... for mano le proprietà generali dell'equazioni; e sarà A= alla somma di tutte le radici, B= alla somma dei prodotti delle radici prese a due a due, C alla soma dei prodotti presi a tre a tre, l'ultimo termine al prodotto di tutte le radici. = Sopponiamo m4, i fattori semplici saranno x4+Ax3+Bx2+Cx+D_(x—a)(x—b)(x—c)(x—d). Effettuando le moltiplicazioni avremo |