rééditions de l'Arithmétique de Stevin, Albert Girard n'a pas reproduit l'échange de vues que le professeur eut à ce sujet avec son brillant élève. On le trouve ailleurs, par exemple, au tome V des Hypomnemata mathematica de Stevin.

Nous espérons que le quatrième fascicule de l'Histoire des Mathématiques élémentaires par M. Tropfke ne se fera pas attendre, et qu'il sera aussi intéressant que les trois premiers.

H. BOSMANS.

II. THE FOURTH DIMENSION, by E. H. NEVILLE, Professor of mathematics in University College. - Un vol. petit in-8° de VIII-56 pp. — Cambridge, University Press, 1921.

Dans l'introduction de sa brochure, qu'il eût pu mieux intituler Notions élémentaires de géométrie vectorielle à quatre dimensions, l'auteur émet cette opinion : le pur mathématicien n'essaie pas de « s'imaginer » unes pace quadridimensionnel (1); mais il constate « que certaines notions en Algèbre sont discutées plus promptement dans le langage géométrique » (2). Or, dit M. Neville, (2). Or, dit M. Neville, — faisant sans

(1) Nous ne sommes pas complètement d'accord avec l'auteur. Sans cependant aller aussi loin que Ch. H. Hinton (A new era of thought, Londres, 1883), nous croyons, avec W. Ostwald et d'autres, qu'il n'y a aucune impossibilité à se représenter l'espace euclidien à quatre dimensions. H. Poincaré (REVUE GÉNÉRALE DES SCIENCES, 1891, p. 774) ne devait pas être tout à fait de cet avis. Il a bien écrit : « Quelqu'un qui y consacrerait son existence pourrait peutêtre arriver à se représenter la quatrième dimension »; mais ce n'est sans doute qu'une boutade, car pour l'illustre mathématicien français (REVUE DE MÉTAPHYSIQUE ET DE MORALE, 1895, p. 631; 1897, p. 66), la conception que nous avons de l'espace aurait pour base une image se formant sur la rétine et l'idée d'une troisième dimension résulterait des efforts d'accommodation. En ce qui concerne l'existence de l'espace quadridimensionnel, il peut être intéressant de signaler, en passant, qu'on a cru y voir des allusions lointaines ! dans le Livre de Job et dans St Paul (Épitre aux Ephésiens, chap. III).

(2) La Géométrie ne serait-elle qu'une métaphore de l'Algèbre ? H. Poincaré débute son livre sur l'Analysis Situs (JOURNAL DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 1895), en faisant observer que : « les

doute allusion aux théories d'Einstein, le langage relatif à l'hyperespace vient d'acquérir soudainement un intérêt « universel et absorbant ». C'est pourquoi l'auteur s'est proposé d'écrire « un dictionnaire exposant cette terminologie» de manière à pouvoir être compris de quiconque est familier avec les éléments de la trigonométrie et de la théorie des systèmes d'équations linéaires.

M. Neville, qui ne donne aucune référence bibliographique, ne traite que du point, de la droite, du plan et de l'hyperplan (espace à trois dimensions) et, désirant rester très élémentaire, il évite les définitions de Froge-Russell et n'envisage que les nombres réels. Par exemple, une direction est définie comme étant un ensemble ordonné de quatre nombres (tétrade) dont la somme des carrés est l'unité.

L'espace à quatre dimensions est considéré comme la « totalité des tétrades ». Des néologismes, plus ou moins heureux, sont créés, que nous ne traduirons pas. Par exemple, à propos de vecteurs collinéaires, coplanaires, cospatiaux, l'auteur introduit les termes « vecline », « vecplane », « vecspace »; ainsi l'ensemble des vecteurs cospatiaux avec trois vecteurs, a, b, c non-coplanaires est un vecspace abc. Puis M. Neville généralise, à l'aide des notions précédentes, les formules ordinaires relatives aux directions et aux angles. Finalement vient l'étude de la symétrie et des déplacements. Les translations, réflexions et rotations sont considérées comme des corrélations entre deux ensembles de points. L'étude des rotations dans l'espace à quatre dimensions est la plus délicate de toutes les notions élémentaires utilisées dans la théorie de la relativité.

Un appendice (pp. 52-55) réunit quelques remarques sur différents passages et la brochure se termine par une liste alphabétique d'une soixantaine de termes.

Des exemples numériques, imprimés en petit texte, sont donnés à tout instant, ce qui facilitera la lecture aux étudiants. A signaler une méthode, plus originale que simple, pour numéroter les équations.

êtres de l'hyperespace sont susceptibles de définitions précises, comme ceux de l'espace ordinaire, et si nous ne pouvons nous les représenter, nous pouvons les concevoir et les étudier ».

Seul le principe de relativité restreinte trouve sa base analytique dans cet opuscule; le principe généralisé, qui est invoqué dans la discussion de la gravitation, exigeant des mathématiques beaucoup plus approfondies. Mais cette brochure pourra fournir une première initiation à ceux qui désirent aborder la captivante théorie de la Relativité. M. LECAT.

NIDA TONELLI.

FONDAMENTI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI, par LEOVol. premier, in-8° de VII-467 pp., avec Bologne, Nicola Zanichelli, s. d. (fini d'imprimer le 31 décembre 1921).

titre en rouge.

Le Calcul des variations, né en même temps que l'Analyse infinitésimale, est aujourd'hui — après plus de deux siècles de laborieux développements l'un des domaines les plus importants de l'Analyse. L'apparition du Calcul fonctionnel, conçu, par V. Volterra (1884), à l'occasion de problèmes de variations, a ouvert, en ces derniers temps, des horizons immenses et a déterminé un regain d'activité dans les recherches. Actuellement le Calcul des variations doit être considéré comme étant la théorie des extrémés des fonctions de lignes.

L'auteur du livre dont nous avons transcrit le titre, est à présent l'un des plus brillants géomètres italiens. De ses mémoires, au nombre d'environ une centaine, beaucoup sont consacrés à la matière qui fait l'objet de l'Ouvrage, matière où sa compétence est de tout premier ordre. Ses dernières productions contiennent des idées originales, parmi lesquelles nous devons signaler l'introduction d'un concept imaginé par Baire. La semi-continuité de l'intégrale du problème de Dirichlet est une propriété générale que Tonelli a posée, dès 1914, à la base d'une importante méthode pour traiter les questions de variations et dont on déduit de remarquables théorèmes d'existence pour les intégrales des équations différentielles ou aux dérivées partielles.

L'Ouvrage de L. Tonelli est, croyons-nous, la première monographie sur le Calcul des variations parue en Italie, après l'utile petit livre de E. Pascal (1897). L'auteur an

nonce qu'elle comportera deux volumes. Préparatoire, le premier développe avec ampleur toute la théorie de la semicontinuité pour les intégrales, fonctions de lignes planes, dépendant seulement de la position de l'élément générateur de la courbe et de sa direction.

Dans l'historique (pp. 1-29), après avoir signalé les fameux problèmes de Newton et de la brachistochrone, on définit les principales espèces de questions à résoudre. On met ensuite en lumière l'importance du sujet en montrant la portée extrêmement générale du principe de moindre action et en faisant voir comment le Calcul des variations s'applique à diverses sciences y compris l'Économie politique. Enfin on esquisse rapidement le développement de la théorie.

Une première partie (pp. 33-108), assez considérable, est consacrée à des théories générales de l'Analyse qui constituent le fondement de l'Ouvrage. Des quatre chapitres de cette division, les deux premiers sur les courbes (pp. 33-69) et sur les ensembles de fonctions et de courbes (pp. 71-105) - rassemblent et coordonnent des développements et résultats épars dans de nombreuses publications des quarante dernières années.

Les deux chapitres suivants concernent la mesure des ensembles de points, les fonctions mesurables et l'intégrale de Lebesgue. Rejetant le postulat de Zermelo, l'auteur est obligé d'introduire d'assez nombreuses modifications dans la théorie de Lebesgue. Aux ensembles mesurables, il substitue les « pseudo-intervalles » et aux fonctions mesurables, les « fonctions quasi-continues ». Pour la définition de l'intégrale de Lebesgue, il adopte, relativement aux fonctions bornées, la forme proposée par W.-H. Young et, pour les autres cas, celle de Ch. de la Vallée Poussin. Le chapitre III (pp. 107-142) traite des pseudo-intervalles des fonctions quasi-continues, tandis que l'intégrale de Lebesgue fait l'objet du chapitre suivant (pp. 143-198). Les seconde et troisième parties (pp. 201-344 et pp. 347-454), consacrées aux fonctions de lignes, respectivement sous la forme paramétrique et sous la forme ordinaire, comprennent chacune quatre chapitres.

IV SÉRIE. T. II.

16

Un index très utile (pp. 457-459) rassemble 175 définitions et l'ouvrage se termine par la table des matières.

Le petit texte une quarantaine de pages - est employé pour des questions plus délicates ou moins essentielles, mais seulement dans la seconde moitié du volume. Les renseignements bibliographiques, donnés au fur et à mesure de l'exposé, sont nombreux et précis.

Le second volume, en utilisant la notion de semi-continuité, abordera le Calcul des variations lui-même et s'occupera d'extrémer les intégrales fonctions de lignes, que les maximés et minimés soient libres ou isopérimétriques. L'auteur ajoute que s'il obtient la faveur des mathématiciens (ce dont nous ne doutons pas un instant !), il étendra ultérieurement les mêmes méthodes à tous les problèmes de variations.

Rassemblant l'essentiel d'une grande partie des études d'Analyse faites ces dix dernières années, tout en n'exigeant que la seule connaissance de ce qui est enseigné dans la plupart des cours de Calcul infinitésimal, ce livre, aussi rigoureux qu'on peut l'exiger actuellement, marquera une étape sérieuse dans le développement du Calcul des variations. Il aura grand succès, non seulement en Italie et dans les pays de culture latine, mais encore partout où l'on prend intérêt aux Mathématiques élevées.

M. LECAT.

III. LA RECHERCHE DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES EN GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE, à l'usage des élèves des Classes de Mathématiques spéciales et des Étudiants des Instituts scientifiques des Facultés des Sciences, par POL SIMON, chef de travaux pratiques de mathématiques à la Fac. des Sciences de Nancy. Un vol. de VIII-232 pages (24 × 16) avec nombreuses fig. dans le texte. Paris, Colin, 1922. — 18 fr.

Cent trente-deux exercices choisis dans les ouvrages de géométrie élémentaire, groupés en exercices du 1er, 2o, 3e et 4e livre. Pour initier l'élève à la méthode analytique, l'auteur s'est imposé la règle de suivre toujours la même marche, la plus générale, dans la solution analytique. Il n'emploie que des axes rectangulaires et ne traite que des