En terminant, résumons brièvement les différentes manières de concevoir aujourd'hui les éléments figurés du cytoplasme végétal, telles que ce travail nous les montre.

Pour Guilliermond, appuyé en cela par les travaux de Beauverie, Cowdry, Moreau, Emberger, Mangenot, etc..., toute cellule végétale posséderait un chondriome nettement constitué, comprenant deux variétés distinctes de mitochondries, semblables originairement par leur forme et ne se distinguant guère que par leur évolution : une variété, dont le rôle est inconnu, resterait toujours mitochondries et ne prendrait aucune part, du moins apparente, au travail élaborateur; l'autre variété au contraire évoluerait toujours en plastes, donnant les amyloplastes, les chloroplastes et les chromoplastes. Ces plastes, dérivés des mitochondries, élaboreraient des grains d'amidon, des globules graisseux, du glycogène, et les pigments chlorophylliens, carotiniens et xanthophylliens. A côté de ce chondriome existerait un système vacuolaire, présentant bien à l'origine l'aspect mitochondrial, mais sans aucune relation avec les mitochondries: ce système vacuolaire contiendrait chez les champignons de la métachromatine en solution qui, par précipitation, donnerait naissance aux corpuscules métachromatiques; chez les végétaux supérieurs, au contraire, il ne contiendrait pas de métachromatine, mais une substance voisine des phénols. Corpuscules métachromatiques et pigments anthocyaniques seraient donc d'origine vacuolaire et non pas mitochondriale. Distincts, et du système vacuolaire et du chondriome, existeraient encore dans la cellule de petits corpuscules de nature lipoïde et résultant probablement du métabolisme cellulaire.

Pour d'autres, comme Mottier, Rudolph, Scherrer et Sapehin, il y aurait bien dans toute cellule végétale un chondriome, mais un chondriome formé de mitochondries incapables de se transformer en plastes. Aussi de ce chondriome faudrait-il, d'après eux, soigneusement distinguer les plastides produisant les plastes.

Pour Dangeard enfin, il n'y aurait pas, semble-t-il, dans la cellule végétale de chondriome analogue à celui que l'on

trouve dans la cellule animale. Le cytoplasme des végétaux comprendrait d'après lui trois sortes de formations: le vacuome, le plastidome et le sphérome complètement diffétents entre eux par leur origine, leur nature et leur fonction. Le vacuome ou système vacuolaire, présentant à l'origine des formes mitochondriales, évoluerait en vacuoles types et contiendrait chez toutes les plantes de la métachromatine en solution, pouvant se précipiter sous forme de corpuscules. Il donnerait naissance aux corpuscules métachromatiques et aux pigments anthocyaniques.

Le plastidome comprenant les mitoplastes donnerait en se développant les différents plastes leucoplastes, chloroplastes et chromoplastes.

Le sphérome en fin serait formé de microsomes, semblables par la forme et la taille aux mitochondries granuleuses, et possédant toujours un substratum protéique.

A. GRANDSIRE.

14 Mai 1922.

BIBLIOGRAPHIE

I. LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF, par ÉDOUARD GOURSAT, membre de l'Institut, professeur à la Faculté des Sciences de Paris.-- Un vol. gr. in-8o, de 386 pages.― Paris, Hermann, 1922.

LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX, par E. CARTAN, professeur à la Faculté des Sciences de Paris.— Un vol. gr. in-8°, de 210 pages. Paris, Hermann, 1922.

Ces deux ouvrages, reproduisant les très savantes leçons faites à la Faculté des Sciences de Paris par deux maîtres éminents, traitent de sujets entre lesquels existe une si intime corrélation qu'il nous a paru opportun de les réunir dans une commune analyse.

Une équation de Pfaff est, comme on sait, constituée par une forme linéaire de différentielles d'un nombre quelconque n de variables, égalée à zéro. Elle a pour solutions toutes les multiplicités de l'espace à n dimensions, défini par ces variables prises pour coordonnées, le long desquelles cette équation est vérifiée. On peut donc regarder une équation de Pfaff comme une sorte de généralisation d'une équation aux différentielles totales. Il était donc tout naturel que M. Goursat consacrât à l'étude de telles équations un chapitre de ses célèbres Leçons sur les équations aux dérivées partielles du premier ordre. Mais, depuis qu'a paru la première édition, aujourd'hui épuisée, de cet ouvrage, le sujet a reçu des développements considérables de la part de divers géomètres parmi lesquels, à côté de M. Goursat lui-même, il convient de citer tout particulièrement M. Cartan. Ces géomètres ont trouvé avantage à se servir du langage et des procédés auxquels conduit la considération des équations de

Pfaff pour étudier et faire progresser les problèmes du calcul intégral. On peut, entre autres, rattacher à ce point de vue les résultats relatifs au problème (si étudié au moyen d'autres procédés, notamment par MM. Riquier, Delassus, Drach, Maurice Janet) qui consiste à déterminer la nature et, en quelque sorte, le nombre des solutions d'un système donné d'équations différentielles.

En préparant une nouvelle édition de l'ouvrage qu'on vient de rappeler, M. Goursat s'est proposé de donner un exposé systématique des procédés rencontrés dans cette voie nouvelle et des résultats qu'ils ont permis d'obtenir; mais un tel exposé s'est trouvé tellement déborder le cadre d'un simple chapitre que l'auteur a été conduit à lui consacrer le volume à part qui vient de paraître.

Cet ouvrage ne suppose de la part du lecteur que la connaissance « des théorèmes classiques sur les systèmes complètement intégrables d'équations aux différentielles totales, théorèmes qui sont exposés dans tous les Traités d'analyse ».

Ainsi que l'auteur le fait ressortir dans sa Préface, les huit chapitres dont se compose l'ouvrage peuvent être répartis en trois groupes : « Les deux premiers chapitres sont consacrés au problème de Pfaff proprement dit » ; l'auteur y « expose les méthodes fondées sur les propriétés du covariant bilinéaire considéré d'abord par Frobenius et par G. Darboux ».

Dans les trois chapitres suivants, l'auteur « étudie les propriétés des formes symboliques de différentielles (formes extérieures de M. Cartan) et leur application au problème de Pfaff lui-même et à la théorie des invariants intégraux ».

Enfin, dans les trois derniers chapitres, l'auteur fait connaître « quelques-uns des progrès les plus récents acquis à la science, relatifs aux systèmes de Pfaff », progrès dont les plus importants sont dus à M. Cartan et font, en grande partie, l'objet de l'ouvrage dont il va être maintenant question.

Est-il bien utile d'ajouter que ce nouveau livre de M. Goursat est écrit avec le soin, la rigueur et la clarté que l'on retrouve dans toutes les productions de ce savant géomètre, et qui l'ont depuis longtemps classé comme un des premiers maîtres de l'art didactique dans l'ordre des hautes mathématiques?

Quant au livre de M. Cartan, la conception même en est assez nouvelle. La théorie des invariants intégraux, fondée. comme on sait, par Poincaré et exposée par lui dans ses Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, avait jusqu'ici l'apparence de former un domaine un peu à part des mathématiques, se suffisant presque à lui-même. M. Cartan a habilement réussi à la présenter comme une partie d'une synthèse beaucoup plus vaste embrassant, en même temps que la théorie des formes différentielles invariantes, celle des équations de Pfaff, des équations canoniques, des équations aux dérivées partielles du premier ordre, des équations différentielles admettant des transformations infinitésimales, etc...., toutes ces théories s'éclairant mutuellement. On sait l'importance et la fécondité qu'offrent de tels rapprochements dans le domaine des mathématiques.

Pour parvenir à réaliser cette synthèse, M. Cartan a dû étendre la notion primitive d'invariant intégral à des ensembles d'états non nécessairement simultanés. On avait, il est vrai, déjà remarqué, mais de façon tout à fait incidente, la propriété d'après laquelle une forme différentielle susceptible de s'exprimer au moyen des seules intégrales premières, d'un système d'équations différentielles données, et des différentielles de ces intégrales premières, constitue un élément d'invariant intégral au sens de Poincaré; mais c'est M. Cartan qui, le premier, a su discerner la réciproque, c'està-dire établir le passage d'un invariant intégral de Poincaré à la forme différentielle invariante complète correspondante, et ç'a été là une acquisition de vaste conséquence. M. Goursat a, il est vrai, montré récemment (C. R. DE L'AC. DES SC. du 24 avril 1922) qu'un tel passage peut être regardé comme résultant de deux opérations indiquées par Poincaré et par lui-même; mais jamais personne n'avait songé à recourir à ces deux opérations et à donner comme base à la théorie la notion de forme invariante; le mérite de M. Cartan à cet égard ne s'en trouve donc nullement entamé.

Sans entrer ici, à propos de l'analyse de cet ouvrage, dans des détails qui ne seraient à leur place que dans un recueil purement mathématique, nous signalerons rapidement quelques points où s'affirme plus particulièrement la contribution personnelle de l'auteur.