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du Congo: nous aurons l'occasion d'en reparler plus tard.
Par contre, nous en expédions vers les divers pays
d'Europe suivant les proportions citées plus haut.

Les chiffres ci-dessous nous donneront une idée de nos
rapports commerciaux avec les autres pays, au point de
vue de l'exportation et de l'importation du caoutchouc
brut; ils montreront aussi l'extension de nos relations
avec l'étranger à dix années d'intervalle.

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Nous ferons remarquer que ce n'est pas seulement le
commerce du caoutchouc brut que la Belgique fait avec
l'étranger, mais aussi celui du caoutchouc ouvré, c'est-à-
dire ayant été travaillé; nous arriverons ainsi à établir
que l'industrie du caoutchouc est de toute importance, et
qu'elle mérite d'être l'objet de sérieuse considération :

exporté pour 1 123 222 fr. de caoutchouc ouvré.
importé pour 1 757 086 fr.

En 1892, il a été

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L'importance du commerce du caoutchouc ouvré nous
est indiquée par le tableau suivant :

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Si nous totalisons les valeurs des entrées et des sorties,
en caoutchouc brut et ouvré, nous obtenons :

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Pendant ces mêmes années, le commerce spécial, c'est-
à-dire celui des mises en consommation en Belgique a
été de

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dente l'importance croissante que prend l'industrie du caoutchouc.

La Belgique possède huit manufactures de caoutchouc, établies dans les localités suivantes :

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et de plus quelques établissements où l'on ne s'occupe que du travail de la feuille anglaise.

Ces fabriques comportent ensemble environ 500 ouvriers et ouvrières. Si le caoutchouc pouvait être obtenu à un prix suffisamment bas pour que ces maisons pussent faire une concurrence active à l'étranger, il est certain que ce commerce prendrait une extension beaucoup plus grande; or, l'obtention du caoutchouc à des prix peu élevés sera possible lorsque l'exploitation du caoutchouc du Congo se fera sur toute l'étendue de ce territoire suivant des méthodes rationnelles et que le transport du produit récolté ne devra plus se faire par l'intermédiaire de porteurs.

Si nous comparons les chiffres donnés ci-dessus pour le commerce belge à ceux indiqués pour le commerce français, nous arrivons à la constatation que cette industrie est plus développée en France que chez nous.

M. Chapel estime, en effet, à 500 000 kil. la quantité de caoutchouc consommée en France, et à plus de centsoixante les fabriques, occupant un personnel de 10 000 ouvriers et ouvrières; ces usines produiraient ensemble pour une somme annuelle de 75 millions de francs.

Les exportations sont estimées à une valeur de 12 millions, les importations à 14 millions.

A. DEWÈVRE.

NOTICE SUR LES RECHERCHES

DE M. DE TILLY

EN MÉTAGÉOMÉTRIE ("

M. De Tilly a publié, en décembre 1893, un Mémoire remarquable intitulé: Essai de Géométrie analytique générale (2), qui peut être regardé comme le couronnement des recherches qu'il a entreprises, depuis trente-cinq ans environ, sur les principes fondamentaux de la Géométrie. Comme les travaux du savant commandant de l'École militaire de Bruxelles forment un tout indissoluble, et que des circonstances fortuites (3) ont empêché la diffusion de ses écrits, soit en Belgique, soit à l'étranger, nous croyons utile d'analyser rapidement l'ensemble de ces recherches pour mieux en faire ressortir la portée à la fois scientifique et philosophique. Nous donnerons en même temps, dans les notes. des indications bibliographiques exactes sur divers points relatifs à la Métagéométrie, sans prétendre toutefois épuiser la question au point de vue historique.

I.

Tous ceux qui se sont occupés de l'histoire ou de la philosophie des mathématiques connaissent la singulière lacune que semble présenter à ses débuts, au point de vue logique, la science de l'espace, la Géométrie.

Dans ses immortels Éléments, Euclide met, pour ainsi dire, cette lacune en pleine lumière, en énonçant après les définitions de son premier livre, outre un certain nombre d'axiomes, plusieurs postulats dont l'un surtout est devenu célèbre : “ Si une droite

(1) Voir les Notes bibliographiques, pp. 151 et suiv.

qui rencontre deux autres droites situées dans un même plan, fait avec ces droites du même côté des angles intérieurs dont la somme soit moindre que deux angles droits, ces deux droites prolongées se rencontrent du côté où la somme est inférieure à deux droits.

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Dès l'antiquité, des tentatives furent faites pour déduire, de théorèmes antérieurs, cette proposition, appelée souvent postulatum d'Euclide, mais personne n'y réussit.

Nassareddin,

Il en fut de même dans les temps modernes Clavius, Wallis, Saccheri, Lambert, Legendre, s'efforcèrent en vain d'asseoir sur une base inébranlable les principes fondamentaux de la Géométrie (4).

Gauss, Lobatchefsky et Jean Bolyai découvrirent presque en même temps, vers 1830, la vraie nature logique du postulatum d'Euclide : il n'est pas une suite des vérités géométriques qui le précèdent dans les Eléments; il n'est pas non plus en contradiction avec elles; il en est indépendant. Il exprime l'une des deux suppositions, également admissibles au point de vue de la rigueur mathématique, que l'on peut faire sur la manière d'être de deux droites, supposées infinies, situées dans un même plan et non perpendiculaires à une même troisième. Le postulatum d'Euclide conduit à la Géométrie ordinaire; l'hypothèse contraire conduit à une autre Géométrie, la Géométrie non euclidienne, tout aussi rigoureuse que celle qui est basée sur le postulatum d'Euclide et d'ailleurs pratiquement équivalente, au point de vue des applications.

Gauss se contenta de communiquer un extrait de ses recherches à Schumacher sans en rien publier, mais en lui donnant une forme si précise que personne ne peut douter qu'il ne fût en possession des vérités fondamentales de la Géométrie non euclidienne (5).

Jean Bolyai fit paraître, en 1832, un court exposé de cette nouvelle branche des mathématiques, en appendice à un livre de son père (6).

Lobatchefsky, le premier, avant Gauss et Bolyai, avait publié un mémoire sur la matière; il ne cessa, pendant trente ans, de développer ses recherches dans ce domaine, principalement en langue russe, dans les Mémoires de Kazan, mais aussi en français, dans un article du Journal de Crelle et dans son dernier ouvrage; en allemand, dans une brochure publiée à Berlin (7).

Les écrits de Lobatchefsky et de Bolyai restèrent longtemps ignorés en Occident, et bien des chercheurs essayèrent de

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