leur vérification et leur emploi. Les causes d'erreurs sur le diagramme obtenu peuvent porter sur les abcisses ou sur les ordonnées. Les premières sont dues à une installation vicieuse de l'appareil, ou bien à l'inertie du tambour lorsqu'on fait usage de liens flexibles; l'auteur indique les dispositions spéciales d'indicateurs imaginées en vue d'obvier à celle-ci. Les causes d'erreur sur les ordonnées peuvent provenir du défaut d'étanchéité du petit piston, du défaut de parallélisme du chemin décrit par le crayon et de celui décrit par le petit piston, et enfin de l'inertie du petit piston; cette dernière cause est spécialement étudiée, et l'auteur est conduit ainsi à justifier, pour les grandes vitesses, les indicateurs légers et à ressorts très roides; l'auteur signale aussi l'indicateur à mouvement discontinu et sans inertie de M. Deprez qui donne seul les lois rigoureuses de la détente et de la compression. Pour la mesure du travail indiqué, on se sert aussi de compteurs de tours dont l'auteur décrit plusieurs systèmes.

La détermination du rendement mécanique externe du moteur, c'est-à-dire du rapport du travail transmis à l'outil et absorbé par les transmissions au travail disponible à la sortie du moteur, implique l'emploi du frein; l'auteur expose fort bien, avec tous les détails pratiques de manœuvre, les procédés à suivre dans un essai au frein de Prony. Il ne signale que pour mémoire les autres systèmes principaux de freins, automatiques ou non.

Pour terminer la IIe partie, il rappelle, en les exposant dans un ordre méthodique, toutes les précautions à prendre avant et pendant l'essai d'un moteur à vapeur, et les appareils à installer dans ce but.

Ces deux parties de l'ouvrage remplissent parfaitement le but que s'est proposé l'auteur, de donner à l'ingénieur, au mécanicien, ou au propriétaire d'appareils à vapeur, un guide sommaire mais bien complet pour les essais à froid et à chaud des moteurs à vapeur, et pour le choix des appareils ou instruments spéciaux à employer.

L'ouvrage comporte encore une IIIe partie, intitulée : " Appareils d'asservissement des moteurs où divers types de ces appareils sont décrits au point de vue de leur classification et des principes généraux de leur agencement.

P. DAUBRESSE.

VIII.

APPAREILS ACCESSOIRES DES CHAUDIÈRES A VAPEUR, par MM. DUDEBOUT et CRONEAU, ingénieurs de la Marine. (Encyclopédie scientifique des Aide-Mémoire.) - Un vol. petit in-8° de 176 pp. Paris, Gauthier-Villars ct G. Masson.

Avec l'emploi dans l'industrie des hautes pressions pour les moteurs à vapeur, le nombre et l'importance des organes accessoires du générateur se sont accrus. En même temps que les anciens appareils de sécurité se perfectionnaient pour parer à des dangers plus grands, d'autres appareils, les épurateurs, les dégraisseurs, les turbines de brassage, etc., étaient imaginés pour combattre les causes mêmes du danger; d'autres appareils enfin devenaient nécessaires, soit pour assurer la longévité de la chaudière et s'opposer aux corrosions rapides (appareils à eau de chaux, par exemple), soit pour améliorer l'utilisation du calorique emprunté au charbon (réchauffeurs de l'eau d'alimentation ou de l'air comburant, brasseurs de gaz, tubes à ailerons, etc.). Les auteurs ont classé logiquement ces accessoires en trois catégories formant chacune l'objet d'un chapitre distinct. Dans le premier, ils examinent, sous le titre d'Appareils destinés à assurer le fonctionnement normal, les appareils nécessaires à l'économie et au bon fonctionnement du générateur, et passent en revue les dispositifs les plus modernes adoptés dans ce but: les épurateurs, - les appareils fumivores, insufflateurs d'air ou autres destinés à assurer la perfection de la combustion, — les surchauffeurs et sécheurs de vapeur, les réchauffeurs de l'eau d'alimentation, et les réchauffeurs de l'air pour la combustion, les épurateurs de vapeur, séparateurs, purgeurs, - les réducteurs de pression, détendeurs, les turbines de brassage et hydrokineters, les injecteurs d'alimentation, les régulateurs d'alimentation, les robinets d'extraction de fond et de surface, robinets de vidange, les boîtes de prise de vapeur, soupapes d'arrêt, robinets-vannes, et pipes de vapeur. — Citons, comme remarquablement développé, le chapitre relatif aux injecteurs Giffard et autres, qui comprend la théorie approximative de l'injecteur, conduisant à la détermination des circonstances pratiques de son fonctionnement, examine les formes et proportions des ajutages, précise les précautions à prendre dans sa construction et son installation, et décrit toutes les

manœuvres d'amorçage, de réglage et de visite de l'appareil. On y trouve notamment la description des injecteurs Friedmann, Dixon, Körting, et il est dit aussi quelques mots des éjecteurs.

Le chapitre II, relatif aux Appareils destinés à contrôler le fonctionnement normal, mentionne: les chevilles et bouchons fusibles, les indicateurs du niveau de l'eau, flotteurs d'alarme, robinets-jauges, etc., et les indicateurs de pression ou manomètres.

Enfin le chapitre III concerne les Appareils de sécurité en cas de fonctionnement anormal et les Appareils de visite, c'est-àdire les soupapes de sûreté, bouchons fusibles et trous d'homme. La question des soupapes de sûreté y est aussi remarquablement bien étudiée; les auteurs y rappellent les lois d'écoulement de la vapeur, et l'application qu'ils en font au calcul des dimensions minima d'une soupape permet de juger de la valeur des diverses formules réglementaires empiriques que l'on connaît.

Le monde industriel fera, nous n'en doutons point, un excellent accueil à cet opuscule, qui donne une vue d'ensemble sur les conditions actuelles d'emploi des chaudières à haute pression et qui précise le rôle et le mode d'établissement de chaque genre d'accessoires.

P. DAUBRESSE.

IX.

THEORIE DER PARALLELLINIEN von Euclid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nichteuclidischen Geometrie, in Gemeinschaft mit FRIEDRICH ENGEL herausgegeben von PAUL STAECKEL. Mit 145 Figuren im Text und der Nachbildung eines Briefes von Gauss. Leipzig, Druck und Verlag von B. G. Teubner. 1895. In-8° de x-325 pages, avec une planche de fac-simile.

Le livre que vient de publier M. Stäckel, professeur à l'Université de Königsberg, en collaboration avec M. Engel, professeur à l'Université de Leipzig, est l'un des plus intéressants qui aient paru depuis longtemps sur l'histoire des principes de la Géométrie.

Il contient, en traduction ou en original, d'une manière complète ou dans leurs parties essentielles, les travaux des géomètres sur la théorie des parallèles, pourvu qu'ils soient antérieurs à

ceux de Lobatchefsky et de Bolyai et qu'ils aient de l'importance au point de vue de la Géométrie non euclidienne.

Ce n'est donc pas une histoire complète de la théorie des parallèles que M. Stäckel a voulu écrire : comme il le fait remarquer dans la préface, rien que pour rassembler les matériaux d'une pareille histoire, il faudrait beaucoup de temps. Nous ajouterons que, d'après ce qui a déjà été fait dans cette direction (1), on peut conjecturer, sans crainte de se tromper beaucoup, que la chose n'en vaut pas la peine : la plupart de ceux qui, depuis Euclide, ont voulu et veulent encore édifier la théorie des parallèles sur de nouvelles bases, manquent d'originalité ou de rigueur, et il n'y a aucune utilité à tirer des essais sans valeur et sans portée du juste oubli où ils sont ensevelis.

Mais un petit nombre de géomètres, parmi lesquels il faut citer Euclide lui-même, puis surtout Saccheri, Lambert, Legendre, Gauss, Schweikart et Taurinus, doivent être regardés comme ayant préparé les découvertes de Lobatchefsky, de Bolyai et de Riemann, et c'est à ceux-là qu'est consacré surtout le livre de M. Stäckel.

Leurs écrits, sauf une page ou deux du dernier opuscule de Taurinus, n'exigent pour être compris que la connaissance des mathématiques élémentaires et, par suite, ils sont à la portée de tout le monde. Ils peuvent donc servir d'introduction à la géométrie non euclidienne et aider les esprits non encore initiés aux vues modernes sur les principes de la géométrie à se familiariser avec ces principes et à les comprendre. Ils peuvent aussi contribuer à ouvrir les yeux aux philosophes qui, sur la foi de Kant et sans autre raison que les assertions sans preuve de la Kritik der reinen Vernunft, croient à la valeur absolue de la seule géométrie euclidienne.

Nons allons analyser successivement les diverses sections de l'ouvrage de M. Stäckel, en ajoutant ou substituant çà et là nos propres vues aux siennes.

1. Préface et tables des matières (pp. 1-x). L'auteur raconte comment M. Beltrami a retrouvé, en 1889, le livre oublié de Saccheri, et lui-même, en 1893, un mémoire de Lambert sur la théorie des parallèles, puis, pendant l'impression du présent

(1) Voir, par exemple, Euclidis Elementorum libri sex priores graece et latine. Edidit J.-C. CAMERER, Berolini, 1824, t. I, pp. 402-442: Excursus ad Elementorum, I. 29, où sont analysés un grand nombre d'essais de démonstration du postulat 5 d'Euclide ou de propositions équivalentes. Ces essais sont la plupart sans valeur.

ouvrage, les Elementa de Taurinus, qui sont le complément et la continuation des travaux de Saccheri et de Lambert. Il fait ensuite ressortir l'importance historique et philosophique de ces divers écrits.

2. Euclide (vers 300 avant J.-C.) (pp. 1-14). L'auteur donne une notice sommaire sur Euclide. Il traduit ensuite les définitions, les postulats et les axiomes du livre I, les énoncés des 32 premières propositions, avec les démonstrations, en abrégé, des propositions 5, 6, 7, 13, 18, 20, et, textuellement, celles des propositions 16 (L'angle extérieur d'un triangle surpasse chacun des deux intérieurs opposés), 27 (Deux droites sont parallèles si elles font avec une sécante des angles alternes internes égaux), 29 (Réciproque de 27 et 28), 32 (L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des intérieurs opposés ; la somme des trois angles est égale à deux droits).

L'auteur signale avec raison la perfection logique du premier livre des éléments. Euclide a très bien vu, dit-il, les difficultés cachées qui existent dans la théorie des parallèles. C'est pourquoi il a établi à part, par exemple, la proposition 16, qui est indépendante du postulatum (comme d'ailleurs toutes les autres propositions du premier livre jusqu'à la 28e inclusivement), bien qu'elle soit un corollaire de la proposition 32.

Nous trouvons que M. Stäckel a raison d'apprécier comme il le fait l'ouvrage immortel d'Euclide. Nous sommes persuadé qu'il aurait placé plus haut encore le premier livre des Éléments, si, au lieu d'employer le texte de Heiberg, il avait employé l'édition de Peyrard ou celle de Camerer. Dans celles-ci (qui sont d'ailleurs d'accord aves les meilleurs manuscrits, d'après Heiberg luimême), il y a six postulats et neuf axiomes, tandis que Heiberg, pour des raisons insuffisantes et à tort, selon nous, a placé le sixième postulat parmi les axiomes et supprimé ou mis en doute les axiomes 4, 5, 6, et 7 (1).

Or, quand on met sur la même ligne d'importance les postulats 5 et 6, savoir :

5. Si une droite rencontrant deux droites fait du même côté des angles intérieurs dont la somme soit moindre que deux droits, les deux droites prolongées indéfinitivement se rencontrent du côté dont la somme est inférieure à deux droits;

6. Deux droites ne comprennent pas d'espace;

(1) Voir notre article Sur les postulats et les axiomes d'Euclide (ANNALES DE LA SOCIÉTÉ SCIEntifique de BRUXELLES, 1889-1890, t. XIV, 2e partie, pp. 35-45).