toire. C'est surtout que ce livre d'histoire fut écrit pour les mathématiciens. Or, habitué à pouvoir se fier, sans y mettre de nuances, à la vérité d'un théorème, tout mathématicien doit utiliser les livres d'histoire avec précaution, même ceux de M. Eneström. Malgré son très louable, son méticuleux souci de l'exactitude, l'inexorable censeur n'échappe pas à cette loi. A preuve, au moment même où il nous met en garde contre les inexactitudes de von Braunmühl, M. Eneström lui attribue des Vorlesungen über Geschichte der MATHEMATIK (1) qui n'existent pas. En outre, à la même page de la BIBLIOTHECA MATHEMATICA, parlant de la célèbre approximation du nombre π calculée par Adrien Anthonisz, il lui donne, sans s'en apercevoir, les deux 355 335 et (2). « Medice, cura te ipsum », me ripostera 113 113

valeurs

sans doute M. Eneström. Mon Dieu, oui! Me rappelant certaines conclusions, aussi erronées qu'imprévues par moi, déduites de mes écrits, plus ou moins par ma faute, il me faut reconnaitre que moi aussi je suis comme les autres.

Précisons, car je regretterais qu'on se put méprendre sur le sens de mes observations. M. Eneström est, je crois, l'érudit d'aujourd'hui le mieux au courant de l'histoire des mathématiques; je le dis sans aucune arrière-pensée. Quand il annonça

(1) Il faut évidemment der Trigonometrie, comme il est au surplus aisé de s'en assurer en consultant ce dernier ouvrage à l'endroit indiqué par la référence. L'erreur de M. Eneström n'embarrassera pas beaucoup les professionnels de l'histoire des mathématiques au courant de la bibliographie de leur science. Mais, oserait-on en dire de même du grand nombre des mathématiciens? On sait le peu d'heures de loisir qu'ils peuvent d'ordinaire consacrer à l'histoire.

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(2) C'est la valeur π = qui est exacte. Voir sur le sujet un excellent article de M. Mansion, Sur le calcul de п, publié dans MATHESIS, t. 28, Gand, 1908, pp. 236-242. L'auteur y dit que la valeur approchée calculée par Adrien Anthonisz fut publiée par son fils, Adrien Metius, en 1611, dans son Arithmeticae et Geometriae Practica (Franekerae. Excudebat Rombertus Doyema; t. II, p. 134 et p. 69). Je saisis cette occasion de confirmer l'exactitude de la date de 1611 donnée ici par M. Mansion. Comme tant d'autres volumes d'un prix inestimable pour l'histoire de la science dans les Pays-Bas, un des exemplaires de cette première édition de l'Arithmeticae et Geometriae Practica, que je connaissais, a péri dans l'incendie de la Bibliothèque de l'Université, lors du sac de la ville de Louvain par l'armée allemande, le 26 août 1914. Il y en a un second exemplaire à la Bibliothèque Royale de Belgique, coté : 5o el. ; 1; F. 1. a; Met.

son intention de corriger les quelques imperfections des Vorlesungen de M. Cantor, tous ceux qui s'intéressaient à l'histoire des mathématiques y collaborèrent au début (1). Mais, au lieu de se contenter de rectifier ce qui était à proprement parler fautif, au lieu de s'arrêter à la date où parurent les Vorlesungen, et de prendre celles-ci pour point de départ des recherches ultérieures, comme semblait l'indiquer le plan primitif, M. Eneström s'est insensiblement laissé entrainer à mêler à ses corrections, de simples réflexions, des remarques à côté, des découvertes personnelles, des résultats de nouvelles études d'autres mathématiciens; tout cela en petites notes déchiquetées, sans liaison entre elles, disséminées non seulement dans treize volumes, mais à quatre endroits différents de ces volumes! J'admire la grande, l'invraisemblable patience déployée par l'auteur de ces remarques ; je ne discute pas leur intérêt; mais leur ensemble a fini par former un des plus inextricables fouillis qui se puisse imaginer. Malgré les tables qui y sont annexées, c'est tout ce qu'il y a d'incommode à consulter. Treize volumes pour la moindre recherche! Combien n'y a-t-il pas de bibliothèques où les règlements prohibent l'emploi simultané d'un pareil nombre de volumes?

Ceci n'est qu'un simple inconvénient; mais voici où M. Eneström a, semble-t-il, vraiment tort.

Le ton des « kleine Bemerkungen» a peu à peu perdu de sa sérénité. Sans tourner tout à fait à l'aigre, il dégénère trop souvent en chicanes dans lesquelles perce le désir de trouver M. Cantor malgré tout en défaut, même quand il ne l'est pas. Pourquoi? Je n'en sais rien et il ne me convient pas de le rechercher; mais, je le regrette et plusieurs des amis et des admirateurs de M. Eneström ne m'ont pas caché qu'ils le regrettent comme moi. A ne pas reconnaître les services d'un homme comme M. Cantor, la science n'a rien à gagner.

Soyons équitables. Peut-on reprocher à M. Cantor de n'avoir pas su dès 1900, ce qu'après tant de travaux ultérieurs nous savons aujourd'hui ? Ce serait cependant la conclusion logique de beaucoup des «kleine Bemerkungen » de M. Eneström.

Mais, m'objectera-t-on, M. Cantor a-t-il suffisamment tenu

(1) En 1900, dans le premier volume de la 3a série de la BIBLIOTHECA MATHEMATICA, huit savants collaborèrent aux Kleine Bemerkungen; en 1901, j'en compte 10; dans le volume actuel M. Eneström est seul.

compte des « kleine Bemerkungen» dans la 3 édilion de son premier volume? (1)

Le vénérable maître eût, peut-être, été mieux inspiré en se contentant d'une édition inchangée conforme à la 2, comme il vient de le faire pour le second volume (2). Son grand age, ses longs services l'y autorisaient. Personnellement j'eusse fait le vœu de voir une 3 édition des Vorlesungen revue et annotée par M. Eneström, avec l'approbation de M. Cantor. C'est malheureusement désormais impossible. Il faut donc autre chose.

Pendant quelque temps, la librairie Teubner a annoncé la préparation d'un précis d'histoire des mathématiques, par M. Eneström (3). Pourquoi l'érudit critique tarde-t-il tant à faire paraître ce volume? C'est, il est vrai, infiniment plus difficile que de se borner à annoter les Vorlesungen de Cantor. Mais, le précis de M. Eneström pourrait être écrit sur un plan réduit. J'ai traité de tour de force, je ne l'oublie pas, un nouvel ouvrage de l'envergure des Vorlesungen; ce tour de force, je ne songe pas à prier M. Eneström de l'exécuter.

Mettons les choses au mieux ce précis n'est que l'avenir. En attendant que nous ayons Eneström, il faut bien nous contenter de Cantor. Au surplus, ne nous laissons pas émouvoir outre mesure par les critiques. Les Vorlesungen restent un admirable instrument de travail pour qui sait s'en servir; pour qui ne leur demande pas ce qu'aucune histoire des mathématiques n'a jamais donné et ne donnera jamais; elles sont une introduction et un guide, rien de plus; mais, quelle introduction et quel guide!

Cette réflexion me ramène à ma thèse initiale, la nécessité de lire les auteurs originaux. N'avoir pris connaissance des géomètres anciens qu'à travers le prisme Eneström, en donne une image presque aussi difforme, qu'en les regardant à travers le prisme Cantor. Pour les voir tels qu'ils sont, il faut les examiner à l'œil nu, dirai-je, et sans prisme.

(1) Voir à ce propos le compte rendu de la 3e édition de ce premier volume donné par M. Eneström dans la BIBLIOTHECA MATHEMATICA, 3a série, t. 7, Leipzig, Teubner, 1906-1907, pp. 398-406.

(2) Absolument parlant, la 3e édition de ce premier volume l'emporte néanmoins beaucoup sur la seconde; mais, vu l'état relatif de la science aux années où ces éditions parurent, la troisième est moins achevée que la seconde.

(3) Notamment : B. G. Teubner's Verlag auf dem Gebiet der Mathematik... Leipzig und Berlin, 1908, p. 80.

Entre mille autres, en voici une raison péremptoire. Sous peine d'être inintelligible, un historien des mathématiques doit conformer son style aux usages de son temps; dans une certaine mesure parler et écrire, comme parlent et écrivent ses lecteurs. Liberté d'écriture et de langage très légitime sans doute, qui n'en est pas moins une cause d'appréciations peu justes, souvent même d'erreurs véritables.

Mais, je dis beaucoup de mal des manuels d'histoire des mathématiques!

Pas tant que cela. Leurs défauts ne sont pas le propre des manuels de l'histoire de cette science. Qu'on se renseigne dans la plus exacte, la mieux documentée des histoires littéraires, la lecture d'un discours de Cicéron réserve des surprises. Le critique littéraire peut aider à en faire apprécier l'art et la beauté, dès lors son rôle est terminé. Euclide, Stevin, Descartes, Huygens, Newton, pour peu qu'on les ait fréquentés, conduisent bientôt à une conclusion analogue. La meilleure histoire des mathématiques ne fait pas mieux connaitre de pareils maitres, qu'une histoire littéraire, si bonne soit-elle, ne donne l'idée adéquate d'un discours de Cicéron.

M. Eneström écrira-t-il un manuel assez parfait pour prouver que je me trompe? Je le désire vivement, car, qu'il m'en croie, personne plus que moi n'admire sa vaste érudition et son beau talent.

La Bibliotheca Mathematica.

Voici les titres des autres articles de grand texte avec, au besoin, quelques lignes d'éclaircissements ou de remarques.

ANTIQUITÉ. L'époque où vécut Euclide, par M. H. Vogt (1), à Breslau. M. Heiberg et après lui la plupart des historiens mettent l'apogée de la vie d'Euclide vers l'an 300; mais, M. Vogt croit, preuves à l'appui, devoir le reculer jusque vers 320. Son argumentation consiste surtout dans la discussion d'un passage du Commentaire du premier livre des Éléments d'Euclide, par Proclus(2); passage, qui nous fournit le meilleur document jetant un peu de lumière sur la date où vécut Euclide. - Sur l'origine de la théorie des polyèdres semi-réguliers, par M. G. Loria, à

(1) Die Lebenszeit Euklids, von H. Vogt, pp. 193-202.

(2) Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum Commentarii, ex recognitione Godofredi Friedlein. Lipsiae, in aedibus B. G. Teubneri, 1873, p. 68.

HI SÉRIE. T. XXVI.

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Gênes (1). D'une phrase des Définitions de Héron (2), on conclut que les polyèdres semi-réguliers ont été étudiés par Archimède; mais quelques-uns au moins d'entre eux étaient probablement déjà connus antérieurement.

MOYEN AGE. Le Trisatika of Sridharacarya, par N. Ramanujacharia, à Madras et C. R. Kaye, à Simla (3). Le Trisatika est un traité de calcul composé par Sridharacaraya, géomètre que la tradition indoue fait vivre au xr siècle de notre ère. Le texte sanscrit du Trisatika fut publié en 1899, mais sans traduction en langue européenne. M. Ramanujacharia nous en donne maintenant une version anglaise; M. Kaye y ajoute des notes et une introduction. Chiffres indous chez les Arabes, par M. Karpinski, à Ann Arbor (4). L'algorismus de integris» de maître Gernardus, par G. Eneström, à Stockholm (5).

L'Algorismus demonstratus, dont l'Algorismus de integris est la première partie, jouit d'une trop grande notoriété pour devoir être présenté au lecteur. Rappelons, cependant, qu'il a déjà fait, dans la BIBLIOTHECA MATHEMATICA, l'objet de plusieurs articles par MM. Duhem et Eneström (6). L'auteur de l'Algorismus est douteux. On a nommé, tantôt Regiomontanus, tantôt Jordan de Némore, tantôt Gérard de Crémone, tantôt un certain maître Gernardus, personnage dont au surplus on ne sait rien. C'est à cette dernière opinion que se range M. Eneström. Est-ce à tort ou à raison? Il importe assez peu, car l'Algorismus conserverait sa valeur entière, quand bien même il resterait définitivement anonyme. Regiomontanus ne crut pas perdre son temps en le transcrivant de sa propre main, et sa copie se conserve

(1) Sulle origini della teoria dei poliedri semi-regolari, di G. Loria, pp. 14-16.

(2) Les Définitions de Héron viennent d'être publiées dans Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia, vol. IV. Heronis Definitiones cum variis collectionibus quae feruntur geometrica. Copiis G. Schmidt usus edidit J. L. Heiberg, Lipsiae, 1912.

(3) The Trisatika of Sridharacarya, by N. Ramanujacharia and G. R. Kaye, pp. 203-217.

(4) Hindu numerals among the Arabs, by L. C. Karpinski, pp. 97-98. (5) Der & Algorismus de Integris» des Meisters Gernardus, von G. Enestrom, pp. 289-332.

(6) Ist Jordanus Nemorarius Verfasser der Schrift « Algorithmus demonstratus»? von G. Eneström, 3o sér., t. 5, 1904, pp. 9-14.

Sur l' Algorithmus demonstratus », par P. Duhem, 3 sér, t. 6, 1905, pp. 9-15.

Voir aussi : Ceber die « Demonstratio Jordani de Algorismo », von G. Eueström, 3o sér., t. 7, 1906-1907, pp. 24-37.