V

LEÇONS SUR LES SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET LES COORDONNÉES CURVILIGNES, par G. DARBOUX, Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences, Professeur à l'Université de Paris, 2me édit., complétée. Un vol. in-8° de 567 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1910.

La première édition de cet ouvrage (1), parue en 1898, était destinée, dans la pensée de l'auteur, à être suivie d'un Tome II qu'il avait dessein de consacrer à l'exposition de certaines théories liées au sujet principal, de celles notamment qui concernent les formes quadratiques de différentielles. Diverses circonstances ne lui ayant pas permis de remplir tout le programme qu'il s'était ainsi tracé, M. Darboux s'est décidé à constituer, au moyen des matériaux qu'il avait commencé à réunir pour ce second volume, un complément au premier dont la nouvelle édition, ainsi accrue, se trouve renfermer, ainsi que le fait remarquer l'auteur lui-même, « tout ce qui, au moment présent, est acquis d'essentiel à la Science sur la belle théorie inaugurée par les travaux de Gabriel Lamé ». Le volume ainsi constitué apparaît alors comme une sorte de cinquième volume pour cette importante suite de Leçons sur la théorie générale des surfaces qui resteront comme l'œuvre maîtresse du savant géomètre.

A la suite des deux premiers livres qui figuraient dans la première édition, la partie nouvelle forme, sous le titre de Théories générales, le Livre III. Elle s'ouvre par un chapitre d'essence purement analytique, où l'auteur étudie certains systèmes d'équations aux dérivées partielles du premier ordre qui jouent en Géométrie infinitésimale un rôle capital, savoir : des systèmes résolus par rapport à toutes les dérivées des fonctions inconnues y figurant.

L'auteur distingue parmi eux et traite à part: 1° ceux pour lesquels on connait une dérivée, et une seule, de chaque fonction inconnue; 2° ceux qui déterminent toutes les dérivées des fonctions inconnues et où toutes les conditions d'intégrabilité sont vérifiées; 3° ceux où certaines fonctions entrent par plusieurs dérivées. En employant, au lieu des séries de Cauchy, la méthode d'approximation de M. Picard, M. Darboux établit, pour

(1) Voir la REVUE de juillet 1898, p. 268.

I

chacun de ces trois types, des théorèmes généraux qui fixent les conditions d'existence et le degré de généralité des solutions. Ces théorèmes, susceptibles de nombreuses applications non seulement à la Géométrie, mais encore à la Physique mathématique, sont immédiatement utilisés par l'auteur aux fins qu'il se propose.

M. Darboux en tire, en effet, d'intéressants développements relatifs aux systèmes de coordonnées curvilignes qu'il qualifie de parallèles, qui sont ceux se correspondant de telle manière qu'aux points homologues les plans tangents aux surfaces coordonnées soient parallèles et, par suite aussi, les tangentes aux courbes coordonnées. L'auteur montre que les systèmes sont alors à lignes conjuguées, c'est-à-dire que les courbes coordonnées forment un réseau de lignes conjuguées sur chaque surface coordonnée ; il détermine le degré de généralité de tels systèmes et en démontre un grand nombre de propriétés géométriques. Ces développements n'écartent d'ailleurs pas l'auteur de son sujet principal, attendu que les systèmes triples orthogonaux ne sont qu'un cas particulier au reste, le plus intéressant - des systèmes à lignes conjuguées.

M. Darboux, après avoir rappelé qu'on peut envisager cette théorie spéciale à un point de vue cinématique, en liant l'étude des systèmes triples orthogonaux à celle du mouvement d'un trièdre dont on connaît les rotations et les translations, aborde les détails du problème ainsi particularisé. Il fait voir qu'un système triple orthogonal est pleinement défini lorsqu'on se donne une surface de chacune des trois familles et montre comment on peut construire cet ensemble de trois surfaces et quel est son degré de généralité.

La génération des systèmes triples orthogonaux a donné lieu à des recherches importantes qui ont abouti notamment entre les mains de Combescure et de Ribaucour à d'élégants théorèmes dont l'auteur donne des démonstrations. Le théorème de Combescure a d'ailleurs servi de point de départ à la méthode de récurrence que l'auteur expose et qui peut être regardée comme le plus puissant moyen de recherche des systèmes triples orthogonaux. Si le théorème de Ribaucour ne donne rien de plus que cette méthode, il faut toutefois reconnaître qu'il est d'une incomparable élégance ainsi que le sont la plupart des résultats dus à ce magnifique géomètre.

Toutefois, la méthode la plus féconde semble être celle que M. Darboux expose en dernier lieu et qui, fondée sur l'emploi III SÉRIE. T. XXI.

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des imaginaires, fait dépendre la solution complète du problème d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre qui ne contient que trois termes. Chemin faisant, l'auteur rappelle comment, bien que par une voie détournée, Ossian Bonnet était parvenu, dès 1862, à réduire la principale difficulté du problème à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre.

M. Darboux pousse, au reste, à fond l'étude de cette méthode dont il indique diverses applications. En généralisant un célèbre théorème de Moutard sur les équations aux dérivées partielles du second ordre à invariants égaux, il est conduit, par une voie nouvelle, à la méthode de récurrence qui lui a permis de déduire, par de simples quadratures, de tout système triple, pour lequel on sait déterminer les systèmes parallèles, une suite illimitée de systèmes nouveaux.

L'auteur approfondit l'étude des systèmes triples qui admettent un groupe continu de transformations de Combescure, systèmes qui ont été envisagés pour la première fois en 1866 par M. Darboux lui-même et qui ont été, depuis lors, l'occasion d'importantes recherches de la part de divers géomètres parmi lesquels il convient de citer tout particulièrement M. Egorov.

Ayant fait voir que la détermination des systèmes en question se ramène à la mise sous une forme spéciale de l'élément linéaire de la sphère, l'auteur indique la solution complète de ce dernier problème qui a été donnée dernièrement par M. J. Haag. II étudie enfin, d'après Ribaucour, toutes les surfaces qui admettent les systèmes sphériques précédents comme représentation de leurs lignes de courbure.

Enfin, il montre comment la considération de certains systèmes rencontrés dans un cas particulier par M. Guichard permet. d'étendre notablement les beaux résultats que, sur ce sujet, la Science doit à M. Egorov.

Le volume se termine par quatre notes traitant de sujets variés en relation avec le sujet principal, savoir : l'application du théorème d'Abel sur les intégrales algébriques à la détermination d'une suite illimitée de systèmes triples orthogonaux algébriques; diverses importantes propriétés de la cyclide de Dupin; la recherche des systèmes triples qui comprennent une famille de telles surfaces ou, plus généralement, de surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes; divers théorèmes nouveaux sur une classe particulière de déformations ponctuelles de

l'espace dont la théorie se rattache directement à celles qui ont été développées dans le corps de l'ouvrage.

En venant se joindre aux quatre volumes de la Théorie générale des surfaces, celui-ci complète un ensemble que l'on peut regarder comme un des monuments les plus imposants que notre époque ait vu s'édifier dans le domaine de la science géométrique.

M. O.

VI

COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES, par H. BOUASSE. Un vol. grand in-8° de 646 pages avec 323 figures dans le texte. Paris, Delagrave.

Après avoir publié un admirable Traité de Physique, M. Bouasse a voulu écrire une Mécanique, puis un livre d'analyse, estimant que les mathématiciens de profession font très mal les ouvrages destinés exclusivement aux physiciens et aux ingénieurs.

On serait absolument de l'avis de M. Bouasse, s'il ne faisait pas ses critiques avec une raideur vraiment un peu exagérée. Cela n'empêche pas qu'il nous rend le plus grand service.

Les professeurs de Mathématiques des universités n'ont jamais pu comprendre que certaines personnes étudient cette science pour s'en servir et non point en artistes ou pour la faire avancer.

Pourquoi donner à un ingénieur la théorie logique des fractions ou des nombres irrationnels? La notion intuitive suffit pour ce qu'il a à faire. Pourquoi lui donner des critères de convergence des séries dont il ne se sert pas ?

Donnera-t-on des théorèmes sur les racines des équations, tels que ceux de Laguerre et d'Hermite, alors que le praticien a besoin d'une seule chose: savoir tracer, à peu près, la courbe?

Pour un physicien, une ligne ou une aire est chose concrète, matériellement réalisée; dans ces conditions, une ligne est toujours rectifiable, une aire est toujours quarrable. Concluons : le praticien a besoin de connaître beaucoup de fails mathématiques et il doit les apprendre par les voies les plus rapides, par l'intuition autant que possible.

L'expérience a montré tout cela à M. Bouasse, qui a mis dans son livre beaucoup de richesses.

On y trouve les fonctions circulaires, la cycloïde, l'épicycloïde, l'hypocycloïde, les surfaces réglées, les surfaces de révolution, les intégrales, les séries, les variables complexes, les formules de Green et de Stokes avec leur interpretation physique, qui est essentielle.

Ce livre peut même servir aux véritables étudiants en mathématiques, aux futurs professeurs, mais à la condition que, prenant les faits, ils les interprètent autrement.

Depuis cinquante années, les géomètres ont fait un effort considérable et fructueux pour obtenir des définitions vraiment bonnes, au point de vue scientifique, de l'intégrale, de l'aire, de la longueur d'une courbe, des nombres irrationnels. Weierstrass a montré que toute la doctrine du calcul des variations était à refaire; la théorie des maxima, elle-même, n'est pas faite avec sûreté.

Si l'on se contentait du point de vue de M. Bouasse, il n'y aurait pas de science mathématique; mais M. Bouasse n'a pas pris la plume pour les candidats de l'agrégation de mathématiques; il devait faire ce qu'il a fait et personne n'osait le faire. Louons-le donc, avec plaisir !

ADHÉMAR.

VII

NOUVELLES TABLES TRIGONOMETRIQUES FONDAMENTALES, contenant les logarithmes des lignes trigonométriques de centième en centième du quadrant avec dix-sept décimales, de neuf en neuf minutes avec quinze décimales, et de dix en dix secondes avec quatorze décimales, par H. ANDOYER, professeur à la faculté des sciences de l'Université de Paris, membre du Bureau des Longitudes. Un vol. in-4° de xxxII-604 pages. - Paris, A. Hermann et fils, 1911.

Nous empruntons à la préface les passages suivants où l'auteur explique et justifie la présente publication:

Je dois tout d'abord rappeler brièvement quelques points, parmi les principaux, de l'histoire des tables de logarithmes trigonométriques, les seules dont il sera question ici. Pour une étude plus complète, je renverrai aux ouvrages spéciaux, notamment à l'Histoire de l'Astronomie moderne de Delambre,