cubiques, courbes et surfaces algébriques dans l'espace, générales ou spéciales.

VII. Mathématiques appliquées (11 pp.). Le second T. contenait en plus la théorie mathématique des assurances sur la vie. Dans l'interpolation, on pourrait introduire la seconde formule de Newton, si pratique en comparaison de celle de Lagrange, avec le reste.

VIII. W. Lietzmann. La commission internationale de l'enseignement mathématique (5 pp.). Article entièrement nouveau.

IX. H. Liebmann. Mécanique analytique (19 pp.). Ont été supprimés trois paragraphes sur la statique graphique, la théorie du potentiel et de la distribution de l'électricité statique.

X. Tableau de l'histoire des mathématiques (2 pp.). Article entièrement nouveau, déjà très bon, mais où il faudra supprimer plus tard les étoiles de troisième ou quatrième grandeur, au point de vue mathématique, comme Maria Agnesi, W. Bolyai Crelle, Brianchon, Bessel, Encke, Schellbach, Minding, Culmann, G. Hauck, etc.

XI. Physique de la matière (16 pp.). Ce chapitre a été notablement accourci par la suppression d'un assez grand nombre de paragraphes peu étendus sur des points difficiles.

XII. Le son (3 pp.). Mêmes remarques.

XIII. La chaleur (26 pp.). Quelques suppressions aussi. A la page 241, nous croyons qu'il faut laisser de côté (ligne 4 en remontant) les mots suivants : « entsprechend sind dA und dW lediglich kleine Grössen, dagegen ist dE ein totales « Differential ». On suppose implicitement que dans tout processus thermique spécial, il n'y a qu'une variable indépendante dont les autres sont des fonctions ayant une dérivée. Par suite, aux accroissements de toutes ces fonctions correspondent des différentielles déterminées d'une seule variable; ensuite, de plus dE est une différentielle totale de deux variables.

XIV. Électricité et magnétisme (46 pp.). XV. Lumière (34 pp.). Il y a eu aussi maintes suppressions dans ces deux sections, entre autres la théorie de la relativité exposée dans le second T.

XVI. A. Sommerfeld. Théorie des quanta (18 pp.). XVII. A. Gast. Géodésie élémentaire (10 pages). XVIII. L. Milch. Principes de cristallographie (23 pp.). Ces trois articles sont entièrement

nouveaux.

XIX. Frederich Auerbach. Chimie générale (23 pp.).

XX. Journaux et ouvrages de mathématiques et de physique publiés en 1911, 1912 (23 pp.). XXI. Nécrologie (3 pp.). XXII

Professeurs allemands (13 pp.). XXIII. Index alphabétique (25 pp.). XXIV. Annonces.

Chaque subdivision du Taschenbuch est suivie d'indications bibliographiques bien choisies.

Le Taschenbuch für Mathematiker und Physiker de 19131914, nous semble digne de tout éloge comme les deux premiers. C'est un ouvrage de référence dont on se passe difficilement une fois qu'on l'a employé. Souhaitons qu'à chaque nouvelle édition il s'améliore dans les moindres détails.

L'éditeur ne pourrait-il publier en même temps que chaque édition du Taschenbuch, un supplément contenant les paragraphes qui ne sont pas reproduits dans la dernière ? Ce supplément serait le bienvenu chez tous ceux qui n'ont pas la collection complète des éditions successives.

P. MANSION.

II

DIE MATHEMATIK IM ALTERTUM UND IM MITTELALTER, von H. G. ZEUTHEN (Kopenhagen), Berlin und Leipzig. Druck und Verlag von B. G. Teubner, 1912.- Un vol. in-8 de Iv-95 pp. Prix : 3 marcs.

Cet ouvrage forme la première livraison de la première section (Sciences mathématiques) de la troisième partie (Mathématiques, sciences naturelles et médecine) de l'importante collection de monographies intitulée Die Kultur der Gegenwart, ihre Entwicklung und ihre Ziele, herausgegeben von Paul Hinneberg.

Comme on le sait, le savant professeur de l'Université de Copenhague est, en ce moment, mieux qualifié que personne, M. Cantor excepté, pour faire le tableau de l'histoire des mathématiques dans l'antiquité et au moyen âge. Il a publié en danois, sur le même sujet, un manuel qui est traduit en allemand et en français, puis une histoire des mathématiques au XVI et au XVIIe siècle qui en est la suite et qui est aussi traduite en allemand. Mais, de plus, il est l'auteur de nombreux mémoires ou articles, sur des questions spéciales relatives à l'histoire des mathématiques. Il faut citer, en ce genre, avant tout son livre Les coniques dans l'antiquité (en danois et en allemand), qui nous a fait pénétrer pour la première fois dans la pensée antique

sur ce sujet; ensuite son commentaire sur l'Ephodicon d'Archimède retrouvé en 1906 par Heiberg; son mémoire (en français) sur les livres arithmétiques d'Euclide inconnus qui en fait enfin connaître la vraie portée, etc., etc.

Toutes ces recherches personnelles sur des points fondamentaux de l'histoire des mathématiques, celles aussi des chercheurs contemporains les plus originaux dans ce domaine ainsi que les résultats plus anciens déjà sûrement établis auparavant sont exposés avec concision, précision, exactitude et clarté dans l'ouvrage que nous annonçons. Voici l'indication des subdivisions du livre :

1. Origine et développement des nombres et du calcul. 1° Formation primitive des nombres. Système décimal, systèmes non décimaux (pp. 1-4). 2° Calcul primitif; calcul sur les doigts; abaques; tables; calcul par compléments (pp. 4-9). 3° Calcul avec 27 lettres chez les Grecs; calcul sexagésimal chez les Babyloniens; le système décimal avec le zéro chez les Hindous, sa propagation; le calcul avec les parties aliquotes chez les Egyptiens (pp. 9-19). 4° Applications la règle de trois, les périodes astronomiques; mystique et symbolique numériques, carrés magiques; problèmes curieux; règle de fausse position simple ou double; interpolation, extraction des racines (pp. 20-27).

11. Origine de la géométrie; les mathématiques grecques. 1° Géométrie intuitive; géométrie égyptienne et géométrie ancienne de l'Inde (pp. 27-33). 2° La géométrie élémentaire grecque de 500 à 300 avant J.-C. (pp. 33-50): tableau magistral de la création de la géométrie scientifique : Thalès, Pythagore, les irrationnelles, l'arithmétique et l'algèbre géométriques, Hippocrate de Chios, Archytas, Platon, Eudoxe, etc. 3° Mathématiques appliquées; logistique, géodésie, Héron, optique, perspective, catoptrique, mécanique, Aristote, etc. (pp. 50-54). 4° L'apogée des mathématiques à Alexandrie (pp. 55-67). Euclide, Archimède, Apollonius, ses prédécesseurs, ses continualeurs. Personne ne pouvait écrire ce chapitre avec une compétence supérieure à celle de Zeuthen. 5° Astronomie, trigonométrie (pp. 67-72). Aristarque, Eudoxe, Hipparque, Ptolémée, Menelaus. 6° L'arithmétique grecque (pp. 72-74). Eratosthènes, Nicomaque, Diophante.

III. Décadence et renaissance des mathématiques grecques. 1° Décadence. Pappus, les Byzantins, les Romains (pp. 75-77). 2o Hindous et Chinois (pp. 77-79). 3' Arabes (pp. 80-84). 4° Les mathématiques au moyen âge, en Occident (pp. 84-93). Gerbert,

Léonard de Pise, Nemorarius, Witelo, Albert de Saxe, Nicolas de Cusa, Oresme, Widman, Chuquet, Paciolo, Levi ben Gerson, Peurbach, Regiomontanus, Pier dei Franceschi, Dürer, Léonard de Vinci.

Bibliographie (pp. 94-95). Indications générales essentielles. L'auteur a eu soin dans tout le cours de son livre de donner partout des indications chronologiques suffisantes d'après Wilamowitz-Moellendorff.

Si le très bon résumé d'histoire des mathématiques dans l'antiquité et au moyen àge de Zeuthen a un défaut, c'est que l'évolution de chaque branche de la science, arithmétique, géométrie, etc., y est exposée à part. N'aurait-il pas été préférable de faire connaitre dans chaque pays, dans l'ordre chronologique, le développement parallèle des diverses disciplines mathématiques? Mais le livre a tant de qualités que nous ne voulons pas insister sur cette critique.

P. MANSION.

III

LEONHARDI EULERI OPERA OMNIA SUB AUSPICIIS SOCIETATIS SCIENTIARUM NATURALIUM HELVETICAE edenda curaverunt FERDINAND RUDIO, ADOLF KRAZER, PAUL ST.ECKEL.

Series 1, Opera Mathematica. Volumen X.-LEONHARDI EULERI INSTITUTIONES CALCULI DIFFERENTIALIS edidit GERHARD KOWALEWSKI. Lipsiae et Berolini. Typis et in Aedibus B. G. Teubneri M.CM.XIII. Un vol. in-4° de 676 pages.

Series I, Opera Mathematica. Volumen XI.

LEONHARDI EU

LERI INSTITUTIONES CALCULI INTEGRALIS ediderunt FRIEDRICH ENGEL et LUDWIG SCHLESINGER. Volumen primum. M.CM.XIII. Un vol. in-4° de XXIII et 462 pages.

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Series 1, Opera Mathematica. Volumen XX. — LEONHARDI EULERI COMMENTATIONES ANALYTICAE AD THEORIAM INTEGRALIUM ELLIPTICORUM PERTINENTES edidit ADOLF KRAZER. Volumen prius. M.CM.XII. Un volume in-4° de xn et 371 pages.

Series II, Opera Mechanica et Astronomica. Vol. I et II. LEONHARDI EULERI MECHANICA SIVE MOTUS SCIENTIA ANALYTICE EXPOSITA edidit PAUL STECKEL. Adjecta est Euleri effigies ad imaginem a Webero aeri incisam expressa. M.CM.XII. Deux volumes in-4° de XIV, 407; et 460 pages.

Euler occupe, avec Lagrange, la place principale dans l'histoire des mathématiques de la deuxième moitié du XVIIIe siècle. Peu de géomètres ont été autant étudiés que lui. Un simple compte rendu comme celui-ci ne se prète pas à des réflexions nouvelles sur l'importance des découvertes d'un pareil génie, ni sur leur influence. Devant une entreprise aussi vaste que la réédition des Œuvres d'Euler, ce qu'il y a, me paraît-il, de plus utile, est de me contenter de faire exactement connaître au lecteur le contenu de chacun des volumes.

Le Calcul différenciel d'Euler est réédité d'après le texte de la première édition qui parut sous le titre de Institutiones Calculi differentialis cum ejus usu in analysi finitorum ac doctrina serierum. Auctore Leonhardo Eulero Acad. Reg. Scient. et eleg. litt. Boruss. directore Prof. Honor. Acad. Imp. Scient. Petrop. et Academiarum Regiarum Parisinae et Londinensis socio. Impensis Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae. 1755. C'est un volume in-4° de XXIV et 880 pages dont je connais des exemplaires à la Bibliothèque Royale de Belgique et à la Bibliothèque de l'Observatoire Royal d'Uccle. Le Calcul différentiel eut une réédition dans la langue originale à Dantzig, en 1787; et une édition allemande dont les deux premières parties parurent à Berlin et Libau en 1790, et la troisième à Berlin en 1793. Il n'est peut-être pas inutile de rappeler ici, qu'une traduction manuscrite française de la première partie et des huit premiers chapitres de la seconde, existe à la Bibliothèque de l'Observatoire d'Uccle. Elle avait été faite en vue du malencontreux essai d'édition française des Euvres d'Euler, entrepris à Bruxelles en 1839.

Euler débute par une Préface. Voici la traduction des titres. des divers chapitres. PREMIÈRE PARTIE. Ch. 1. Des différences finies. Ch. 2. De l'usage des différences dans la théorie des séries. Ch. 3. Des infinis et des infiniment petits. Ch. 4. De la nature des différentielles de tous ordres. Ch. 5., De la différentiation des fonctions algébriques à une seule variable. - Ch. 6. De la différentiation des fonctions transcendantes. Ch. 7. De la différentiation des fonctions à deux ou plusieurs variables. Ch. 8. De la différentiation ultérieure des formules déjà différentiées. Ch. 9. Des équations différentielles.

DEUXIÈME PARTIE. Ch. 1. De la transformation des séries. - Ch. 2. De la recherche des séries qui peuvent être sommées. - Ch. 3. De l'invention des différences finies. Ch. 4. De la transformation des fonctions en séries. Ch. 5. De la recherche.