naturales, dédiées à Richard, évêque de Bayeux; des Regulæ Abaci, qui sont une œuvre originale; enfin une traduction d'un ouvrage d'Al-Hovarez surnommé Al-Khorizmi il s'agit, non de l'Algèbre du célèbre bibliothécaire d'Al-Mamoun, mais de tables astronomiques, où Al-Khorizmi vers l'an 820 abrégeait le Sind-Hind, composé cinquante ans plus tôt par Al-Fazari. M. R. Ball voit dans le texte latin des Éléments euclidiens, tel que le donne Adélard, une véritable traduction, mais faite d'après l'arabe, de l'œuvre incomparable du géomètre grec, et la base de toutes les éditions connues en Europe jusqu'en 1533, époque où on découvrit le texte grec » (1). Plus loin, rencontrant le nom de Campanus, l'auteur d'une traduction des mêmes Éléments, faite aussi sur l'arabe vers 1250 et restée célèbre jusqu'en pleine Renaissance, M. R. Ball accuse l'illustre chanoine de Novare il l'appelle chanoine de Paris - d'avoir plagié le bénédictin anglais : « Une copie de la traduction d'Adélard tomba entre les mains de Campanus, qui la publia comme étant de lui. » C'est résoudre d'un trait de plume l'un des plus complexes problèmes de l'histoire de la Géométrie : les travaux récents de Wüstenfeld, de Weissenborn, de Curtze, de Heiberg et d'autres (2) n'ont point suffi à y apporter la pleine et définitive lumière.

Nous saluerons bientôt encore la mémoire de Campanus. Nous n'entreprendrons cependant, ni alors ni maintenant, la comparaison entre les mérites divers d'Adélard de Bath, de Jean Ocreatus, son disciple, de Gérard de Crémone et de Campanus, qui tous ont traduit de textes arabes les fameux Éléments.

(1) L'année 1533 n'est pas la date de la découverte du texte grec, mais de l'apparition de la première édition de ce texte (Bàle, 1533), due à l'humaniste Simon Grynæus. Soixante-dix ans plus tôt, Regiomontanus (Jean Müller de Koenigsberg) avait découvert le texte grec à Venise, dans la bibliothèque de son ami le cardinal Bessarion. Déjà le moine Barlaam, au XIVe siècle, avait affirmé l'existence, dans les bibliothèques de l'Occident, de manuscrits grecs des Éléments. Zamberti, dès 1505, avait publié à Venise une version latine faite sur un texte grec et, sept ans auparavant (Venise, 1498), Georges Valla avait aussi publié une version analogue du texte grec, mais moins complète. Le texte de Grynæus, comme ceux qui servirent à Zamberti et à Valla, sont des reproductions de la recension de Théon d'Alexandrie (Ive s.). En 1814, F. Peyrard découvrit un manuscrit grec du xe siècle, de la Bibliothèque Vaticane, qui donnait le texte original d'Euclide, copie de manuscrits antérieurs à Théon, et le publia dans son édition d'Euclide (Paris, 1814-1818).

(2) Il nous suffira de renvoyer aux Prolegomena critica dont Heiberg a enrichi son édition critique des Euclidis Elementa, vol. VI (voy, le ch. IV des Prolegomena), Leipzig, 1888, et à une étude faite par Bubnov dans ses Gerberti Opera mathem., 1899, pp. 174 et 175.

Disons cependant que, chez Adélard, les définitions, axiomes et autres notions préliminaires et les énoncés des théorèmes paraissent la simple reproduction de textes latins déjà couramment reçus en Europe dans cette partie du travail, l'écrit d'Adélard et l'écrit de Campanus ne diffèrent guère l'un de l'autre ; les deux savants ont puisé ces notions et ces énoncés à une même source. Mais dans leurs démonstrations, c'est-à-dire dans la presque totalité de l'oeuvre, le contraste entre les deux écrivains est nettement accusé. Adélard donne de simples esquisses des raisonnements euclidiens: il est bref et souvent obscur. Campanus donne aux démonstrations plus d'ampleur et de clarté. Ils paraissent avoir travaillé sur des textes arabes différents chacun a reproduit son modèle, peut-être avec grande fidélité. Parfois le langage scientifique arabe les embarrasse pour se tirer d'affaire, ils encadrent dans leur phrase latine le terme technique oriental et, par exemple, transcrivent les mots arabes helmuayn et helmuaripha, faute de connaitre les équivalents latins de ces traductions des termes euclidiens ῥόμβος et τραπέζιον.

Ces faits s'expliquent aisément. Les Arabes traduisaient avec un respect et une fidélité inviolables les œuvres du génie grec. Mais plusieurs d'entre eux s'imaginèrent, comme souvent les chrétiens plus tard, que le rôle d'Euclide s'était borné à formuler dans d'immortels énoncés les vérités découvertes par la Géométrie antique les démonstrations leur parurent être le travail secondaire de commentateurs anonymes, et dès lors le traducteur arabe se crut le droit de prendre ses libertés. Adélard a eu entre les mains l'œuvre d'un musulman ami des abrégés et avare de son parchemin et de son encre. Campanus, par une meilleure fortune, a rencontré un texte plus voisin de l'original grec et parfois même visant à l'élucider. Par une commune et curieuse destinée, les deux arabisants, Adélard de Bath et Campanus de Novare, qui dotaient l'Europe latine du chef-d'oeuvre de la Géométrie grecque, passèrent habituellement aux yeux de leurs contemporains et des générations suivantes pour les auteurs véritables des inattendues et admirables démonstrations des énoncés euclidiens. Les manuscrits du Moyen Age nous présentent leur œuvre, fréquemment, sous les titres : Euclides cum commento Adelardi ou Euclides cum commento Campani.

Les deux noms d'Adélard et de Campanus se retrouvent liés l'un à l'autre dans l'histoire des polygones étoilés. Les deux soigneux traducteurs des Éléments d'Euclide introduisent à la suite de la fameuse 32 proposition du Livre I — la somme des

angles intérieurs du triangle vaut deux angles droits une digression sur les polygones étoilés, ces figures mystérieuses qui autrefois déjà ont préoccupé les anciens Pythagoriciens: on sait que le pentagone étoilé, ou l'étoile à cinq rayons, symbolisa de bonne heure aux yeux des initiés le caractère essentiellement mathématique des doctrines du philosophe de Samos (1). La petite dissertation d'Adélard l'emporte en étendue et en valeur scientifique sur les remarques de Campanus. Adélard donne une théorie excellente, et la plus ancienne connue, de la somme des angles des polygones convexes et des polygones étoilés ; il fait aussi un essai de classification des polygones étoilés, qui est plus heureux que les essais ultérieurs, et d'ailleurs non sans mérites propres, du mathématicien anglais Bradwardin au XIVe siècle et d'Albert Girard en 1626. Sur le terrain des polygones étoilés, Campanus est donc inférieur à son devancier, sauf cependant pour certain détail. Disons de suite que Campanus prend de brillantes revanches ailleurs par exemple, dans son annotation à la fin du Livre IV, consacrée au problème ardu de la trisection de l'angle (2).-M. R. Ball eût bien fait de signaler cette page de son compatriote Adélard sur les polygones étoilés, puisqu'il signale le « commentaire » analogue de Campanus. Cette page d'Adélard, que Regiomontanus prit un jour la peine de transcrire de sa propre main avec un soin particulier, est, en effet, un très précieux document de l'histoire des Mathématiques au Moyen Age.

Cependant ni Adélard ni Campanus n'ont tiré de leur propre fonds, croyons-nous, ces théories des polygones étoilés. Ils les ont puisées, semble-t-il, à deux sources arabes, non déterminées jusqu'à présent et qui s'alimentèrent elles-mêmes à la science grecque.

(A suivre.)

B. LEFEBVRE, S. J.

(1) Voy. l'étude historique sur les polygones étoilés par Sigismond Günther dans le BULLETTINO de Boncompagni, t. VI (1873), pp. 313-340; la digression d'Adélard est étudiée aux pp. 332-338.

(2) Chasles a attiré l'attention, dès 1837 (Aperçu historique, p. 512), sur cette annotation et a mis en lumière la simplicité de la solution de Campanus, ou plutôt de l'auteur arabe que Campanus reproduit et qui semble s'inspirer des méthodes de Pappus : cette solution revient, en pratique, à la construction d'une conchoïde de Nicomède. Il signale aussi, chez Campanus, l'annotation à la proposition 10o du Livre XIV, où Campanus insiste sur l'importance scientifique du problème de la division d'une droite en moyenne et extrême raison, et l'annotation à la proposition première du Livre XIV, à propos de polyèdres réguliers.

BIBLIOGRAPHIE

I

LEÇONS ÉLÉMENTAIRES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES, par E. A. FOUËT. 2 tomes de XIII+112 et xn+265 pages. - Paris, Gauthier-Villars, 1907 et 1910.

La REVUE a publié en 1904 une analyse détaillée et très autorisée de la première édition de cet ouvrage. Le voici complètement transformé, le remaniement atteignant jusqu'à la distribution fondamentale des matières. C'est une raison plus que suffisante étant donnée surtout la valeur d'orginalité de ces Leçons d'y revenir brièvement.

Signalons tout de suite les additions les plus saillantes. Démonstrations de la formule de Green et du théorème de CauchyGoursat, d'après M. Porter et M. Pringsheim; extensions récentes du théorème de Weierstrass sur les séries à éléments analytiques; recherches de MM. Faber et Hartogs concernant les séries entières à plusieurs variables.

Par contre, un chapitre entier, celui qui traite du prolongement analytique, est tombé. L'auteur l'a réservé au volume suivant.

En général, la refonte de l'ouvrage a eu pour effet de lui donner plus d'unité. En particulier, dans l'étude des fonctions analytiques on a restreint l'importance donnée au développement des vues de Weierstrass et de Riemann, pour marquer avec plus de vigueur le développement de la théorie par la méthode de Cauchy.

Le premier volume sous sa forme nouvelle présente deux parties les fonctions en général, les fonctions analytiques.

Le tome premier peut être considéré comme une Introduction à la théorie générale des fonctions. Le dessein visible de l'auteur

est de mettre un peu d'ordre systématique et de classifier les innombrables fonctions nouvelles qui sont venues enrichir la science mathématique au cours de ces derniers trente ans. L'œuvre était utile; les richesses entassées un peu à la hâte et dans la joie du moment demandaient un inventaire.

De plus en plus les mathématiciens tendent à se distribuer en « écoles» aussi tranchées, aussi entières et exclusives dans leur autonomie, aussi jalouses et aussi fières de leurs méthodes propres, que les « écoles » en musique et en peinture. En outre, chaque chercheur isolé prend son point de vue », s'y cantonne, s'y absorbe, développe sa science sans souci du voisin. De là deux conséquences; une extrême variété de développement qui parvient à introduire la nuance et comme une sorte de liberté plus grande dans un domaine d'où on les crut longtemps exclues; de plus en plus on tend à reconnaître à la mathématique, le caractère d'art en même temps que celui de science. En second lieu, l'arbitraire, et, si le mot n'est pas trop fort, le gachis s'est introduit dans le langage mathématique. D'une part, en effet, le vocabulaire ne s'accroit pas aussi rapidement. que les choses qu'il faut dénommer ; d'où, sur un même vocable, une accumulation de significations diverses. Que l'on songe aux mots intégrale, mesure, discontinu. Pour chacun d'eux on se voit obligé de spécifier à tout moment si on l'entend « au sens de M. J. » ou « au sens de M. B. » Vraiment, quelques néologismes n'eussent pas été superflus. D'autre part, le manque d'entente, l'isolement de chacun dans la sphère qu'il s'est choisie, amènent aussi, par une action contraire, un même objet a prendre plusieurs appellations diverses.

A cette situation, M. Fouët ne pouvait apporter qu'un palliatif rapprocher en un catalogue méthodique ces notions nouvelles. Mieux que leurs appellations peu logiques, leur subordination intrinsèque permet d'en concevoir l'ensemble suivant un plan bien net. Chacun de ces genres de fonctions vient prendre sa place dans la hiérarchie des êtres mathématiques. Les propriétés qui doivent les définir, les caractériser, en indiquer la fécondité et l'usage, sont discernées avec un rare sens de ce qui est essentiel et constitue la membrure d'une théorie; elles se trouvent décrites avec précision, étudiées avec rigueur. Le caractère synthétique et substantiel des Leçons de M. Fouët se voit encore accentué par le fait qu'il a rejeté dans d'innombrables notes tous les développements, les indications bibliographiques nombreuses, les prolongements soupçonnés ou à peine