purement nominale et qu'elle s'exerce à la fois dans l'élaboration des programmes et dans l'indication des principales conditions à remplir par leur développement, car on ne peut laisser d'être frappé de la sorte d'homogénéité qui ressort des exposés, faits par des auteurs différents, de questions de nature très diverse. M. Borel a d'ailleurs fourni lui-même plusieurs excellents modèles de ce genre d'exposé (1) auxquels vient se joindre son nouveau volume renfermant ses Leçons sur la théorie de la crois

sance.

Cette théorie de la croissance est en train de prendre une place. importante parmi celles qui constituent les fondements mèmes des Mathématiques. De même que, pour leur expression analytique, on s'est efforcé de ramener par le moyen des développements en séries de puissances entières, séries de polynomes, séries trigonométriques, etc. - les fonctions les plus diverses à quelques types simples, dits élémentaires, étudiés à fond une fois pour toutes, on s'applique aujourd'hui à fixer ce qu'on pourrait appeler l'allure de leurs variations en les comparant à celles de quelques types fondamentaux les puissances entières et la fonction exponentielle regardée comme une sorte de puissance infinie, puisque sa croissance est supérieure à celle de toute puissance entière, si grand que soit son exposant. Il y a là un ordre d'idées tout nouveau, que, pour sa part, M. Borel a notablement contribué à faire éclore, et dont il était souhaitable d'avoir enfin un exposé systématique. C'est cet exposé, recueilli par M. Denjoy, d'après les leçons faites à la Sorbonne par M. Borel, qui forme la matière du présent volume. Au reste, ainsi que le rappelle M. Borel lui-même dans sa Préface, « on sait que M. Denjoy s'est déjà distingué par de profondes recherches personnelles sur des matières touchant de près à celles qui sont traitées ici ».

Après avoir, en une rapide Introduction, résumé les notions sur les suites et sur la croissance essentielles à son objet, l'auteur, en trois chapitres, trace les grandes lignes d'une théorie générale et abstraite des ordres de croissance.

Tout d'abord, il établit une notation des ordres types de croissance en envisageant certains types fondamentaux de fonctions croissantes et en adjoignant à chacun d'eux un signe caractéris

(1) Voir, dans cette REVUE, les livraisons de janvier 1899 (p. 256), avril 1900 (p. 604), octobre 1901 (p. 632), avril 1902 (p. 626), octobre 1903 (p. 597), avril 1905 (p. 616).

tique de son ordre de croissance, ce qui lui permet ensuite, en définissant les opérations sur les ordres, de noter, par des combinaisons de signes élémentaires, les ordres de fonctions formant des classes de plus en plus étendues, parmi lesquelles il distingue les fonctions à croissance régulière.

Il étudie ensuite- problème évidemment capital- l'influence de la différentiation et de l'intégration sur les ordres de croissance. Bien que ce problème soit habituellement résolu par des méthodes particulières à chaque cas, il s'attache uniquement à dégager des faits généraux et réussit ainsi à poser les fondements d'une doctrine d'ensemble. Ce sont là, au reste, questions assez épineuses, et il ne faut rien de moins que la pénétration d'esprit de l'auteur pour en surmonter les difficultés.

Les deux derniers chapitres sont consacrés aux applications, et, d'abord, aux applications analytiques visant l'étude des séries et des produits infinis. Cette étude conduit notamment l'auteur à de très curieuses et très utiles formules d'approximation pour la fonction . Il analyse en détail, par les produits infinis, la relation entre la croissance d'une fonction entière et celle de ses zéros quand les croissances sont régulières. Pour les croissances irrégulières, il la met en évidence sur le développement en série de Taylor.

Les applications arithmétiques terminent le volume. Elles visent surtout à utiliser la notion de croissance dans la classification des nombres incommensurables, en mettant en évidence d'étroites affinités entre les notions de croissance et d'incommensurabilité. De telles considérations sont parmi les plus délicates de celles que peut soulever l'étude des nombres, et M. Borel est de ceux à qui il a été donné d'émettre, à leur endroit, les idées les plus profondes, se rencontrant, au surplus, sur les points essentiels avec celles de M. Poincaré; il semble bien, en effet, que la distinction entre les classifications prédicatives et non prédicatives, introduite par celui-ci, se confonde avec celle qu'avait précédemment établie M. Borel entre les ensembles effectivement énumérables et ceux qui ne le sont pas. Notons, en passant, l'importance nouvelle attribuée par l'exposé de l'auteur à la notion de fraction continue, bannie aujourd'hui, à tort sans doute, des programmes de l'enseignement classique français. Cette dernière partie de l'ouvrage, où M. Borel étudie l'approximation des nombres quelconques soit par les nombres rationnels, soit par les nombres algébriques, en est d'ailleurs une des plus intéressantes.

II. Les fonctions entières d'ordre infini, qui se rattachent au sujet précédent et auxquelles est consacré le volume de M. Otto Blumenthal, constituent, elles aussi, un des domaines les plus nouvellement explorés de l'analyse mathématique, exploré d'ailleurs, celui-ci, tout spécialement par l'auteur lui-même, en sorte que son volume est, pour la majeure partie, entièrement inédit et fait figure de mémoire original.

Le volume s'ouvre par un historique - nécessairement très court, puisque la question est née d'hier où l'auteur, après avoir rappelé les travaux de MM. Hadamard, Boutroux et Maillet sur les fonctions d'ordre infini non transfini, montre que c'est M. Borel qui a jeté les fondements d'une théorie comprenant toutes les fonctions entières d'ordre infini. « C'est, dit l'auteur, avec une intuition profonde et pénétrante que M. Borel a reconnu et signalé les difficultés spéciales du problème et indiqué les principaux moyens pour les surmonter. »

Mais M. Blumenthal a proposé lui-même un concept auxiliaire nouveau, celui de fonction type, dont M. Kraft a su tirer un excellent parti pour traiter des cas généraux qui échappaient aux méthodes de M. Borel, et que l'auteur reprend à son tour pour en faire la base de son exposé.

Il commence, en un très court chapitre, par faire une étude préliminaire de la croissance du module maximum d'une fonction de variable complexe à l'intérieur d'un cercle, ayant son centre à l'origine, dont on fait varier le rayon, afin de mettre en évidence, sur des exemples, certaines particularités et irrégularités que peut présenter cette croissance et de justifier par là les développements ultérieurs.

Ayant, à propos des fonctions continues croissantes en général, été amené à distinguer entre des vitesses de croissance ordinaire ou exceptionnelle, l'auteur se pose ensuite un problème d'interpolation, ou mieux d'ajustement consistant à remplacer une fonction croissante quelconque par une fonction qui ne croît jamais exceptionnellement vite; c'est précisément le problème des fonctions types.

L'étude de la distribution des points où une fonction prend une valeur déterminée le conduit à d'importantes généralisations de propriétés fondamentales relatives au cas d'un ordre fini.

Il en déduit, de façon synthétique, une théorie générale des produits canoniques, c'est-à-dire constitués au moyen de facteurs primaires de Weierstrass, où se rencontrent d'importants théoIII SÉRIE. T. XVII.

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rèmes. Il soumet d'ailleurs cette théorie à une critique pénétrante et montre, à l'aide d'exemples, qu'on ne peut espérer l'améliorer sensiblement par des changements de détail. Il en compare les résultats à ceux de la théorie que, dans le même ordre d'idées, M. Denjoy a esquissée, et conclut à leur quasiéquivalence au point de vue de la précision. « Mais, ajoute-t-il, leurs avantages respectifs se trouvent sur des terrains différents. Il y a lieu d'espérer que des recherches ultérieures permettront d'arriver à une théorie qui les comprenne toutes les deux comme cas particuliers. C'est un problème qui mérite au plus haut degré l'attention de ceux qui s'intéressent aux fonctions entières. Ce passage souligne particulièrement ce que nous avons dit plus haut du caractère des volumes en question, évocateurs de la science en mouvement », nous aurions même pu dire en voie de formation ».

Appelant fonctions complètes les fonctions entières les plus générales, l'auteur aborde enfin l'étude des relations qui existent entre l'ordre d'une fonction complète et une distribution de zéros quelconque.

Ces recherches sont fondées sur la décomposition d'une fonction complète en deux facteurs une exponentielle et un produit canonique. Mais le choix de ce produit canonique, parfaitement déterminé dans le cas de l'ordre fini, risquerait, pour l'ordre infini, de rester arbitraire si l'auteur n'y avait remédié par l'introduction, très justifiée, de ce qu'il appelle les produits canoniques normaux.

Il se trouve ainsi conduit à approfondir d'une façon très intéressante la généralisation, donnée par M. Borel, du théorème de M. Picard touchant la relation qui existe entre l'ordre d'une fonction et la densité de ses distributions de zéros, et à montrer que cette généralisation ne se borne pas à l'énoncé, déjà pourtant d'importance capitale, de M. Borel, mais peut encore être effectuée sous une autre forme appelée à jouer, en ce domaine, un rôle non moins fondamental.

Le volume se termine par deux notes relatives l'une à la théorie générale des fonctions types envisagées au Chapitre II, l'autre au facteur primaire de Weierstrass et faisant connaître diverses inégalités d'une grande utilité pour les applications visées par l'auteur.

M. O.

IV

DE L'ORDONNANCE DES NOMBRES DANS LES CARRÉS MAGIQUES IMPAIRS (PROCÉDÉS GÉNÉRAUX POUR LEUR CONSTRUCTION IMMÉDIATE), par A. MARGOSSIAN, ingénieur, ancien élève de l'École des Ponts et Chaussées. Un vol. in-8°, 133 pages. - Paris, A. Hermann, 1908.

Le problème des carrés magiques consiste, on le sait, à ranger dans les n2 cases d'un carré, disposées comme sur un damier, n nombres entiers, de façon que la somme de ces nombres, ou éléments, soit la même dans chaque ligne, dans chaque colonne et dans chacune des deux diagonales.

D'ordinaire, on se borne au cas où les n2 éléments sont les n2 premiers nombres naturels la somme constante envisagée est alors n (n2+1). Un tel carré est dit un carré magique de n. 12 Voici, par exemple, un carré magique de 3 et un carré magique de 4,

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l'un, connu en Occident dès le x siècle, l'autre reproduit par le burin d'Albert Dürer en 1514 dans sa célèbre gravure sur cuivre Melencolia.

La construction des carrés magiques était jusqu'aujourd'hui tout empirique. Le procédé de Bachet de Méziriac, où l'auteur des Problemes plaisans et delectables (1612) se rencontre avec le mathématicien byzantin Manuel Moschopoulos (xIve s.), et l'antique procédé des Hindous, publié par Simon de la Loubère (1691), ne donnent qu'un type particulier de carré pour chaque module (ou valeur de n): ils imposent une marche invariable aux nombres et ils placent le premier nombre de la série dans une case déterminée. Les méthodes de G. Arnoux dans son livre sur les Espaces arithmétiques hypermagiques (1894), très compliquées d'ailleurs, ne font pas connaître les liens qui relient les carrés de divers types. Le mérite de M. Margossian consiste dans la découverte de méthodes absolument générales pour la