nablement conduites est de loin supérieur à ce que l'on a pu obtenir jusqu'à présent par le chauffage à la main. D'après les recherches effectuées en Angleterre par David Brownlie, le rendement moyen des installations de chauffage de ce pays est de 58 %; pour les centrales électriques il oscille entre 65 et 70 %; quelques rares installations atteignent 75%. Or, si les chaufferies étaient conçues et fonctionnaient suivant des principes scientifiques, on devrait arriver partout au moins à ce dernier chiffre, ce qui se traduirait en pratique par une économie annuelle de 20 millions de tonnes de charbon. Sans crainte d'être démenti on peut affirmer qu'à l'heure actuelle un cinquième environ du charbon consommé dans l'industrie pourrait être économisé. Ce n'est pas seulement dans la création de grandes installations qu'il faut poursuivre l'emploi du charbon pulvérisé, c'est partout, même dans les petites usines, de manière à augmenter le rendement général du pays entier. En Belgique, à ce point de vue les progrès sont des plus encourageants. De 1285 mètres carrés de surface de chauffe alimentés par du pulvérisé en 1922 on est successivement passé à 6.781 en 1923, 14.645 en 1924 et 33.165 en 1925. C'est déjà très beau, malheureusement c'est peu de chose encore en regard des 2.029.702 mètres carrés de surface de chauffe existant dans le pays au 31 décembre 1924.

Toutefois, le procédé se répand et il n'y a pas de doute que dans un avenir prochain il ne se développe largement également en Belgique comme il l'a fait en Amérique.

M. DEMANET,
Ingénieur Civil.

BIBLIOGRAPHIE

I. L'OCHÉMATIQUE (LE CALCUL VECTORIEL). Ses applications géométriques et ses rapports avec le calcul différentiel absolu, par AXEL EGNELL, docteur ès sciences. — Un vol. in-8° raisin de XIV-572 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1926. Prix 112 fr.

Le calcul vectoriel est à l'ordre du jour; depuis quelques années les exposés s'en multiplient, se rattachant à des points de vue plus ou moins différents; en voici encore un et, qui plus est, paré d'un nom nouveau dérivé du mot grec oxnua (vecteur) dont, à la vérité, le besoin ne se faisait peut-être pas absolument sentir. En tous cas, ce nouvel exposé est excellent et propre à rendre les plus grands services aux étudiants. Plus particulièrement, il constitue une tentative d'étude de la géométrie infinitésimale au moyen du seul calcul vectoriel.

L'ouvrage se divise en trois parties. La première contient une présentation des méthodes et des règles qui caractérisent le calcul vectoriel proprement dit, à l'exclusion des notions complémentaires introduites dans le calcul géométrique, tel qu'il a été créé par H. Grassmann. Dans le domaine restreint qu'il s'est assigné, l'auteur a visé à donner un exposé systématique et complet de ces théories élémentaires, en y faisant entrer toutes les notions nécessaires en vue de l'extension ultérieure à un espace d'un nombre de dimensions. quelconque.

La seconde partie contient un développement des théories classiques des courbes gauches, des surfaces et des congruences de droites, traitées à l'aide des méthodes vectorielles. Dans un sujet aussi vaste, il a fallu nécessairement faire un choix. L'auteur s'est attaché à ne négliger aucune des théories IVe SÉRIE, T. XI.

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essentielles et à montrer par des exemples, se rapportant à des questions plus complexes, que le calcul vectoriel peut rendre également des services dans un domaine plus élevé.

Enfin la troisième partie traite des géométries euclidienne et riemannienne à n dimensions et des rapports entre le calcul vectoriel et le calcul différentiel absolu. Les concepts relatifs à cette dernière théorie sont présentés à l'aide des méthodes vectorielles, ce qui a permis, notamment, de ramener aux notions introduites précédemment celles de dérivées covariantes et contrevariantes, et d'exprimer les tenseurs de Riemann-Christoffel, les tenseurs contractés et l'invariant courbure à l'aide de certains vecteurs, analogues à ceux déjà rencontrés dans les théories élémentaires, et de la divergence de ces vecteurs. Ce rapprochement entre le calcul vectoriel et le calcul différentiel absolu présente l'avantage d'établir une uniformité plus grande dans les procédés qui caractérisent ce dernier calcul, et de projeter une clarté nouvelle sur les origines de ces procédés.

M. Koenigs a écrit pour le livre une préface très justement louangeuse où il déclaré que l'auteur, qui s'était fait précédemment connaître par d'intéressantes contributions au sujet traité, « était tout désigné pour écrire un livre aussi original et profond que celui-ci ». Nous nous associons très volontiers à cette appréciation. M. O.

FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES ET HYPERSPHÉRIQUES. POLYNOMES D'HERMITE, par P. APPELL, membre de l'Institut et J. KAMPÉ DE FÉRIET, professeur à la Faculté des Sciences de Lille. Un vol. in-4o carré de 434 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1926. Prix: 105 fr.

On sait le rôle important joué en haute analyse par toutes ces fonctions. La théorie des fonctions hypergéométriques de plusieurs variables a son point de départ dans un célèbre mémoire publié en 1882 par M. Appell; elle a dû, depuis lors, d'importantes contributions à MM. Goursat, Picard, Le Vavasseur, Pierre Humbert, Kampé de Fériet.

Les polynomes de Legendre à une variable, nés à propos de l'étude du potentiel newtonien de l'espace à trois dimensions, ont, en 1865, conduit Hermite, par voie de généralisation, du point de vue algébrique, à certains polynomes à deux

variables dont il a mis en évidence les propriétés fondamentales, et qui, ainsi que M. Appell en a, le premier, en 1913, fait la remarque, se trouvent jouer dans la théorie du potentiel de l'espace à quatre dimensions le même rôle que ceux de Legendre dans le cas de trois dimensions. De plus, M. Kampé de Fériet, dans une thèse remarquée (1915) a montré que ces fonctions hypersphériques s'expriment très simplement par des fonctions hypergéométriques de plusieurs variables ayant avec elles un rapport aussi étroit que les polynomes de Legendre avec la série de Gauss. Une extension au cas de n variables est due à Didon.

Enfin un cas limite des polynomes précédents, qui avait, dès 1864, été envisagé par Hermite, apparaît aujourd'hui comme découlant du potentiel dans un espace à un nombre infini de dimensions.

Tous les résultats concernant ces diverses théories étaient restés jusqu'ici dispersés dans un grand nombre de mémoires insérés dans les périodiques les plus divers. Dans le traité magistral qu'ils nous donnent aujourd'hui, les auteurs les ont réunis en un exposé d'ensemble de caractère didactique. C'est une œuvre qui comptera dans la haute littérature mathématique de notre temps. M. O.

FORMULES STOKIENNES, par A. BUHL, professeur à la Faculté des Sciences de Toulouse. 60 pages.

THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIEs de DirichleT, par G. VALIRON, professeur à la Faculté des Sciences de Strasbourg. 56 pages.

Fascicules XVI et XVII du MÉMORIAL DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, publié sous la direction d'HENRI VILLAT. Paris, Gauthier-Villars, 1926. Prix: 16,80 fr.

L'élégant résumé dû à M. Buhl des principaux développements qui se rattachent aux formules stokiennes. constitue une lecture des plus suggestives, propre à ouvrir les horizons les plus inattendus sur l'application de l'analyse aux diverses branches de la mécanique et de la physique mathématique.

Le lecteur est tout surpris de saisir le lien caché qui unit des disciplines d'abord assez différentes à ses yeux, de com

prendre, par exemple, comment la dynamique classique du point et des milieux continus peut être rattachée aisément à l'électro-magnétisme, même avant d'avoir recours à la méthode einsteinienne proprement dite, comment le même symbolisme conduit aux équations générales d'Einstein et à la transformation de Lorentz, comment le point de vue stokien embrasse des théories depuis longtemps classiques en analyse, comme celles des parenthèses de Poisson et des crochets de Lagrange, auxquelles viennent encore se joindre celles des équations aux variations, des invariants intégraux, etc. Il n'est pas moins surprenant de voir apparaître les analogies de la théorie des groupes de Sophus Lie avec les théories einsteiniennes. L'auteur, suivant la règle du Mémorial où il écrit, se dispense de donner le détail des démonstrations simplement esquissées, parfois même seulement indiquées, mais, grâce à d'abondantes références bibliographiques, il permet au lecteur soucieux de creuser le sujet de se reporter à toutes les sources propres à le satisfaire.

La même observation s'étend, bien entendu, au remarquable compendium de la théorie générale des séries de Dirichlet dû à M, Valiron. Les importants travaux relatifs à ces séries, parmi lesquels, en France, ceux de MM. Cahen et Hadamard méritent une mention spéciale, dispersés en de nombreux recueils, n'avaient pas encore fait l'objet d'une synthèse d'ensemble comme celle qu'avec une compétence particulière, appuyée de contributions personnelles au sujet, vient de nous donner M. Valiron.

Rien de ce qui compte à cet égard dans la production contemporaine ne lui a échappé, et il a su, avec adresse, en faire un tout harmonieux, débutant par une étude approfondie du domaine de convergence, exposant les procédés d'extension analytique et notamment ceux de MM. Riesz et Hardy, faisant connaître enfin les nouveaux et importants développements que le sujet doit à M. Bohr. M. O.

TRAITÉ DU CALCUL DES PROBABILITÉS ET DE SES APPLICATIONS, publié sous la direction d'ÉMILE BOREL. Paris. Gauthier-Villars, 1926.

Tome II, fasc. I: Application à l'arithmétique et à la théo