rie des fonctions, par E. BOREL, rédigé par P. Dubreil, élève de l'École normale supérieure.-100 pages. - Prix: 23,80 fr.

Tome IV, fasc. I: Applications au tir, par J. HAAG, professeur à la Faculté des Sciences de Clermont-Ferrand. 182 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1926. — Prix : 35 fr.

Dans ce magistral traité du calcul des probabilités dont nous avons précédemment indiqué le programme d'ensemble et signalé les divers fascicules déjà parus (1), M. Borel en consacre un, rédigé par un de ses élèves, M. Dubreil, d'après ses leçons de la Sorbonne, aux applications arithmétiques. Applications du calcul des probabilités à l'arithmétique ! Cela semble presque, au premier abord, une sorte d'antinomie. La détermination arithmétique des nombres satisfaisant à des conditions données résulte, en effet, d'opérations qui ne comportent aucun aléa. Sans doute; mais l'étude de la répartition des chiffres dans certaines suites indéfinies devient tributaire du calcul des probabilités, donnant lieu à certaines propriétés asymptotiques.

Cette difficile étude amène d'ailleurs l'auteur à introduire, entre les probabilités discontinues et les probabilités continues, ce qu'il appelle les probabilités dénombrables, dont, sous forme d'une sorte de prolégomènes, il établit la théorie.

Ce ne sont pas seulement les développements décimaux, mais encore les fractions continues qui se prêtent aux recherches de ce genre.

De même la mesure de l'ensemble des points d'un domaine pour lesquels une fonction, définie dans ce domaine, possède une certaine propriété peut être regardée comme la probabilité pour que, dans le domaine, la fonction considérée jouisse de cette propriété. Son étude se trouve ainsi être également tributaire du calcul des probabilités.

Au milieu de toutes ces questions ardues l'habileté analytique de M. Borel se joue avec une incomparable maîtrise. Quant aux applications du calcul des probabilités au tir, elles constituent, depuis longtemps, un chapitre classique du sujet, mais un mathématicien tel que M. J. Haag,

(1) Livraison de la REVUE de janvier 1925, p. 239; octobre 1925, p. 515 juillet 1926, p. 211.

que ses fonctions pendant la guerre ont conduit à creuser la question avec toutes les ressources de l'analyse moderne, ne pouvait évidemment pas ne pas en renouveler la face. Et, de fait, tout en exposant avec la plus grande clarté tout ce que la science avait précédemment acquis dans cette voie, M. Haag fait connaître le fruit de ses recherches personnelles sur des sujets importants comme le calcul de la portée moyenne et de l'écart probable, le réglage d'une pièce ou d'une batterie, le rendement, la probabilité d'efficacité et le tir sur zone. L'auteur développe aussi de curieuses considérations sur le tir de chasse; le tout marqué au coin d'une parfaite élégance mathématique. M. O.

COURS DE MÉCANIQUE CÉLESTE, par H. ANDOYER, membre de l'Institut et du Bureau des longitudes, professeur à la Faculté des Sciences de Paris. Tome II. - Un vol. gr. in-8o de 454 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1926.

Prix 126 fr.

Nous avons (1), à propos du tome I de cet ouvrage, fait connaître ses principales caractéristiques; il est inutile que nous y revenions ici. Nous nous contenterons d'indiquer sommairement les matières que contient ce second volume : suite de la théorie des planètes, et, plus particulièrement, étude détaillée du calcul des perturbations de leur mouvement, pour lequel l'auteur expose deux méthodes nouvelles, dérivées, avec des modifications assez profondes, de celles de Laplace et de Hansen; théorie de la lune (2), avec une nouvelle méthode pratique pour le calcul des inégalités de son mouvement; théorie du mouvement de rotation de la terre et de la lune autour de leurs centres de gravité; théorie des anciens satellites de Jupiter. A propos du mouvement de ces satellites, comme aussi de celui de la lune, l'auteur utilise divers résultats relatifs aux inégalités séculaires qu'il a établis précédemment d'une façon générale en faisant remarquer que, dans le cas des grosses planètes, ils n'ont qu'un

(1) Livraison de la REVUE de juillet 1923.

(2) M. Andoyer vient aussi de donner une seconde édition, mise au point de son opuscule sur la théorie de la lune paru dans la collection Scientia et analysé dans la REVUE (octobre 1903, p. 615).

intérêt purement théorique, alors que, dans les deux cas sus-visés, certaines circonstances particulières leur confèrent une valeur pratique.

Nous ne saurions que renouveler ici les éloges que nous avons formulés à la fin de notre compte-rendu du tome I, pour les étendre à l'ensemble de tout l'ouvrage, œuvre d'un très savant théoricien parfaitement instruit des vrais besoins de la pratique. M. O.

II. EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL. Ier volume. Résumé théorique et énoncés d'exercices, par l'Abbé POTRON.- Un vol. de XVIII-332 pages (25 × 27). Paris, Hermann, 1926. Prix 35 francs.

Le recueil de M. l'Abbé Potron se différencie des ouvrages similaires par l'ampleur et le groupement des questions traitées. La plupart des théories qui font l'objet des Traités d'Analyse s'y trouvent résumées avec beaucoup de soin et le souci constant de ne rien sacrifier de la rigueur. L'auteur insiste particulièrement sur celles qui se prêtent aux applications courantes et il les fait suivre chaque fois d'une série d'exercices empruntés aux compositions du certificat de calcul différentiel et intégral. A cet égard, le livre de M. l'Abbé Potron témoigne de l'élévation de l'enseignement des mathématiques en France. Pour résoudre les exercices, point n'est besoin de se reporter aux ouvrages spéciaux ; celui de M. Potron suffit et c'est là un de ses grands mérites. Les étudiants regretteront peut-être l'absence de toute indication, en dehors des développements qui les précèdent, ou seulement les solutions de quelques-unes des questions proposées. Mais M. Potron leur promet un second volume où seront développées les solutions des compositions données aux examens et où ils retrouveront résolus les problèmes simples posés dans le premier volume.

L'ouvrage s'ouvre sur l'étude algébrique des dérivées et des différentielles et leurs applications géométriques rangées suivant les propriétés du premier ordre (lignes, surfaces, enveloppes, congruences de courbes, surfaces réglées, trajectoires orthogonales) et du second ordre (courbure, torsion, contact, indicatrice, éléments des lignes tracées sur une surface).

Dans la seconde partie, qui traite du calcul intégral, l'auteur passe en revue les notions de simple quadrature, d'intégrale définie, la recherche des primitives, la dérivation et l'intégration sous le signe et les intégrales multiples. Les applications portent sur le calcul des aires, des volumes. et les relations entre intégrales d'ordres différents.

Les méthodes d'intégration des équations différentielles linéaires et d'ordre supérieur et des systèmes différentiels occupent la troisième partie. La quatrième partie a pour objet les équations aux dérivées partielles et leurs applications à l'étude des propriétés des bandes caractéristiques.

Aux fonctions analytiques (5e partie), l'auteur rattache les fonctions algébriques du second degré, les fonctions définies par une intégrale, les séries, les fonctions méromorphes, les intégrales hyperelliptiques, les fonctions implicites et les solutions des systèmes différentiels. L'ouvrage se termine sur trois chapitres (6o partie) se rapportant aux transformations des surfaces, aux séries trigonométriques et au calcul des variations.

Cet ouvrage sera également précieux pour ceux qui savent déjà et pour ceux qui apprennent. F. SIMONART.

LA LOGIQUE DES MATHÉMATIQUES, par M. STANISLAS ZAREMBA. Un vol. de xxx du Mémorial des Sciences mathématiques. - Paris, Gauthier-Villars, 1926.

Pour M. Zaremba, la logique des mathématiques se confond avec la logique déductive ou la logistique. Cette science, dont l'origine remonte jusque vers le milieu du siècle dernier, tend à se substituer à la logique aristotélicienne et revendique pour elle-même le privilège de donner une théorie générale de ladémonstration. Désignée d'abord par Peano sous le nom de pasigraphie elle a connu, avant de s'élaborer, bien des vicissitudes; sa valeur et son utilité ont été contestées et soutenuespar les esprits les plus subtils qui se sont livrés à son sujet à des luttes demeurées célèbres (1). A la faveur de cellesciet grâce à l'habileté de ses partisans, la logistique est parvenue à dégager quelques principes clairs, nettement acquis et à poser de nouveaux problèmes qui attendent encore

(1) H. Poincaré, Science et Méthode.

une solution. Le livre de M. Zaremba et les indications bibliographiques qui font suite à son exposé, permettront au lecteur de se renseigner sur l'évolution de la logique mathématique et sur son état actuel. F. SIMONART.

III. THE THIRTEEN BOOKS OF EUCLID'S ELEMENTS translated from the text of HEIBERG, with Introduction and Commentary by sir THOMAS HEATH. Second edition revised with additions. Volume I, Introduction and Books I-II; pp. xII-432 et un fac-similé de manuscrit hors texte. Vol. II, Books III-IX; pp. (vi) 436. Volume III, Books X-XIII and Appendix; pp. (VIII) 546. Cambridge Uni

versity Press. 1926.70 sh. net.

De tous les écrivains de langue anglaise, sir Thomas Heath est aujourd'hui, croyons-nous, celui qui connaît le mieux l'histoire des mathématiques grecques, et c'est en toute confiance qu'il faut lire la seconde édition de ses études sur les Eléments d'Euclide.

Le texte courant est traduit d'après l'édition critique d'Heiberg. Avec raison, selon nous, sir Heath suit la rédaction du géomètre grec de beaucoup plus près que dans ses versions d'Archimède, d'Apollonius et de Diophante. Cellesci sont plutôt des adaptations dans lesquelles le traducteur se contente de donner, en notations modernes, l'esprit et la marche de la démonstration originale, sans se préoccuper de la phrase grecque. Excellent procédé, je le veux bien, pour se rendre intelligible; mais procédé qui altère à ce point la forme de la pensée antique qu'il peut induire en erreur ceux qui n'ont pas fait de l'histoire des mathématiques une étude spéciale. Sans exclure complètement l'écriture algébrique à laquelle Euclide ne songea jamais, sir Heath l'emploie beaucoup plus sobrement que dans ses autres traductions. On ne peut que l'approuver.

Mais l'incontestable supériorité des Eléments d'Euclide du savant anglais, sur la plupart des travaux analogues, consiste dans les nombreuses notes répandues dans le texte et dans l'Introduction, dont on ne saurait trop admirer l'érudition aussi riche que sûre.

L'introduction se divise en neuf chapitres dont voici les titres :