qui se rattachent au rapport anharmonique et à la projectivité. Il aborde immédiatement l'étude des coniques isolées et en faisceaux ainsi que des triangles qui se rattachent à ces courbes.

Passant à des questions plus élevées, l'auteur étudie la transformation quadratique d'une droite et d'une conique. Un chapitre est consacré aux rapports des coniques avec les quadrilatères inscrits et circonscrits. Deux chapitres traitent des propriétés des cubiques et, plus particulièrement, des cubiques à point double, ainsi que des figures corrélatives, les courbes de troisième ordre à tangente double.

Abordant ensuite la géométrie à trois dimensions, l'auteur consacre quelques pages aux cônes du second degré et de la seconde classe. Avant de passer à l'étude des faisceaux de quadriques, il rappelle la notion d'involution en la généralisant, puis il étudie les réseaux de quadriques qui sont des systèmes à trois bases et il expose les propriétés des tétraèdres qui se rattachent aux surfaces du second degré. Les cubiques gauches font l'objet du chapitre suivant, puis, revenant aux surfaces, l'auteur étudie en détail successivement les surfaces de Steiner, les surfaces réglées du troisième ordre, le cylindroïde et les surfaces de Cayley.

Deux notes, l'une sur le quadrilatère harmonique, l'autre sur le cercle et la sphère, suivies d'un grand nombre d'exercices, terminent le livre.

Ce tableau trop succinct montre combien est importante la matière traitée dans ce bel ouvrage. L'étudiant y trouvera un vaste champ d'application des méthodes de la géométrie projective, il se rendra compte de la fécondité de ces méthodes qui ne le cèdent en rien à celles de la géométrie analytique tout en ayant sur celles-ci l'avantage d'être plus géométriques.

L'auteur a apporté à la rédaction de son livre une empreinte très personnelle et un grand souci d'élégance qui en rend la lecture agréable. G. VERRIEST.

MENGENLEHRE, von F. HAUSDORFF.

Un vol. de 286 pages (25 × 17). -Berlin et Leipzig, De Gruyter, 1927. Prix 12 Mark.

Le livre du savant professeur de Bonn forme le septième volume de la série de mathématiques pures de la collection

« Goeschen's Lehrbuecherei ». Cet ouvrage, dont une première édition a paru en 1914, est un traité systématique de l'importante théorie des ensembles. La sortie de presse de ce volume sera accueillie avec d'autant plus d'intérêt que, depuis l'épuisement de la première édition, il n'existait pas, croyonsnous, en librairie, un traité systématique suffisamment fouillé sur cette théorie. L'auteur ne prétend toutefois pas présenter un traité absolument complet; pour ne pas trop allonger son exposé, il a passé sous silence certaines questions traitées dans l'édition précédente, notamment l'introduction aux intégrales de Lebesgue ; par contre, il expose explicitement des théories plus récentes telles que celles des ensembles de Borel et de Souslin et la théorie des fonctions de Baire.

Il serait difficile de faire l'analyse du contenu de ce remarquable ouvrage sans sortir du cadre d'un compte rendu bibliographique. La théorie des ensembles a donné naissance, depuis vingt-cinq ans à de nombreux mémoires et il n'est pas un domaine des mathématiques qui ait vu éclore en si peu d'années une telle abondance de concepts nouveaux. A cette théorie en apparence si éloignée de tout contact avec les autres branches de la science mathématique se rattachent d'importantes applications et, ce qui n'en fait peut-être pas le moindre intérêt, ce sont les paradoxes célèbres qu'on y a rencontrés. L'effort réalisé pour écarter ces difficultés a soulevé de graves problèmes concernant les fondements mêmes de la logique, à tel point que le principe du tiers exclu, dont aucun esprit bien fait ne semblerait devoir douter, se voit aujourd'hui rejeté par toute une école.

Bornons-nous à donner un aperçu des grandes questions exposées par l'auteur. Les divers chapitres de l'ouvrage sont consacrés aux notions générales, aux nombres cardinaux, aux types d'ordre, aux nombres ordinaux, aux systèmes d'ensembles, aux ensembles de points, aux rapports de ceux-ci avec les nombres ordinaux, à la représentation d'un espace sur un autre et enfin aux fonctions réelles. Les indications bibliographiques sont particulièrement soignées.

La Mengenlehre de Hausdorff est, sans conteste, un ouvrage de premier ordre qui ne saurait être assez recommandé,

L'exécution matérielle du livre est, d'autre part, très bien soignée.

G. VERRIEST.

V. COURS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE, par B. NIEWENGLOWSKI, inspecteur général honoraire de l'Instruction publique. Tome IV: Application des quaternions à la géométrie analytique. Un vol. in-80 de 212 pages. - Paris, Gauthier-Villars, 1927. Prix 40 francs (majoration de 40 % en sus).

Ceci est un signe des temps. Le cours de géométrie analytique de M. Niewenglowski est, depuis plus de trente ans, un des traités sur la matière les plus justement classiques en France. Il en est, avec ses trois tomes, à sa troisième édition, et voilà qu'il s'augmente d'un quatrième tome consacré au calcul des quaternions. Ce précieux outil d'investigation géométrique, dû au génie de Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), est entré depuis longtemps dans la pratique courante des mathématiciens britanniques. On sait, en particulier, l'usage qu'en ont fait des physiciensmathématiciens comme Lord Kelvin et Tait, dans leurs belles études de philosophie naturelle. En France, il semble qu'on ait éprouvé quelque hésitation à ne pas rester strictement fidèle à la pure méthode cartésienne, malgré l'exemple encourageant des beaux travaux venus d'Outre-Manche. En dépit des évidentes et considérables simplifications qui s'attachent à l'emploi des quaternions, ce mode de calcul est resté pendant longtemps pour nous une sorte de curiosité théorique, cultivée seulement par un très petit nombre d'initiés. Il est juste d'ajouter que nous manquions un peu, dans notre langue, d'exposés d'une réelle valeur didactique. A ce point de vue, un premier pas fut franchi, en 1889, lors de l'apparition d'une mince brochure de Sarrau, marquée au coin de la précision et de la clarté qui caractérisaient toutes les productions de ce maître éminent. Mais ce n'était encore là qu'un exposé bien sommaire. M. Niewenglowski a pensé, avec juste raison, qu'il convenait de reprendre en la développant l'idée de Sarrau, c'est-à-dire en complétant l'exposé des principes abstraits du calcul des quaternions par leur application aux principales théories

traitées par la méthode cartésienne dans les trois précédents tomes de l'ouvrage : ligne droite et plan; cercle et sphère; coniques et quadriques; homothétie et inversion; courbes en général et surfaces. Il est incontestable que cette façon de faire est propre à mettre bien en évidence les avantages qu'offre ce mode spécial de calcul et, suivant l'heureuse expression de l'auteur, permet au lecteur, en forgeant, de devenir forgeron. Un tel exposé est assurément destiné à rendre les plus grands services aux futurs physiciens-mathématiciens pour lesquels la méthode des quaternions constitue un outil si précieux.

M. O.

LEÇONS SUR LES SÉRIES D'INTERPOLATION, par N.-E. NŐRLUND, professeur à l'Université de Copenhague, membre correspondant à l'Institut de France. Rédigées par RENÉ LAGRANGE, maître de conférences à l'Université de Lille. Un vol. de VII-236 pages (25 × 16). — Paris, Gauthier-Villars, 1926. Prix: 40 francs (majoration de 40 % en sus). Dans l'intéressante collection de monographies sur la théorie des fonctions, que dirige M. Emile Borel, la plupart des volumes se rapportent aux domaines les plus récemment ouverts à l'investigation des géomètres, plusieurs même à des parties de la science que l'on peut dire encore en gestation. Il n'en va pas de même de celui-ci qui a trait à un problème dont l'origine remonte à Newton, celui de l'interpolation, d'une si haute importance pour les applications des mathématiques aux sciences expérimentales. Mais les progrès de la théorie des fonctions se trouvent avoir considérablement élargi les limites de ce problème dont l'application était primitivement limitée à la théorie des approximations numériques, en vue surtout de la construction des tables. Lorsque, en effet, le nombre des points isolés par lesquels est jalonnée la courbe représentative des variations d'une fonction croît indéfiniment, la formule de Newton donne naissance à des séries d'interpolation, de forme spéciale, dont l'emploi est, dans nombre de cas, préférable à celui des séries de puissances, et dont il convient, par conséquent, de posséder une étude approfondie. C'est une telle étude que M. Nörlund a développée dans son enseigne

ment à l'Université de Copenhague et dont il nous donne aujourd'hui une excellente rédaction française, avec la collaboration de M. René Lagrange.

L'auteur étant parvenu à déterminer les conditions nécessaires et suffisantes relatives à ce mode de représentation analytique, a pu ainsi délimiter les classes de fonctions auxquelles il s'applique et mettre en lumière les rapports existant entre les domaines de convergence des séries et les propriétés analytiques des fonctions qu'elles représentent. Cela lui a permis notamment d'élucider certaines propriétés de l'intégrale de Laplace qui se trouve rentrer dans cette catégorie; il a été ainsi conduit à une application remarquable de la méthode de sommation exponentielle de M. Emile Borel.

M. O.

COURBES ET FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'UNE VARIABLE, par F. ENRIQUES et O. CHISINI. Traduit de l'italien par M. Légaut. — Un vol. in-8o de 592 pages. Paris, GauthierVillars, 1926. Prix: 1oo frs (majoration de 40 % en sus). 100

On sait les grands progrès qu'a dus la théorie géométrique des équations et des fonctions algébriques à divers géomètres italiens et, tout particulièrement, à M. Enriques. Cette théorie repose sur l'emploi de raisonnements synthétiques appliqués aux êtres géométriques qui peuvent être regardés comme la représentation de ces équations ou de ces fonctions lorsque les variables y sont prises pour des coordonnées. Cette méthode très séduisante exige les ressources de l'esprit géométrique le plus délié; elle est d'un très grand charme aux yeux de qui est sensible à la beauté géométrique et ne peut manquer de frapper par son incontestable puissance lorsqu'elle est maniée par un maître tel que M. Enriques.

Le savant professeur de l'Université de Rome a consacré à ce vaste sujet un grand ouvrage en plusieurs volumes. Le livre ici présenté est la traduction française du tome III de cet ouvrage, due à M. Marcel Légaut, maître de conférences à la Faculté des sciences de Nancy, et comprend la matière de leçons de M. Enriques, recueillies par M. Chi

sini.

Il débute par une introduction résumant les généralités