ne sont pas les diamètres vrais, les diamètres linéaires des astres; il s'agit des diamètres angulaires : le diamètre angulaire d'un astre pour telle position de l'observateur est l'ouverture du còne circonscrit à l'astre et ayant pour sommet le point occupé par l'observateur. Il est clair que le diamètre angulaire et la distance font connaître immédiatement le diamètre vrai. Le procédé de mesure qui se présente tout d'abord à l'esprit est le procédé micrométrique dans le plan focal de la lunette se trouve un réticule dont un fil est mobile parallèlement à luimême; on amène le fil en contact d'un côté, puis de l'autre, avec l'image de l'astre; le déplacement du fil se lit sur le tambour de la vis micrométrique et le diamètre demandé s'en déduit d'après les caractéristiques de la lunette. Mais les phénomènes de diffraction privent cette méthode de toute précision de même que l'image d'une source lumineuse rigoureusement ponctuelle serait une tache d'autant plus étendue que l'ouverture de la lunette est moindre, ainsi l'image d'une source sphérique est un disque sur le bord duquel l'intensité lumineuse décroit, rapidement il est vrai, mais sans discontinuité. Quand dira-t-on, dans ces conditions, que le fil réticulaire est tangent à l'image?

La méthode interférentielle est due, dans son principe, à Fizeau. Des rayons lumineux émanés d'une même source ponctuelle, et filtrés par deux minces fentes parallèles et voisines, engendrent sur un écran ou dans le plan focal d'une lunette, des franges d'interférence. S'il y a deux sources lumineuses ponctuelles voisines, on recueille deux systèmes de franges empiétant l'un sur l'autre ; dans ces deux systèmes, les bandes brillantes de l'un peuvent combler les bandes obscures de l'autre pour telle distance angulaire des deux sources, facile à calculer au moyen de la longueur d'onde, avec laquelle elle croit, et de la distance des fentes, avec laquelle elle décroit. Inversement, écartez les fentes jusqu'à disparition des franges, mesurez leur distance et tirez-en la distance angulaire des foyers. Tel est le principe une valeur convenable du coefficient de proportionnalité le rend applicable au diamètre apparent des sources circulaires; cette extention est due à Michelson. Les difficultés résultant de l'insuffisance de lumière transmise à travers les fentes étroites ont été écartées par M. Hamy. Celui-ci utilise deux fentes larges, dont la largeur peut atteindre le tiers de la distance il suffit de modifier l'expression du diamètre en raison inverse de cette distance, en complétant le coefficient de pro

portionnalité par un terme qui contient le carré du rapport de la largeur à la distance. Les résultats des observations planétaires sont très satisfaisants. Une réserve cependant s'impose; l'atmosphère doit être parfaitement calme; les perturbations atmosphériques forcent les résultats et ne fournissent plus que des limites supérieures des diamètres à déterminer.

Pour la mesure des diamètres très petits, la méthode est, telle quelle, inapplicable; car à un diamètre angulaire de 0,01, vraisemblable pour une étoile de première grandeur, correspondrait une distance des fentes supérieure à douze mètres. Mais diverses dispositions optiques ont été proposées récemment pour rendre équivalent à un pareil système de fentes un système adaptable aux objectifs des grands instruments on espère que l'application de pareilles dispositions, par exemple au grand télescope de l'Observatoire du mont Wilson qui a 2,50 m. d'ouverture, fera connaitre bientôt les dimensions d'un certain nombre de petites planètes.

M. ALLIAUME,

Professeur à l'Université de Louvain.

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BIBLIOGRAPHIE

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COURS DE GÉOMÉTRIE PURE ET APPLIQUÉE DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, par MAURICE D'OCAGNE, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, Professeur à l'École Polytechnique.

TOME I. Transformations géométriques. — Perspective. Géométrie infinitesimale. Géométrie réglée. - Géométrie cinématique. Un vol. in-4o de x1-375 pp. - Paris, Gauthier-Villars, 1917.

TOME II. Cinématique appliquée. Stéréotomie. - Statique graphique. - Calcul grapho-mécanique. - Nomographie. (364 pp.) ID. 1918.

Le beau livre que M. d'Ocagne vient de publier nous a vivement frappé par son extrême originalité et nous ne voyons pas trop à quel autre on pourrait le comparer. C'est tout ensemble une encyclopédie des applications de la géométrie à la technique de l'ingénieur et un traité de géométrie supérieure. Avec cela, l'ensemble ne manque nullement d'unité. Cette unité provient sans aucun doute du point de vue scientifique très élevé auquel s'est placé l'auteur. Écrit par un géomètre, ce cours est destiné aux géomètres l'auteur s'attache, avant tout, à mettre en pleine lumière les principes directeurs de géométrie pure qui dominent chacune des doctrines qu'il expose. « Cet ouvrage, nous dit M. d'Ocagne lui-même, est l'exacte reproduction de notre enseignement à l'École Polytechnique. Son caractère particulier tient au double but que vise cet enseignement, savoir: 1° développer chez les élèves l'esprit géométrique; 2o mettre à leur disposition les notions issues de la géométrie qu'ils auront à utiliser par la suite en vue de leurs études techniques. »

Ce double but explique la division du Cours en deux volumes, le premier consacré aux théories de géométrie pure utilisées par après, le second, aux applications les plus importantes de la géométrie à la pratique du technicien.

Ces deux volumes sont beaucoup trop touffus et embrassent un beaucoup trop grand nombre de questions différentes pour qu'il soit possible d'en faire une analyse un peu complète. Nous sommes forcé de nous limiter à un résumé très superficiel, nous attachant surtout à caractériser l'esprit dans lequel les matières sont traitées, et livrant un peu au hasard au lecteur les réflexions que nous avons faites en parcourant les divers chapitres de ce Cours.

Le premier volume est un traité de Géométrie supérieure et l'auteur a voulu expressément que tel soit son caractère. Il renvoie aux traités d'analyse quand il le faut, mais il soutient que les méthodes géométriques doivent être développées à côté des méthodes analytiques, qu'elles ont des avantages qui leur sont propres, et tout d'abord celui de développer le sens intuitif chez les élèves. Nous sommes entièrement de son avis.

La démonstration par la géométrie, dont les premiers exemples remontent aux mémorables travaux de Poncelet et Chasles, est une invention française. Cette méthode permet d'obtenir les théorèmes à démontrer comme conséquences de certains principes généraux, susceptibles de revêtir un énoncé géométrique, et sans qu'il faille écrire aucune formule. La méthode par l'analyse qu'on lui oppose a un double inconvénient : elle substitue des symboles algébriques aux ètres géométriques, ensuite elle dissocie les éléments du raisonnement pour les ranger dans une chaîne dont l'esprit envisage les anneaux successivement. Mais, si la chaîne est longue, l'esprit est incapable d'embrasser le lien qui réunit les anneaux extrêmes, et alors la démonstration entraîne la conviction sans éclairer l'intelligence. Tout au contraire, la démonstration par la géométrie est directe, elle porte sur les objets eux-mêmes; loin de séparer ces objets, elle les réunit dans une sorte de perspective synthétique et met leurs rapports en pleine lumière. Aussi, comme le faisait déjà remarquer Poinsot, il n'est pas de méthode de raisonnement plus instructive et présentant plus d'avantages pour la formation de l'esprit. Si nous voulons donc caractériser le premier volume de M. d'Ocagne, nous dirons qu'il a pour dessein bien avéré de faire valoir la démonstration par la géométrie. Ajoutons que ce but est pleinement atteint. Dès le premier chapitre, consacré à l'étude des transformations géométriques, l'auteur rencontre, avec les transformations ponctuelles (homographie, inversion) et les transformations dualistiques (principe de dualité), les principes les plus féconds de la géométrie projective. Il est donc, de prime abord, au cœur même de son sujet.

La Perspective, qui constitue le second chapitre du Cours, n'est qu'une application; elle forme donc une sorte de parenthèse dans le premier volume. Elle est cependant si étroitement liée à la question précédente que l'on conçoit très bien que l'auteur n'ait pas voulu l'en détacher. Le problème direct, c'est-à-dire celui de la mise en perspective (conique, axonométrique, etc.) est présenté sous son aspect classique et n'appelle peut-être pas d'observation bien spéciale. Par contre, le problème inverse, celui de la reconstitution des objets mis en perspective, est beaucoup plus nouveau et aussi plus difficile, et il est traité par plusieurs méthodes différentes, toutes intéressantes. En dehors de son importance théorique, ce problème a présenté une importance pratique capitale pendant la guerre. Toute la question de la métrophotographie, ou de la reconstitution des objets au moyen de deux images perspectives photographiques, en dépend, et c'est la question qui se pose d'elle-même dans la reconnaissance du terrain par avions.

Toutes les matières qui figurent dans le programme que l'auteur s'est tracé, ne se prètent pas aussi naturellement au raisonnement géométrique que celles qui précèdent et, en particulier, celles qui rentrent dans son troisième chapitre, sous la rubrique géométrie infinitesimale. Nous y rencontrons, en effet, de nombreuses notions qui sont nettement analytiques courbure, torsion, contact, plan osculateur, lignes de courbure, géodésiques, asymptotiques, etc. Toutes ces notions fondamentales sont en quelque sorte primitives et c'est à l'analyse qu'il appartient de les préciser. Mais, une fois acquises, elles forment un vaste champ d'applications dans lequel le « géomètre » peut librement s'exercer. On peut être assuré que l'auteur ne s'en fait pas faute. Pour trouver des exemples simples et instructifs, il n'a d'ailleurs qu'à puiser dans ses propres travaux. C'est ainsi que l'on trouve d'excellentes applications de la méthode géométrique dans la construction du centre de courbure des coniques, dans les propriétés des tractrices, des caustiques et des podaires; dans les théorèmes de Sturm, de Malus, de Dupin (rayons réfléchis et réfractés), etc.,

Le quatrième chapitre, intitulé géométrie réglée, ramène sur le terrain de la pure géométrie. La théorie si importante des complexes et des congruences linéaires est exposée ici avec tout le soin qu'elle mérite, et avec d'autant plus de raison qu'elle intervient en statique graphique. On en retrouvera donc l'application dans le second volume.