Ajoutons que l'exposé des théories est complété par de nombreux exercices ayant, pour la plupart, un caractère nettement pratique et qui sont de nature, en provoquant chez les élèves un vif intérêt, à parfaire leur initiation aux méthodes courantes des mathématiques appliquées.

Quant aux principales particularités que l'on peut relever dans le mode d'exposition de l'auteur, nous pensons ne pouvoir mieux faire, pour en donner une idée, que d'emprunter à la Préface de M. Appell le passage que voici :

« Je signalerai, d'abord à propos des coordonnées, les divers procédés pour représenter un point, une droite, une direction, une ligne, etc.; à propos des coniques, les diverses représentations et les tracés graphiques; à propos des infiniment petits, la relation entre l'infiniment petit mathématique et la quantité très petite du physicien; à propos des séries, le calcul des sommes et l'étude de la rapidité de la convergence.

» J'insisterai ensuite sur l'importance donnée au calcul numérique et aux méthodes graphiques, et notamment sur les parties suivantes :

» Notion de fonction : graphiques, importance du choix des échelles; différence avec le point de vue de la géométrie analytique (p. 50, 252). Calculs numériques et graphiques un long chapitre spécial est consacré aux calculs approchés, aux machines à calculer, aux méthodes graphiques (p. 460 et 3 partie, chap. VIII).

» Signalons encore le calcul pratique d'une intégrale double en partant de la formule de Green; les applications de l'intégration aux moments d'inertie, avec une étude détaillée du cas d'une figure plane (important en mécanique appliquée); l'emploi du planimètre et du procédé graphique; le calcul d'une force vive et d'une quantité de mouvement; l'étude des champs de vecteurs accompagnée des notions de tourbillon et de divergence.

» Enfin, l'auteur a même fait une étude élémentaire des fonctions elliptiques sn, en, dn, en partant de l'intégrale définie.

» En résumé, l'ouvrage de M. Zoretti constitue une conception élevée et nouvelle de l'enseignement des mathématiques générales. Tout en conservant une entière rigueur, sans laquelle aucune éducation mathématique n'existe, l'auteur a su répondre à tous les besoins essentiels des sciences expérimentales; par le choix des applications et des exercices numériques, il fait comprendre les théories générales, il développe l'esprit de

curiosité, le goût du travail et de la lecture personnels ; il tend, en un mot, à former des hommes de réflexion et d'action, capables de servir utilement la France dans la science et dans l'industrie. >>

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Il n'y a évidemment rien à ajouter à un jugement si flatteur émanant d'une telle autorité. Mais il peut être permis, tout en souscrivant, de formuler quelques réserves de détail qui ne sont pas de nature à porter atteinte à ce jugement pris dans son ensemble mais d'où peuvent naître quelques desiderata en vue d'une future édition à laquelle il n'est pas douteux que l'ouvrage ne parvienne avant qu'il soit longtemps.

Au reste, l'auteur provoque lui-même ce genre d'observations dans les lignes suivantes de son Avertissement: .... Ce livre ne peut et ne veut être qu'un essai. Je le soumets à mes collègues, dont je connais l'effort quotidien pour l'amélioration de cet enseignement si difficile, et je sollicite comme une faveur particulière leurs franches observations ».

Cet appel de l'auteur à ses collègues des Universités françaises n'est évidemment pas exclusif des critiques émanant d'autres sources. Nous nous permettrons donc, pour notre part, de présenter les quelques observations que voici :

1° L'auteur se borne, en fait de coordonnées, à faire connaître des systèmes de coordonnées ponctuelles; on sait pourtant qu'aujourd'hui, particulièrement sous la forme des coordonnées parallèles, les coordonnées tangentielles interviennent utilement dans certaines applications pratiques.

2o Les tracés des coniques indiqués comme pratiques (p. 123 à 126) pourraient être avantageusement modifiés et complétés sur plusieurs points. Par exemple, le tracé de l'ellipse par le cercle homographique décrit sur le grand axe comme diamètre est pratiquement assez peu satisfaisant, car, pour une portion étendue de l'ellipse aux abords des sommets du petit axe, il comporte l'emploi de droites se coupant sous un angle très faible et en dehors des limites de l'épure. L'emploi simultané des deux cercles homographiques, décrits l'un sur le grand et l'autre sur le petit axe, est infiniment préférable; la construction, fondée sur le mème théorème que la précédente, prend alors la forme que voici si un rayon issu du centre O de l'ellipse coupe le grand cercle homographique en M' et le petit en M", on a un point M de l'ellipse par la rencontre des perpendiculaires abaissées respectivement de M' et de M' sur le grand et sur le petit axe. Cette construction, qui tient tout entière à

l'intérieur du grand cercle homographique, a encore l'intérêt de permettre d'obtenir aussi aisément les points de l'ellipse situés sur une parallèle que sur une perpendiculaire donnée au grand axe (par exemple, pour la détermination du joint de rupture dans une voûte elliptique).

Ce qui est dit du tracé pratique des paraboles (p. 126) semble également insuffisant; aucune indication n'est donnée là sur les constructions employées en pratique pour le tracé des paraboles des moments fléchissants dans le cas des poutres soumises à des charges variant linéairement.

La détermination des normales et des rayons de courbure aux coniques, traitée seulement dans la deuxième partie (pp. 343 et 361), est trop exclusivement analytique ; là aussi, il y aurait lieu d'indiquer quelques constructions pratiques. S'il s'agit, par exemple, de tracer les joints d'une voûte elliptique, la construction classique des normales comme bissectrices des angles formés par les rayons vecteurs (que, d'ailleurs, l'auteur passe sous silence comme déjà enseignée par les éléments) est sans valeur pratique ; on lui substitue très avantageusement une construction n'exigeant que le seul emploi de la règle et de l'équerre, telle que la suivante: si OA et OB sont les demi-axes de l'ellipse et si les tangentes aux sommets A et B se coupent en C, on tire les diagonales OC et AB du rectangle OACB. Cela fait, pour avoir la normale en un point M de l'ellipse, on mène par M à OA une perpendiculaire qui coupe OC en P, et par P à AB, une perpendiculaire qui coupe OA en N; MN est la normale demandée. Dans le cas de la détermination des joints d'une voûte elliptique, toutes les droites MP d'une part, toutes les droites PN de l'autre, sont parallèles entre elles, ce qui fait que la construction est extrêmement rapide.

Sans doute trouvera-t-on que nous nous attachons ici à de bien minces détails; nous ne faisons point difficulté de le reconnaitre ; mais c'est que, précisément, tels points de détail, intrinsèquement de peu d'importance, cessent d'être négligeables lorsqu'on en vient à la véritable pratique.

3 De la vaste théorie qui a reçu le nom de nomographie, l'auteur n'a retenu que le seul principe des abaques à entrecroisementaccompagné de quelques exemples d'application d'ailleurs bien choisis, et le savant auteur de la préface dit de lui à ce propos « qu'il se borne à montrer par de nombreux exemples le parti que l'élève pourra tirer des méthodes graphiques, sans qu'il soit nécessaire d'introduire toute la terminologie et III SÉRIE. T. XXV.

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tous les procédés bien spéciaux de la nomographie, qui masquent, pour l'étudiant, la généralité de la méthode ». Une telle appréciation nous semble appeler quelques réserves. Il est bien clair que, dans un exposé condensé comme celui-ci, destiné dans la pensée de son auteur, il le dit expressément, à rester pour l'étudiant un aide-mémoire commode », la terminologie particulière, dont l'emploi s'impose pour une étude d'ensemble de la nomographie' peut, sans nul inconvénient, être laissée de côté et qu'il n'est pas non plus utile de passer en revue tous les procédés spéciaux qu'un exposé complet ne saurait négliger. Mais le fait de se cantonner sur le seul terrain de la représentation par entrecroisement n'est vraiment pas de nature à mieux dévoiler aux yeux de l'étudiant la généralité de la méthode » alors qu'au contraire une telle limitation a pour effet de borner son horizon à un cercle assez étroit. Pour éclairer ce que nous avançons ici par l'exemple le plus simple, on sait que la représentation par entrecroisement ne peut s'appliquer à une équation entre quatre variables que si celle-ci est susceptible de revêtir la forme f(1, 2) = (23, 24). Or, on rencontre, et très fréquemment, dans les applications des équations à quatre variables non réductibles à cette forme, susceptibles néanmoins d'être traduites nomographiquement grâce à la méthode de l'alignement; et il faut avoir franchi au moins cet échelon de plus pour que s'accuse vraiment toute la portée de la doctrine nomographique. On sait, au reste, que l'exposé de cette méthode, pour les cas usuels, peut être donné sous une forme tout élémentaire. Il peut donc être permis de regretter que l'auteur se soit, sur ce point, trop brusquement arrêté en route.

4° C'est une observation de même ordre qui peut encore être présentée à l'occasion du calcul pratique des intégrales. L'auteur consacre une demi-page (p. 684) à l'emploi de la méthode graphique pour le calcul des intégrales; mais, à vrai dire, en ces quelques lignes, il n'aborde même pas le sujet tel qu'il peut être aujourd'hui traité en vue d'applications pratiques qui se développent de jour en jour. Ce que requièrent avant tout ces applications pratiques, c'est la construction des courbes intégrales par les procédés très simples, très expéditifs, dont on dispose aujourd'hui, d'où dérivent les déterminations les plus commodes pour les aires, moments statiques, moments d'inertie, centres de gravité, lignes d'efforts tranchants et de moments

fléchissants (1). Il nous semble qu'il y a, sur ce point encore, une lacune à combler. Ce sont pourtant bien là, on ne saurait le nier, des « mathématiques auxiliaires » au premier chef.

Tenant à ne pas laisser le lecteur sous l'impression de ces légères critiques, nous répéterons que, considéré dans son ensemble, l'ouvrage de M. Zoretti est, ainsi qu'en a jugé M. Appell, déjà excellent. Nous avons voulu seulement montrer que, moyennant quelques retouches de détail et quelques additions, il pourra, dans une nouvelle édition, que nous voulons d'ailleurs croire prochaine, atteindre encore à une plus grande perfection.

M. O.

II

LEÇONS SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SURFACES, par G. DARBOUX, Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences. 1re partie Généralités. Coordonnées curvilignes. Surfaces minima. 2 édition, revue et augmentée. Un vol. gr. in-8° de 418 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1914.

Il est pour le moins superflu d'insister sur la place qu'occupe, dans la littérature mathématique contemporaine, le grand ouvrage de M. Darboux dont, dès aujourd'hui, il n'est pas aventuré de dire qu'il demeurera parmi les grands classiques de la science, de tous les temps. Depuis un peu plus d'un quart de siècle qu'il a commencé à voir le jour, tout ce qui, dans le domaine de la géométrie, a été produit, de quelque importance, s'y rattache plus ou moins directement et, le plus souvent même, y puise sa source. Sa lecture s'impose à quiconque a l'ambition de parvenir à une culture géométrique de quelque élévation, et nombre d'excellents traités, d'un caractère plus élémentaire, ont été écrits en vue de préparer cette lecture. Aussi l'apparition d'une nouvelle édition d'un tel ouvrage, assez profondément

(1) Ces procédés inaugurés, il y a une soixantaine d'années, par l'Ingénieur de la marine français Rossia (dont les travaux n'ont pris que la forme de feuilles autographiées pour l'École du Génie maritime) ont été retrouvés de façon indépendante et grandement développés par l'ingénieur des Ponts et Chaussées belge Massau. On en trouve un exposé très simplifié dans l'ouvrage de M. d'Ocagne : Calcul graphique et Nomographie (Chap. II).