BIBLIOGRAPHIE

I. — GESCHICHTE DER ELEMENTAR-MATHEMATIK, IN SYSTEMATICCHER DARSTELLUNG MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DER FACHWÖRTER, von D. JOHANNES TROPFKE, Direktor der Kirschner-Oberrealschule zu Berlin. Dritter Band Proportionen, Gleichungen. Zweite verbesserte und sehr vermehrte Auflage. Un volume in-8° de XV-151 pages. Berlin und Leipzig, Vereinigung Wissenschaftlicher Verleger, 1922.

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Comme les deux premiers fascicules de la réédition de l'Histoire des Mathématiques élémentaires, par M. Tropfke, dont j'ai précédemment rendu compte dans la REVUE, le troisième fascicule est excellent. Je ne connais, dans aucune langue, d'ouvrage relatif à l'histoire des mathématiques élémentaires qui puisse être mis en parallèle avec celui du savant berlinois. En français, notamment, il faut bien l'avouer à regret, nous sommes particulièrement pauvres. Loin d'avoir quelque chose à comparer à la Geschichte der Elementar-Mathematik, nous ne possédons même rien de sérieux.

En étudiant, séparément, comme l'auteur le fait, l'histoire de chacune des principales théories des mathématiques élémentaires, il en résulte cet enseignement, peutêtre assez inattendu, mais en tout état de cause encourageant et précieux : c'est qu'en mathématiques, on rencontre peu de savants qu'il faille qualifier d'hommes de génie, mais, en revanche, on y trouve beaucoup de personnalités très intelligentes et de bon sens.

Les grands, les vrais progrès de la science sont dus d'ordinaire, non pas à une création nouvelle, mais au développement fécond et puissant d'une idée existante, dont on

n'avait pas su précédemment tirer parti. Cette réflexion s'applique plus spécialement à la seconde des théories traitées dans le présent fascicule de M. Tropfke, celle des équations.

Elle convient moins, il est vrai, à la théorie des proportions par laquelle s'ouvre le fascicule. C'est qu'ici l'histoire débute par un chef-d'œuvre le traité des proportions d'Eudoxe, autrement dit, le Ve livre des Eléments d'Euclide. M. Tropfke l'analyse bien. Mais, puisque la préhistoire de ce livre a péri presque tout entière, n'eût-elle pas été utilement remplacée par une autre page d'histoire assez surprenante celle des déformations subies par le Ve livre d'Euclide, depuis le Moyen Age jusqu'à nos jours? On en connaît la cause: le souci de la rigueur joint à l'obscurité des définitions euclidiennes de l'égalité et de l'inégalité de deux rapports. Tacquet avouait qu'il ne les comprenait pas. Clavius écrit une note qui a l'étendue d'un mémoire, sans parvenir à bien les expliquer. C'est de nos jours seulement, on le sait, que Zeuthen, s'inspirant des idées de Weierstrass, a mis en évidence la justesse et la profondeur des définitions du géomètre grec. L'histoire des mathématiques n'est pas seulement celle des progrès de cette science. Il est bon que certains chapitres de l'histoire de ses reculs soient aussi écrits.

Revenons aux équations. Leur histoire mérite une attention particulière. Ici, point de retour en arrière, ni même de temps d'arrêt, mais une marche en avant lente, sûre et continue. Viète, par exemple, n'y apparaît pas comme un brillant météore qui illumine subitement le ciel. C'est plutôt un laboureur qui sème dans un champ fertile, bien préparé et travaillé depuis longtemps.

Le rôle de Stevin semble un peu trop effacé. M. Tropfke ne me paraît pas mettre suffisamment en lumière sa belle méthode de résolution des équations numériques par approximations successives. C'est au fond celle dont nous nous servons pour rechercher les racines irrationnelles des équations, mais nous avons oublié le nom de celui à qui il faut la faire remonter. Comme élégance et simplicité, la méthode de Stevin l'emporte de loin sur celle de Viète, qui finit d'ailleurs par être abandonnée. Mais, ce que

M. Tropfke a surtout négligé de faire remarquer, c'est que l'Appendice algebraïque dans lequel le Brugeois publia pour la première fois sa méthode, parut dès 1594, six ans avant le traité de Viète sur la résolution des équations numériques.

Le chapitre consacré aux équations linéaires à plusieurs inconnues était difficile à écrire. Dans sa première édition, M. Tropfke eut le grand mérite de peindre le premier un tableau d'ensemble du sujet. Aujourd'hui, il le retouche et y ajoute quelques traits nouveaux. Mais, ils ne sont pas suffisamment nombreux, car, mieux peut-être que tout. autre sujet, l'histoire de la résolution des équations linéaires à plusieurs inconnues nous permet d'observer un phénomène psychologique aussi important que curieux l'influence profonde, bien que latente, du milieu ambiant sur le développement de l'intelligence des mathématiciens d'une époque donnée. De nos jours, nous voyons des jeunes gens, presque des enfants, voire des artisans manuels se servir avec aisance des équations linéaires à plusieurs inconnues. Au XVIe siècle, la théorie et la pratique de ces équations passaient pour des plus difficiles, même chez les savants éminents. Guillaume Gosselin s'y embrouille au point d'achever la résolution d'un système d'équations par de simples tâtonnements.

Parmi les contemporains de Gosselin, c'est Stifel qui apporta la contribution la plus sérieuse à la résolution des équations linéaires à plusieurs inconnues. L'ancienne Bibliothèque de l'Université de Louvain possédait un exemplaire de l'Arithmetica integra de Stifel annoté en marge par Gemma Frisius. Arrivé au chapitre des équations à plusieurs inconnues, notre illustre compatriote crible l'auteur de ses sarcasmes. Il ne conçoit pas qu'on puisse préférer une méthode aussi compliquée à l'emploi si simple des proportions et des fausses positions ! Quant à Stevin, sans aller aussi loin, il s'en tenait, cependant, volontiers au procédé de Cardan, qui n'employait que deux inconnues. Il fallut un jour au Brugeois les critiques judicieuses de Maurice de Nassau, pour lui montrer qu'en cela il se trompait, et qu'en bien des cas, il valait mieux prendre modèle sur Stifel. Malheureusement, dans ses deux

rééditions de l'Arithmétique de Stevin, Albert Girard n'a pas reproduit l'échange de vues que le professeur eut à ce sujet avec son brillant élève. On le trouve ailleurs, par exemple, au tome V des Hypomnemata mathematica de Stevin.

Nous espérons que le quatrième fascicule de l'Histoire des Mathématiques élémentaires par M. Tropfke ne se fera pas attendre, et qu'il sera aussi intéressant que les trois premiers.

H. BOSMANS.

II. THE FOURTH DIMENSION, by E. H. NEVILLE, Professor of mathematics in University College. Un vol. petit in-8° de VIII-56 pp. Cambridge, University Press, 1921.

Dans l'introduction de sa brochure, qu'il eût pu mieux intituler Notions élémentaires de géométrie vectorielle à quatre dimensions, l'auteur émet cette opinion le pur mathématicien n'essaie pas de « s'imaginer » unes pace quadridimensionnel (1); mais il constate « que certaines notions en Algèbre sont discutées plus promptement dans le langage géométrique » (2). Or, dit M. Neville, faisant sans

(1) Nous ne sommes pas complètement d'accord avec l'auteur. Sans cependant aller aussi loin que Ch. H. Hinton (A new era of thought, Londres, 1883), nous croyons, avec W. Ostwald et d'autres, qu'il n'y a aucune impossibilité à se représenter l'espace euclidien à quatre dimensions. H. Poincaré (REVUE GÉNÉRALE DES SCIENCES, 1891, p. 774) ne devait pas être tout à fait de cet avis. Il a bien écrit : « Quelqu'un qui y consacrerait son existence pourrait peutêtre arriver à se représenter la quatrième dimension »; mais ce n'est sans doute qu'une boutade, car pour l'illustre mathématicien français (REVUE DE MÉTAPHYSIQUE ET DE MORALE, 1895, p. 631 ; 1897, p. 66), la conception que nous avons de l'espace aurait pour base une image se formant sur la rétine et l'idée d'une troisième dimension résulterait des efforts d'accommodation. En ce qui concerne l'existence de l'espace quadridimensionnel, il peut être intéressant de signaler, en passant, qu'on a cru y voir des allusions lointaines ! dans le Livre de Job et dans St Paul (Épître aux Ephésiens, chap. III).

(2) La Géométrie ne serait-elle qu'une métaphore de l'Algèbre ? H. Poincaré débute son livre sur l'Analysis Situs (JOURNAL DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 1895), en faisant observer que :

« les

doute allusion aux théories d'Einstein, le langage relatif à l'hyperespace vient d'acquérir soudainement un intérêt << universel et absorbant ». C'est pourquoi l'auteur s'est proposé d'écrire « un dictionnaire exposant cette terminologie » de manière à pouvoir être compris de quiconque est familier avec les éléments de la trigonométrie et de la théorie des systèmes d'équations linéaires.

M. Neville, qui ne donne aucune référence bibliographique, ne traite que du point, de la droite, du plan et de l'hyperplan (espace à trois dimensions) et, désirant rester très élémentaire, il évite les définitions de Frege-Russell et n'envisage que les nombres réels. Par exemple, une direction est définie comme étant un ensemble ordonné de quatre nombres (tétrade) dont la somme des carrés est l'unité.

L'espace à quatre dimensions est considéré comme la « totalité des tétrades ». Des néologismes, plus ou moins heureux, sont créés, que nous ne traduirons pas. Par exemple, à propos de vecteurs collinéaires, coplanaires, cospatiaux, l'auteur introduit les termes « vecline »,« vecplane », « vecspace »; ainsi l'ensemble des vecteurs cospatiaux avec trois vecteurs, a, b, c non-coplanaires est un vecspace abc. Puis M. Neville généralise, à l'aide des notions précédentes, les formules ordinaires relatives aux directions et aux angles. Finalement vient l'étude de la symétrie et des déplacements. Les translations, réflexions et rotations sont considérées comme des corrélations entre deux ensembles de points. L'étude des rotations dans l'espace à quatre dimensions est la plus délicate de toutes les notions élémentaires utilisées dans la théorie de la relativité.

Un appendice (pp. 52-55) réunit quelques remarques sur différents passages et la brochure se termine par une liste alphabétique d'une soixantaine de termes.

Des exemples numériques, imprimés en petit texte, sont donnés à tout instant, ce qui facilitera la lecture aux étudiants. A signaler une méthode, plus originale que simple, pour numéroter les équations.

êtres de l'hyperespace sont susceptibles de définitions précises, comme ceux de l'espace ordinaire, et si nous ne pouvons nous les représenter, nous pouvons les concevoir et les étudier ».