Gerhardt qui nous a donné tant d'opuscules inédits de Leibnitz, tant de parties de sa correspondance, a retrouvé dans les manuscrits de la Bibliothèque de Hanovre, les notes prises par Leibnitz au cours de sa lecture du Traité de Pascal.

Ce sont de simples extraits ayant plutôt le caractère d'aidemémoire que celui de transcriptions proprement dites. Ces morceaux nous font connaître un peu quelques parties du Traité, mais ne nous donnent que des bribes du plus grand nombre. Gerhardt les a publiés en 1892, dans les SITZUNGSBERICHTE de l'Académie de Berlin (1), et MM. Brunschvicg et Boutroux les ont réédités dans les Euvres de Pascal sous le titre de Generatio conisectionum (2). Cette « Génération des sections coniques » n'ajoute rien d'essentiel à ce que nous savions déjà par la lettre à Périer, et il nous faudrait entrer dans des explications, trop techniques pour prendre place ici, si nous la parcourions en détail.

Nous pouvons donc conclure ce chapitre..

Dans la théorie des coniques, Pascal se montra certainement très grand géomètre, mais c'est exagération pure de dire qu'il éclipsa tous les autres, notamment ses deux grands prédécesseurs Desargues et Apollonius. Les égala-t-il du moins? Desargues me paraît avoir plus d'originalité, plus de coup d'œil, plus d'Esprit de Finesse; Pascal plus de rigueur, plus de clarté, plus d'Esprit de Géométrie. Ni l'un ni l'autre ne peut commodément se comparer à Apollonius. Trop de siècles les séparent. Rien, d'ailleurs, n'égale la majesté, l'ampleur, l'impeccable logique avec laquelle se déroulent les sept livres des coniques du géomètre de Perge (3).

(1) A la suite d'un article intitulé: Desargues und Pascal über die Kegelschnitte von C. I. Gerhardt. SITZUNGSBERICHTE DER KOENIGLICH PREUSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU BERLIN. Année 1892, t. I. Berlin, Georg Reimer, pp. 183-204.

(2) Pascal, t. II, pp. 234-243.

(3) Le lecteur de langue française peut pour la première fois s'en rendre aisément compte par l'excellente version que vient d'en publier M. Paul Ver Eecke, Les Coniques d'Apollonius de Perge. Euvres traduites pour la première fois du grec en français, avec une introduction et des notes. Bruges, Desclée, De Brouwer, 1924. Ce volume d'une exécution magnifique est publié sous les auspices de la Fondation universitaire de Belgique. Il fait honneur aux presses des éditeurs.

Dans son Aperçu historique, Chasles a longuement expliqué le mérite propre des trois maîtres (1).Il a résumé plus tard ses profondes recherches dans une page du discours qu'i prononça en inaugurant son cours de géométrie supérieure. Il faut s'en tenir aux conclusions d'un érudit doublé d'un géomètre d'une pareille compétence, car elles découlent d'elles-mêmes de l'étude des sources. Écoutons-les (2).

« Les Anciens avaient considéré les sections coniques dans le cône, ou dans le solide, suivant leur expression; c'est dire qu'ils avaient connu ces courbes en coupant par un plan un cône à base circulaire. Des propriétés du cercle qui forme cette base, ils avaient conclu à une propriété des sections coniques, savoir, que l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre l'abscisse comptée à partir d'un sommet de la courbe et l'ordonnée d'une certaine droite fixe menée par l'autre sommet. De cette relation, peu différente de celle que nous appelons, en Géométrie analytique, l'équation de la courbe, ils déduisaient, par la seule force du raisonnement, les propriétés des sections coniques, sans se servir davantage du cône dans lequel ils avaient d'abord considéré ces courbes.

>> Desargues, géomètre actif et pénétrant, qui cultivait toutes les parties des sciences et y apportait un esprit de généralisation rare, conçut l'idée d'appliquer aux coniques les propriétés mêmes du cercle qui servait de base au cône, et de simplifier par là la recherche et la démonstration de ces propriétés, souvent pénibles dans l'ouvrage d'Apollonius. Il reconnut aussi que, par ce moyen, les démonstrations relatives à l'une des trois courbes s'appliquent d'elles-mêmes aux deux autres, malgré leurs différences de figures; idée profonde et heureuse, car les Anciens distinguaient essentiellement les trois courbes, et employaient des démonstrations différentes. Enfin, il découvrit, entre autres, une belle et féconde propriété de ces courbes, celle qu'il appela Involution de six points, proposition susceptible de prendre un grand développement dans certaines théories de la Géométrie moderne.

(1) Voir la Table des noms propres aux mots : Apollonius, Desargues et Pascal. C'est, je crois, le moment de rappeler en quel termes Joseph Bertrand apprécie l'A perçu dans son éloge de Michel Chasles. Après avoir dit que la première édition de l'Aperçu parut dans les MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE DE BELGIQUE, Bertrand ajoute : « Le volume des mémoires de Bruxelles consacré tout entier au Mémoire de Chasles, restera la gloire de la Compagnie. C'est peut-être le plus consulté et le plus avidement recherché dans les collections académiques de tous les pays.» Joseph Bertrand, Éloges académiques, nouvelle série, Paris, Hachette, 1902, p. 47.

(2) Traité de Géométrie supérieure, par M. Chasles. Paris, Bachelier, 1852, pp. LXI-LXIII,

» C'est la méthode de Desargues que Pascal a suivie dans plusieurs de ses recherches, notamment dans son Traité des coniques. Il ne nous est parvenu de ce célèbre Traité, qu'une notice très succincte de Leibnitz, qui nous fait connaître les titres des six parties qui le composaient. Mais cet ouvrage avait été précédé d'un premier jet, sous le titre d'Essai pour les Coniques... C'est dans cet Essai que se trouve le fameux théorème sur l'hexagone inscrit, que Pascal appelait Hexagramme mystique. Ce théorème exprime une propriété simple et fort belle de six points quelconques pris sur une conique. Cinq points suffisent pour déterminer la courbe; on conçoit dès lors que cette propriété, relative à un sixième point, servait à décrire la courbe, et la définissait complètement ; qu'elle devait donc avoir des conséquences innombrables comme l'équation dans le système de Descartes.

» Dans cet opuscule, Pascal reconnaît ce qu'il doit à Desargues. »

Chasles termine en citant le passage que nous avons rapporté ci-dessus.

Quels emprunts, en un mot, Pascal a-t-il faits à Desargues? Le Clermontois a sans nul doute commencé par trouver directement (sur le cercle) le Théorème de l'hexagramme mystique à l'aide de moyens géométriques élémentaires, ce qui n'était pas difficile. Il l'a ensuite étendu, par perspective, à toutes les coniques, c'est-à-dire par la méthode de Desargues. Une fois en possession de cette généralisation, il a pris l'hexagramme pour base de son Traité des coniques. Tout s'explique naturellement en admettant cette succession d'idées chez Pascal.

III

LE TRIANGLE ARITHMÉTIQUE ET LES ÉCRITS QUI Y SONT ANNEXÉS (1)

On se sent à l'aise au début de ce chapitre. C'est que pour y parler de Pascal, pour pouvoir même en dire du bien, on ne doit plus compter autant avec les exagérations d'un Chateaubriand. C'est qu'on peut mettre au besoin une sourdine à l'éloge, sans heurter des lecteurs prévenus, ni craindre, à chaque instant, d'être taxé de malveillance et de parti pris.

(1) J'en ai donné plus haut le titre complet.

Le Traité du Triangle Arithmétique parut, en 1665, chez Guillaume Desprez, à Paris. En réalité, il date de 1654, et fut trouvé tout imprimé, à la mort de Pascal, parmi les papiers du défunt. Tel que les éditeurs le présentèrent au public, il convient d'y distinguer trois parties: le Traité proprement dit, ses Usages, les Autres petits Traitez sur la mesme matière, comme dit le titre. Mais, avant de les parcourir, résolvons d'abord un problème d'histoire, sinon très important, du moins assez curieux.

Au point de vue des dates, c'est tout à fait à tort que le triangle arithmétique porte, dans beaucoup de manuels français et belges, le nom de Triangle de Pascal. Cantor (1) a remarqué que dès 1544, Michel Stifel, dans son Arithmetica integra (2), applique le triangle arithmétique à la formation des coefficients du développement des puissances du binome. Le professeur d'Heidelberg nous apprend en outre qu'on rencontre le même usage du triangle chez Christophe Rudolff (3) et chez Tartaglia (4). MM. Léon Brunschvicg et Pierre Boutroux rappellent la rectification de Cantor dans leur Introduction au Traité du triangle (5) en y ajoutant

(1) Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik, 2o éd., t. II, Leipzig, Teubner, 1900, p. 434.

(2) Arithmetica Integra Authore Michaele Stifelio. Cum Praefatione Philippi Melanchtonis. Norimbergae apud Iohan. Petreium. Anno Christi M. D. XLIIII; fo 44, vo.

(3) Cantor, Vorlesungen, t. II, p. 445. Je n'ai pas vu l'ouvrage de Rudolff, mais en voici le titre : Die cosz Christorfs Rudolfs mit schoenen Exemplen der cosz durch Michael Stiffel, gebessert und sehr gemehrt, 1571 (491 pp.). Le titre porte la date de 1571, mais on lit d'autre part en colophon: Gedruckt zu Koeningsperg in Preussen, durch Alexandrum Behm von Luthomissel; vollendet am dritten Tag des herbstmonats als man zalt nach der geburt Unsers Lieben Herren Jesu Christi 1554. Terquem, auquel j'emprunte ces renseignements, observe que l'ouvrage n'a donc été publié que dix-sept ans après l'impression. Voir : Christophe Rudolf (par Terquem), BULLETIN DE BIBLIOGRAPHIE, D'HISTOIRE ET DE BIOGRAPHIE MATHÉMATIQUES, t. I, Paris, Mallet-Bachelier, 1855, p. 71, en annexe aux NOUVELLES ANNALES DE MATH., 1855.

(4) Cantor, Vorlesungen, t. II, p. 522. Le tableau y affecte une forme rectangulaire. Tartaglia lui donne, cependant, la forme triangulaire dans La seconda parte del general trattato di numeri e misure di Nicolà Tartaglia... In Venegia per Curtio Troiano dei Nauỏ. M. D. LVI, fo 69 vo.

(5) Pascal, t. III, pp. 438-440.

quelques précisions nouvelles. Mais il faut aller beaucoup plus loin que ne le font Cantor, Brunschvicg et Boutroux. A titre de simple renseignement curieux, car le fait n'influença en rien les mathématiques des Occidentaux, je dirai d'abord, que le triangle arithmétique semble avoir été en usage chez les Chinois dès une très haute antiquité. Dans le Miroir précieux des quatre éléments, publié par Tschu Schi-ki en 1303, il affecte la forme d'un triangle rectangle isocèle à hypoténuse horizontale, comme chez Tartaglia. Le géomètre chinois y donne les coefficients du développement du binôme jusqu'à la huitième puissance, et parle de l'emploi du triangle pour former ces coefficients, comme d'une méthode depuis longtemps en usage. J'emprunte ces détails à un article de Bienatzki qui parut, en 1856, dans le JOURNAL DE CRELLE (I). M. Heiberg a publié un exemple du Triangle arithmétique, dû probablement à un scoliaste byzantin du XIIe siècle, et qu'on lit dans un manuscrit d'Euclide de cette époque, appartenant à la Bibliothèque Vaticane (2). D'autre part, M. Ugo Cassina, dans un article tout récent (3), donne le

(1) Die Arithmetik der Chinesen. JOURNAL FUER REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK HERAUSGEGEBEN VON A. L. CRELLE, t. V, Berlin, Georg Reimer, 1856, pp. 59-94. Le triangle s'y trouve reproduit, p. 87.

L'article de Bienatzki a été en partie traduit et en partie résumé dans les NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES (2a série, t. I, Paris, Mallet-Bachelier, 1862, PP. 35*-44* et t. II, 1863, pp. 529-540. Les renseignements relatifs au triangle de Tschu Schi-ki se trouvent à la page 538 de ce dernier volume. C'est à Bienatzki que Cantor a emprunté ce qu'il nous apprend du triangle arithmétique chez les Chinois dans ses Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik (3e édit. T. I, Leipzig, Teubner, 1907, p. 687).

J'ajouterai enfin, pour être complet, que ce que je viens de dire du triangle de Tschu Schi-ki a été plus récemment confirmé par l'historien japonais Yoshio Mikami, dans The Development of Mathematics in China and Japan, volume qui forme le t. XXX des ABHANDLUNGEN FUER GESCHICHTE DER MATHEMATIK MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN, BEGRUENDET VON MORITZ CANTOR (Leipzig, Teubner, 1913, p. 90).

(2) Euclidis Opera omnia ediderunt et latine interpretati sunt I. L. Heiberg et M. Menge, t. VIII. Leipzig, Teubner, 1916, p. 290. Le Ms. est coté Cod. Vat. gr. 1038. Le triangle se trouve dans la marge inférieure du fo 129 vo (7).

(3) Storia del Triangolo aritmetico. IL BOLLETINO DI MATEMA