Pour déterminer les cellules qui précèdent une cellule donnée, il faut, cela va de soi, suivre l'ordre naturel des indices.

« D'où se tirent plusieurs consequences, continue Pascal. En voicy les principales où je considere les triangles dont le generateur est l'unité, mais ce qui s'en dira conviendra à tous les autres.

» CONSEQUENCE PREMIERE. En tout triangle arithmetique, toutes les cellules du premier rang parallele et du premier rang perpendiculaire sont pareilles à la generatrice.

>> Car, par la construction du triangle, chaque cellule est egale à celle qui la precede dans son rang perpendiculaire, plus à celle qui la precede dans son rang parallele. Or, les cellules du premier rang parallele n'ont aucunes cellules qui les precedent dans leurs rangs perpendiculaires; ny celles du premier rang perpendiculaire dans leurs rangs paralleles. Donc, elles sont toutes egales entre elles, et partant au premier nombre generateur. »>

Un géomètre du temps, qui se serait piqué de rigueur, eût probablement fait difficulté pour souscrire à ce raisonnement; car la correction lui eût semblé exiger une règle distincte pour la formation de la première ligne et de la première colonne. Ceci soit dit en passant, sans y insister.

Les Conséquences, dont nous venons de parler, sont au nombre de dix-neuf. Il faut y remarquer la douzième, l'un des plus beaux fleurons de la couronne mathématique de Pascal.

« CONSEQUENCE DOUZIESME. En tout triangle arithmetique, deux cellules contigues estant dans une mesme base, la superieure est à l'inferieure, comme la multitude des cellules depuis la superieure jusques au haut de la base, à la multitude de celles depuis l'inferieure jusques en bas inclusivement » (1).

(1) Pascal, t. III, pp. 455-457. Algébriquement la formule s'exprime par

Dans le traité De combinationibus, la proposition 5 exprime la même propriété (Pascal, t. III, p. 573) sous la forme

La proposition est belle en elle-même. Pascal l'a publiée le premier. Il ne faudrait, cependant, pas en surfaire la nouveauté, car Fermat, par exemple, la connaissait depuis longtemps.

Ce qui est propre à Pascal, ce qui est une trouvaille de sa plume d'artiste, c'est le tour nouveau qu'il donne à l'antique raisonnement par induction complète employé pour démontrer le théorème ; je veux dire, la forme par récurrence que nous donnons ordinairement aujourd'hui à cette induction. Que si, contrairement à l'avis de Bertrand, on approuvait l'habitude de donner un nom de savant aux principaux théorèmes, peut-être pourrait-on appeler l'induction par, récurrence, induction de Pascal? J'y ai fait allusion ci-dessus. Le Clermontois vaut la peine d'être entendu dans son langage un peu archaïque.

Quoyque cette proposition ait une infinité de cas, j'en donneray une demonstration bien courte, en supposant 2 lemmes.

» Le I qui est evident de soy-mesme, que cette proposition se rencontre dans la seconde base; car, il est bien visible que a est comme à I. >>

Cela résulte, en effet, de la première conséquence, que j'ai transcrite ci-dessus.

« Le 2, que si cette proposition se trouve dans une base quelconque, elle se trouvera necessairement dans la base suivante.

>> D'où il se voit qu'elle est necessairement dans toutes les bases. Car elle est dans la seconde base par le premier lemme; donc, par le second elle est dans la troisiesme base; donc dans la quatriesme et à l'infiny. »>

Les calculs intermédiaires n'intéresseraient peut-être pas plusieurs de nos lecteurs. Je les renvoie dans une note du bas de la page (1). Il suffit d'observer que Pascal n'y invoque

(1) Si la proposition est vérifiée dans une base quelconque, par exemple, la quatrième, elle le sera nécessairement dans la cinquième.

que l'hypothèse et la loi de formation du triangle. Mais comme il a raisonné sur deux bases concrètes, la quatrième et la cinquième, il conclut la démonstration en la résumant comme suit :

« On le monstrera de mesme dans tout le reste, puisque cette preuve n'est fondée que sur ce que cette proposition se trouve dans la base precedente, et que chaque cellule est egale à sa precedente, plus à sa superieure, ce qui est vray partout. »

Tel est le raisonnement de Pascal (1).

Tout admirable qu'il est, il faut cependant reconnaître une fois de plus, que le Clermontois y déploye plus d'Esprit de Géométrie que d'Esprit de Finesse. L'Induction complète était une méthode aussi ancienne que la Géométrie elle

4

3

Mais, d'après la loi de formation du triangle, a + a2

(1) Pascal se sert plusieurs fois de la méthode d'induction par récurrence. Il l'avait déjà employée pour démontrer la Conséquence cinquième. « En tout triangle arithmetique, chaque cellule est egale à sa reciproque. » Algébriquement: a = a

= a.

Mais, c'est dans la démonstration précédente qu'il la formule pour la première fois explicitement comme règle générale à suivre. Il y revient de nouveau pour démontrer la première proposition de l'Usage du Triangle arithmétique pour les Combinaisons (Pascal, t. III, pp. 474-476).

même. Les Grecs la connaissaient et l'employaient souvent. Mais, de sa plume magique, Pascal lui donne un tour nouveau, lumineux, simple et alerte, qui est demeuré définitif.

Le lecteur en conclura, peut-être, que la nouvelle forme donnée à la méthode de l'induction complète fit aussitôt fortune ?

Qu'il ne se hâte pas trop. Elle passa au contraire presque inaperçue. Par une de ces bizarreries, dont l'histoire des mathématiques nous offre maint exemple, elle fut même si peu remarquée, que vingt et un ans plus tard, dans le cahier de juillet 1686 des ACTA ERUDITORUM (1), Jacques Bernoulli croyait visiblement l'inventer pour rendre rigoureux un raisonnement par induction incomplète de Wallis (2).

(A suivre).

H. BOSMANS.

(1) Lipsiae... Typis Christophori Guntheri, 1686; pp. 360-361. Dn. Bernouilli demonstratio rationum quas habet series numerorum naturali progressione sese insequentium, vel quadratorum, cubicorum, etc., item trigonalium, pyramidalium, etc., ad series numerorum totidem maximo aequalium. Le raisonnement dont il s'agit, se trouve dans l'Arithmetica infinitorum qui parut, pour la première fois, dans les Johannis Wallisii SS. Th. D. geometriae Professoris Savilliani in celeberrima Academia Oxoniensi, Operum mathematicorum Pars altera... Oxoniae, Typis Leon. Lichfield... 1656. (Bibl. Roy. de Belgique.)

(2) Il n'y a pas lieu d'analyser ici plus au long le Traité du Triangle Arithmétique. Si le lecteur désirait en savoir davantage, je le prierais de lire une Note que j'ai envoyée à MATHESIS et qui y paraîtra dans le numéro de décembre 1923 (t. XXXVII, Bruxelles, Stevens). J'y donne, en notations modernes, les énoncés des dixneuf «< conséquences» du Traité, avec un résumé de leurs solution. Voici cependant encore un détail bibliographique intéressant relatif à l'opuscule de Pascal. Le tome III du Pascal de la «< Collection des Grands Écrivains de France » avait paru, quand les éditeurs eurent la surprise de découvrir à la Bibliothèque de Clermont, parmi les reliques de Pascal, un texte latin du Traité du Triangle, qui était déjà tout imprimé, comme l'était le texte français qu'on avait jadis trouvé imprimé dans les papiers de l'auteur.

Ce texte latin semble nous avoir conservé la rédaction primitive de Pascal et nous fournir la solution d'une énigme. On avait remarqué de longue date, que lorsque dans ses Combinationes, Pascal cite son Traité du Triangle, les références sont trop faibles d'une unité. Or le texte latin n'a que dix-huit « conséquences », au lieu des dix

II

LA PYROMÉTRIE (1)

La pyrométrie a pour objet la mesure des hautes températures, supérieures à 300° centigrades.

La température n'est pas, à proprement parler, une grandeur mesurable; c'est un état physique dont on ne peut comparer les degrés que par l'adoption d'une échelle conventionnelle. Longtemps cette échelle a été définie par la dilatation de certaines substances, le mercure par exemple; l'échelle des températures dépendait des propriétés particulières à ces substances. Lord Kelvin, en se basant sur le principe de Carnot, qui par sa généralité régit toutes les substances, établit une échelle thermodynamique indépendante des particularités spécifiques des corps, dénommée pour cette raison température absolue (2).

La définition rationnelle de Lord Kelvin ne peut toutefois servir directement en pratique à l'évaluation des différences de température. On a pu démontrer que cette échelle thermodynamique absolue coïncide, au changement d'origine près, avec l'échelle centigrade d'un thermomètre à gaz parfait. En tenant compte des différences existant entre les gaz réels et le gaz parfait correspondant, on pouvait réduire les observations faites avec les thermomètres à gaz à l'échelle des températures absolues.

Mais, semblable opération exigeant des précautions minutieuses, le besoin se fit sentir d'adopter une échelle étalon

neuf du texte français, car les « conséquences » deux et trois y sont réunies sous le numéro 2. C'est donc au texte latin que Pascal renvoie dans ses Combinationes, et comme il n'y fait aucune mention du texte français, il est assez naturel d'admettre qu'il ne l'avait pas encore rédigé.

Le texte latin du Triangle Arithmétique a été réédité, sous le titre de Triangulus Arithmeticus, dans Pascal, t. XI, pp. 366-380. (1) Cfr. L'état actuel de la pyrométrie, H. Weiss. JOURNAL DE PHYSIQUE ET RADIUM, 1921, pp. 33-53.

(2) Cfr. Les températures thermodynamiques et le zéro absolu, A. Witz. REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES, t. LVI, p. 97.

IV SÉRIE. T. V.

11