Quant aux procédés sommatoires issus du principe des facteurs de convergence et à leur concordance, ils sont exposés systématiquement au chapitre VI qui peut être regardé comme un tableau du développement moderne de la théorie. L'idée des facteurs de convergence appelle, au reste, un résumé de la théorie des séries de Dirichlet et des méthodes de Riesz, qui en dérivent. Par une association toute naturelle, les auteurs sont ainsi amenés aux séries de facultés, dont la somme est susceptible d'être représentée par une intégrale de Laplace-Abel; cela les conduit, en suivant M. Nörlund, à établir l'identité des fonctions développables en séries de facultés et de celles qui donnent naissance à des séries de puissances absolument et uniformément sommables, au sens de M. Borel. Enfin, en quelques pages, les auteurs font voir, d'après les travaux récents de MM. Denjoy et Carleman, comment la théorie des fonctions quasi-analytiques a fait naître des procédés réguliers de sommation, ouvrant ainsi à la théorie des séries divergentes des voies nouvelles. On peut dire que, grâce à la collaboration d'un des maîtres du sujet et d'un jeune professeur déjà connu pour un don didactique éminent, voilà une mise au point excellente et complète d'un important chapitre de la théorie des fonctions. Cela permet, une fois de plus, d'apprécier la souplesse de cette collection de monographies qu'a si heureusement instituée M. Borel, et dont les diverses parties peuvent être tenues au courant des progrès de la science indépendamment les unes des autres. M. O. COURS DE MÉCANIQUE, professé à l'École supérieure des Mines, par PAUL LÉVY, ingénieur en chef des Mines, professeur à l'École Polytechnique. Un vol. gr. in-8o de 303 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1928. Prix: 50 francs. Avec M. Gaston Julia, professeur à la Sorbonne, M. Paul Lévy, professeur à l'École Polytechnique, tient incontestablement la tête de la jeune école mathématique française. Comme son émule, il s'est distingué par des études approfondies de haute analyse, et, plus particulièrement, pour sa part, de ce qu'on appelle aujourd'hui l'analyse fonctionnelle (1). Récemment, M. Julia nous a donné des Éléments de géométrie infinitésimale et un Cours de cinématique (2), reproduisant certaines de ses leçons de la Sorbonne ; à son tour, M. Paul Lévy qui, en dehors de son cours d'analyse de l'École Polytechnique, professe un cours de mécanique aux élèves de première année (c'est-à-dire ne sortant pas de l'École Polytechnique) de l'École Supérieure des Mines, livre au public cette dernière partie de son enseignement dans le volume qui vient de paraître. Si l'on rapproche les unes des autres ces diverses publications de MM. Julia et Lévy, on est amené, une fois de plus, à se convaincre de tout ce que l'aptitude didactique peut retirer de force de l'entraînement habituel aux plus hautes spéculations théoriques. On sent, à les lire, combien ces jeunes maîtres, engagés, pour leur propre compte, dans les recherches de l'ordre le plus élevé, dominent leur sujet quand il s'agit pour eux d'initier des étudiants aux parties relativement élémentaires de leur science; on admire avec quelle sûreté ils les y dirigent par les voies les plus directes et du plus facile accès. L'exposé de M. Lévy ne le cède pas, sous ce rapport, à celui de M. Julia. L'un et l'autre, pour les chapitres distincts de la science qu'ils ont à enseigner, ils ont, avec la plus grande aisance, atteint à l'excellent, et, les éloges que nous avons, sans réserve, décernés à l'un, peuvent tout aussi justement s'adresser à l'autre. C'est à tout le champ de la cinématique et de la dynamique, réduites à leurs éléments classiques, que s'étend le cours de M. Paul Lévy. Dans l'ensemble, c'est la méthode analytique qui y domine, et l'on ne saurait s'en étonner, vu la qualité spéciale de l'auteur; toutefois, M. Lévy est loin de dédaigner les considérations géométriques, d'où, à l'occasion, dérivent de si précieuses simplifications, qui, par ailleurs, facilitent bien souvent la pleine intelligence (1) Voir le compte-rendu de l'ouvrage magistral de M. Paul Lévy sur ce sujet, dans la livraison de janvier 1923 de la Revue (p. 243). (2) Analysés respectivement dans les livraisons de juillet 1927 (p. 205) et de mars 1928 (p. 331). des faits; aussi ne se fait-il pas faute d'y avoir recours. Et l'on en peut dire autant des raisonnements, en quelque sorte, purement mécaniques qui serrent la réalité d'aussi près que possible. Le soin apporté aux discussions se ressent des habitudes d'esprit de l'auteur ; on peut citer, à ce propos, la discussion très intéressante de la forme de la trajectoire d'un point sous l'action d'une force centrale, l'étude des petits mouvements d'un système dans le voisinage d'une position d'équilibre, celle de la condition de stabilité,... Avec l'étude générale des systèmes à liaisons, le cours déborde le cadre strictement élémentaire de la mécanique. Ici intervient le calcul des variations, au moins par son théorème fondamental, pour permettre l'introduction de notions aussi importantes que le principe de la moindre action d'Hamilton, les équations de Lagrange... La théorie des percussions et l'étude des systèmes flexibles font l'objet de chapitres spéciaux où, comme partout ailleurs dans cet excellent livre, on est frappé par les qualités de rigueur, de précision, de clarté de l'exposé. Mais une mention particulière doit être donnée au complément destiné à fournir les premières notions sur la théorie de la relativité. Il suffit de constater la lamentable médiocrité de la plupart des exposés soi-disant vulgarisés de la relativité (1) pour reconnaître que l'on ne peut, en réalité, pénétrer le sens de la doctrine nouvelle que sous la forme mathématique. Malheureusement l'appareil anaiytique que comporte cet exposé mathématique envisagé dans sa plus grande généralité, avec intervention des méthodes du calcul tensoriel, a, pour le débutant qui n'a pas préalablement pâli sur les arcanes de l'analyse moderne, quelque chose de tout à fait décourageant. Un tel degré d'initiation analytique est requis, c'est entendu, de quiconque veut aller jusqu'au bout de ces théories nouvelles ; mais, sans chercher à pousser les choses aussi loin, était-il possible de donner une idée suffisamment exacte de ces théories, au moins dans le cas de la relativité (1) Exception faite, toutefois, de quelques-uns comme ceux du commandant Metz, analysés dans cette Revue livraisons de janvier 1924, p. 43, et de mai 1928, p. 479. restreinte, sans avoir recours à d'autre instrument analytique que celui qui sert pour l'exposé normal des éléments de la mécanique classique ? C'est la question que, de la façon la plus heureuse, M. Paul Lévy a résolue dans la dernière partie de son livre. Impossible de rien imaginer de plus simple et de plus clair que son exposé de la relativité restreinte, d'où ressort la nécessité d'admettre la transformation de Lorentz, avec indication sommaire des modifications qui en résultent dans l'étude de la dynamique. Sans pénétrer dans le domaine de la relativité généralisée, non accessible sans l'aide des moyens analytiques perfectionnés auxquels il vient d'être fait allusion, l'auteur en fait tout au moins nettement saisir le point de départ. Cet exposé se termine par des remarques de haut intérêt sur l'évolution des théories physiques et la permanence de leurs caractères mathématiques, avec application à la relativité ; c'est là un morceau de philosophie de la science, de tout premier ordre. L'auteur réfute avec une grande force, dans un langage d'une parfaite limpidité, les principales objections faites à la théorie d'Einstein. Pour pénétrer dans ce champ nouveau de la connaissance, il ouvre des voies aussi faciles à suivre que possible, non seulement aux étudiants de l'heure présente, mais encore à toute la masse des lecteurs d'âge mûr qui, formés exclusivement naguère par les méthodes classiques, ont, sur toutes ces nouveautés, une curiosité éveillée qu'ils veulent pouvoir satisfaire sans trop d'effort. II. M. O. LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ ET LA MÉCANIQUE CLASSIQUE, par JEAN CHAZY. Un vol. de VIII-261 pages (25 × 16), de la Collection de physique mathématique. Paris, Gauthier-Villars, 1928. Prix 60 francs. La valeur d'une théorie réside dans la simplicité des principes dont se déduit toute la complexité des phénomènes observés. La théorie de Newton présente une dualité de principes: d'une part la loi fondamentale de la dynamique définit le mouvement d'un point matériel sous l'action des forces qui agissent sur lui, d'autre part la loi de la gravitation exprime la loi des forces exercées par les diverses masses. La théorie de la relativité supprime cette dualité. Sous sa forme restreinte elle avait montré le caractère fondamental que doit jouer le ds' d'espace-temps. La loi de la gravitation fournit une relation entre les coefficients de ce ds, correspondant au potentiel de la théorie classique, et les composantes du tenseur matériel, correspondant à la masse classique. Ces relations doivent naturellement être indépendantes du choix des coordonnées utilisées pour la représentation mathématique. La loi de la gravitation d'Einstein est la plus simple de celles qui vérifient ces conditions et fournissent un équivalent du principe de la conservation de l'énergie. Cette loi unique remplace en les modifiant les deux lois de Newton, loi dynamique et loi d'attraction. Malheureusement, ce n'est que dans des cas particuliers qu'il a été possible d'en déduire rigoureusement toutes les conséquences. Dans le cas du problème de deux corps sphériques sans rotation et dont l'un est de masse négligeable, le ds' peut se mettre sous la forme trouvée par Schwarzschild et le mouvement est défini comme géodésique de ce ds'. Dans le cas général, on ne peut procéder que par approximations successives, comme dans la théorie classique des perturbations. Le premier volume de l'ouvrage de M. Chazy a pour objet de discuter les conséquences astronomiques du ds2 de Schwarzschild et l'application à ce ds de la théorie des perturbations newtoniennes. Les considérations que nous venons de rappeler concernant l'origine de la loi de Schwarzschild seront discutées dans le second volume. Nous croyons pourtant qu'il aurait été utile de les indiquer dès le début. Des phrases telles que celles-ci : « La loi de gravitation de la théorie de la Relativité est formulée rigoureusement et explicitement seulement dans le cas élémentaire du mouvement d'une masse infiniment petite sous l'action de masses fixes données » prêtent à équivoque et devraient être expliquées ; et la loi de Schwarzschild ne peut manquer de paraître arbitraire au lecteur qui n'a pas présente à l'esprit la simplicité profonde de la loi tensorielle dont elle est une solution particulière. Il est à craindre qu'il ne la mette sur le même pied que d'autres lois capables aussi d'expliquer les faits mais qui n'ont qu'une valeur empirique |