BIBLIOGRAPHIE

I

COURS DE GÉOMÉTRIE PURE ET APPLIQUÉE DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, par MAURICE D'OCAGNE, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, Professeur à l'École Polytechnique.

TOME I.Transformations géométriques. - Perspective. Géométrie infinitesimale. Géométrie réglée. Géométrie cinématique. Un vol. in-4° de x1-375 pp. - Paris, Gauthier-Villars, 1917.

Sta

TOME II. Cinématique appliquée. Stéréotomie. tique graphique. - Calcul grapho-mécanique. - Nomographie. (364 pp.) ID. 1918.

Le beau livre que M. d'Ocagne vient de publier nous a vivement frappé par son extrême originalité et nous ne voyons pas trop à quel autre on pourrait le comparer. C'est tout ensemble une encyclopédie des applications de la géométrie à la technique de l'ingénieur et un traité de géométrie supérieure. Avec cela, l'ensemble ne manque nullement d'unité. Cette unité provient sans aucun doute du point de vue scientifique très élevé auquel s'est placé l'auteur. Écrit par un géomètre, ce cours est destiné aux géomètres l'auteur s'attache, avant tout, à mettre en pleine lumière les principes directeurs de géométrie pure qui dominent chacune des doctrines qu'il expose. « Cet ouvrage, nous dit M. d'Ocagne lui-même, est l'exacte reproduction de notre enseignement à l'École Polytechnique. Son caractère particulier tient au double but que vise cet enseignement, savoir: 1° développer chez les élèves l'esprit géométrique; 2° mettre à leur disposition les notions issues de la géométrie qu'ils auront à utiliser par la suite en vue de leurs études techniques. >>

Ce double but explique la division du Cours en deux volumes, le premier consacré aux théories de géométrie pure utilisées par après, le second, aux applications les plus importantes de la géométrie à la pratique du technicien.

Ces deux volumes sont beaucoup trop touffus et embrassent. un beaucoup trop grand nombre de questions différentes pour qu'il soit possible d'en faire une analyse un peu complète. Nous sommes forcé de nous limiter à un résumé très superficiel, nous attachant surtout à caractériser l'esprit dans lequel les matières sont traitées, et livrant un peu au hasard au lecteur les réflexions que nous avons faites en parcourant les divers chapitres de ce Cours.

Le premier volume est un traité de Géométrie supérieure et l'auteur a voulu expressément que tel soit son caractère. Il renvoie aux traités d'analyse quand il le faut, mais il soutient que les méthodes géométriques doivent être développées à côté des méthodes analytiques, qu'elles ont des avantages qui leur sont propres, et tout d'abord celui de développer le sens intuitif chez les élèves. Nous sommes entièrement de son avis.

La démonstration par la géométrie, dont les premiers exemples remontent aux mémorables travaux de Poncelet et Chasles, est une invention française. Cette méthode permet d'obtenir les théorèmes à démontrer comme conséquences de certains principes généraux, susceptibles de revêtir un énoncé géométrique, et sans qu'il faille écrire aucune formule. La méthode par l'analyse qu'on lui oppose a un double inconvénient : elle substitue des symboles algébriques aux ètres géométriques, ensuite elle dissocie les éléments du raisonnement pour les ranger dans une chaine dont l'esprit envisage les anneaux successivement. Mais, si la chaine est longue, l'esprit est incapable d'embrasser le lien qui réunit les anneaux extrêmes, et alors la démonstration entraîne la conviction sans éclairer l'intelligence. Tout au contraire, la démonstration par la géométrie est directe, elle porte sur les objets eux-mêmes; loin de séparer ces objets, elle les réunit dans une sorte de perspective synthétique et met leurs rapports en pleine lumière. Aussi, comme le faisait déjà remarquer Poinsot, il n'est pas de méthode de raisonnement plus instructive et présentant plus d'avantages pour la formation de l'esprit. Si nous voulons donc caractériser le premier volume de M. d'Ocagne, nous dirons qu'il a pour dessein bien avéré de faire valoir la démonstration par la géométrie. Ajoutons que ce but est pleinement atteint. Dès le premier chapitre, consacré à l'étude des transformations géométriques, l'auteur rencontre, avec les transformations ponctuelles (homographie, inversion) et les transformations dualistiques (principe de dualité), les principes les plus féconds de la géométrie projective. Il est donc, de prime abord, au cœur même de son sujet.

La Perspective, qui constitue le second chapitre du Cours, n'est qu'une application; elle forme donc une sorte de parenthèse dans le premier volume. Elle est cependant si étroitement liée à la question précédente que l'on conçoit très bien que l'auteur n'ait pas voulu l'en détacher. Le problème direct, c'est-à-dire celui de la mise en perspective (conique, axonométrique, etc.) est présenté sous son aspect classique et n'appelle peut-être pas d'observation bien spéciale. Par contre, le problème inverse, celui de la reconstitution des objets mis en perspective, est beaucoup plus nouveau et aussi plus difficile, et il est traité par plusieurs méthodes différentes, toutes intéressantes. En dehors de son importance théorique, ce problème a présenté une importance pratique capitale pendant la guerre. Toute la question de la métrophotographie, ou de la reconstitution des objets au moyen de deux images perspectives photographiques, en dépend, et c'est la question qui se pose d'elle-même dans la reconnaissance du terrain par avions.

Toutes les matières qui figurent dans le programme que l'auteur s'est tracé, ne se prêtent pas aussi naturellement au raisonnement géométrique que celles qui précèdent et, en particulier, celles qui rentrent dans son troisième chapitre, sous la rubrique géométrie infinitesimale. Nous y rencontrons, en effet, de nombreuses notions qui sont nettement analytiques courbure, torsion, contact, plan osculateur, lignes de courbure, géodésiques, asymptotiques, etc. Toutes ces notions fondamentales sont en quelque sorte primitives et c'est à l'analyse qu'il appartient de les préciser. Mais, une fois acquises, elles forment un vaste champ d'applications dans lequel le « géomètre » peut librement s'exercer. On peut être assuré que l'auteur ne s'en fait pas faute. Pour trouver des exemples simples et instructifs, il n'a d'ailleurs qu'à puiser dans ses propres travaux. C'est ainsi que l'on trouve d'excellentes applications de la méthode géométrique dans la construction du centre de courbure des coniques, dans les propriétés des tractrices, des caustiques et des podaires; dans les théorèmes de Sturm, de Malus, de Dupin (rayons réfléchis et réfractés), etc.,

Le quatrième chapitre, intitulé géométrie réglée, ramène sur le terrain de la pure géométrie. La théorie si importante des complexes et des congruences linéaires est exposée ici avec tout le soin qu'elle mérite, et avec d'autant plus de raison qu'elle intervient en statique graphique. On en retrouvera donc l'appliIcation dans le second volume.

Enfin le cinquième et dernier chapitre du premier volume expose les principes de la géométrie cinématique. Cette science se propose l'étude des êtres géométriques attachés au mouvement d'une figure de forme invariable. Certaines parties de cette branche de la géométrie sont classiques et exposées dans tous les traités de cinématique. Nous les trouvons également ici. Telles sont l'étude des déplacements finis, celle des mouvements instantanés et continus d'un solide et les constructions qui s'en déduisent pour les normales, les centres de courbures, etc. Mais M. d'Ocagne passe bientôt à des applications plus particulières et il développe, sous forme géométrique, quelques théories très élégantes, d'un ordre élevé, concernant les hélicoïdes, la surface de vis à filet carré ou triangulairé et finalement la surface de l'onde considérée comme surface apsidale d'un ellipsoïde.

Un appendice au premier volume apporte quelques compléments précieux aux questions précédemment traitées : Transformations géométriques, problème direct ou inverse de la perspective, géométrie infinitésimale, attraction d'une couche ellipsoïdale. Ici encore, certains travaux de l'auteur trouvent tout naturellement leur place.

Nous allons maintenant passer en revue les diverses branches de la géométrie appliquée qui font l'objet du second volume (chapitres VI à XI).

La cinématique appliquée (VI) comprend deux parties: 1o Théorie des mécanismes; 2° Cinématique graphique.

Les mécanismes sont des transformateurs de mouvements, parmi lesquels il faut encore distinguer les transformateurs cinématiques (engrenages, cames, excentriques, etc.) et les transformateurs géométriques ou systèmes articulés (plans ou gauches). La construction et la théorie de ces appareils s'appuient sur une foule de propriétés intéressantes des courbes planes. Ce sont là des questions classiques sur lesquelles il est inutile d'insister, mais qui sont exposées ici avec une clarté et une concision qui méritaient d'être signalées.

Par contre, la cinématique graphique est une branche entièrement nouvelle, dont le nom est dû à M. d'Ocagne et dont les débuts peuvent être attribués à l'ingénieur Marbec. Voici en quoi elle consiste. Le mouvement d'une figure plane étant déterminé par celui de deux de ses points, les vitesses et les accélérations des divers ordres de ces deux points déterminent les grandeurs analogues pour tous les autres points et permettent, par conséquent, de les construire. Ce sont les principes très simples de

ces constructions qui sont codifiés sous le nom de cinématique graphique.

La stéréotomie (VII) est forcément restreinte ici à un nombre limité de problèmes fondamentaux. Parmi ceux-ci, l'appareillage des arches biaises occupe, à juste titre, la place principale. En particulier, l'appareil hélicoïdal fait intervenir, comme on le sait, de fort belles propriétés des courbes et des surfaces et soulève des discussions délicates, auxquelles l'auteur a soin de ne point se dérober, car elles font tout l'intérêt mathématique du problème.

La statique graphique (VIII) permet de résoudre par des constructions géométriques simples tous les problèmes relatifs à la composition, à la décomposition, à l'équilibre et au calcul des moments des forces situées dans un plan. Sous certaines conditions, elle permet de déterminer les réactions lorsqu'une pièce repose sur plusieurs points d'appui, de déterminer les forces intérieures dans un système réticulaire et les forces élastiques à l'intérieur d'une pièce chargée. Telles sont donc les questions fondamentales auxquelles confinent les nombreux problèmes traités par l'auteur. Mais, fidèle à son principe, M. d'Ocagne envisage toutes ces questions d'un point de vue scientifique supérieur et s'attache à relier les constructions aux principes de géométrie générale dont elles dépendent. C'est ainsi que la théorie des transformations géométriques jette une pleine lumière sur les relations qui existent entre les divers funiculaires possibles pour un même système de forces données; c'est ainsi que les propriétés des diagrammes réciproques fournis par la détermination des conditions d'équilibre d'un système réticulaire, se rattachent à la considération des complexes linéaires. Nous citerons encore, comme particulièrement instructive à cet égard, la recherche des conditions nécessaires et suffisantes pour que la détermination des forces, à l'intérieur d'un système réticulaire donné, ne dépende que de la statique seule. Toutes ces discussions intéressent le géomètre autant que le constructeur et peut-être même davantage.

Le calcul graphique (IX) consiste à substituer à une opération de calcul sur des nombres une construction sur des segments dont les longueurs sont mesurées par ces nombres. Ce genre de substitution remonte aux Pythagoriciens et l'on peut trouver dans le livre II d'Euclide une série de propositions qui ne sont que la transposition géométrique de tous les calculs relatifs au traitement des équations des deux premiers degrés. C'est ce que