capitaine P. Mazuir, qu'éditera prochainement la Revue d'Optique théorique et instrumentale.

M. ALLIAUME.

III. ELEMENTI DELLA TEORIA DELLE FUNZIONI ANALITICHE E DELLE FUNZIONI TRASCENDENTI INTERE, par GIULIO VIVANTI, professore nella R. Università di Milano. Seconda edizione completamente rifusa. Un vol. de XII425 pages (16 x II), avec 3 fig., de la Collection Manuali Hoepli. Milano, U. Hoepli, 1928. - Prix: 28,00 lires.

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Professeur à l'Université royale de Milan, depuis 1925, l'auteur né en 1859 - jouit, dans le monde mathématicien, d'une réputation scientifique de premier ordre, méritée par ses nombreux et importants travaux d'analyse, mémoires et ouvrages. Ceux-ci ont été, la plupart, traduits en diverses langues. Cette Revue a, du reste, rendu compte de plusieurs d'entre eux.

Le présent volume s'occupe de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire. Pour les fonctions réelles, l'auteur renvoie à ses Lezioni di Analisi infinitesimale (Turin, 1920).

La première édition parut il y a plus d'un quart de siècle; aussi est-il tout naturel que la seconde soit « complètement refondue ». Déjà l'édition allemande (Teubner, 1906) comportait de profonds changements. Vu l'immensité des progrès accomplis par l'Analyse depuis le début du siècle, l'auteur n'a pu songer à mettre le volume complètement à jour, ce qui lui eût donné une extension incompatible avec le caractère de « manuel ».

Le plan général des deux premières parties, dont nous reparlerons, est resté inchangé; mais la troisième a été réduite elle ne traite plus que de la théorie — et encore incomplète des fonctions transcendantes entières.

L'auteur s'inspire surtout de la méthode « limpide, élégante» de Weierstrass. Certes, celle de M. Borel a révélé son importance, dès le début, par une démonstration du célèbre théorème de Picard et de ses généralisations, et elle l'a confirmée à l'occasion de l'étude du fameux « cas d'exception » et des fonctions entières d'ordre nul ou

infini; aussi la méthode Borel est-elle adoptée par les promoteurs de la théorie des fonctions entières, qui comptent parmi les plus brillants analystes de la jeune École. Mais on pourrait difficilement faire le reproche à M. Vivanti de n'avoir pas voulu lui consacrer une large place. Car il eût altéré ainsi le caractère fondamental de son manuel, destiné à servir de préparation et de guide pour une étude plus approfondie. La méthode de Weierstrass a l'avantage considérable de procéder surtout par le raisonnement; les calculs longs et arides, eux, en dépit de leur valeur démonstrative, ne font pas suffisamment la lumière, ne satisfont pas autant l'esprit des débutants en haute analyse et sont de nature à les décourager.

La première Partie, qui traite de la théorie des ensembles et n'occupe qu'un sixième du volume, tout en n'étant pas beaucoup changée, est cependant mise dans un ordre plus logique qu'antérieurement. Mais la seconde Partie, la plus longue des trois, a subi des modifications plus profondes. L'École de Weierstrass développait toute la théorie des fonctions analytiques sans recourir au concept d'intégrale curviligne, instrument si puissant entre les mains de Cauchy. Pringsheim voulut d'abord lui substituer la << valeur moyenne », mais sa rigidité contraste avec la «flexibilité » de l'intégrale complexe; aussi cet auteur reconnut-il ensuite, avec Kneser, l'opportunité d'introduire dans la théorie des fonctions analytiques le concept d'intégrale complexe, mais définie, d'une manière autonome, comme limite d'une somme. Vivanti a accueilli cette réforme, qui simplifie l'exposé en de nombreux points et permet de faire usage du théorème de Cauchy, lequel comprend virtuellement toute l'analyse.

A la première édition était annexée, à la fin du volume, une liste bibliographique comportant plus de trente pages et contenant plus de deux cents titres. Dans l'édition allemande, elle s'est allongée de plus du triple! On se représente ainsi quel eût été son encombrement aujourd'hui, étant mise à jour! L'auteur estime, cette fois, qu'une bibliographie collective et non systématique est d'autant moins utile qu'elle est plus longue, parce que, le plus souvent, le titre d'un travail ne donne pas d'indications

suffisantes sur son contenu. On pourrait répondre qu'une bibliographie peut soutenir la prétention d'être un auxiliaire utile, même quand il existe un exposé encyclopédique du sujet. Quoi qu'il en soit, M. Vivanti a eu raison de préférer à une telle liste les brèves références qu'il donne,

parfois avec quelques mots d'historique dans des notes s'appliquant aux seuls théories ou théorèmes les plus importants. Rien n'est plus commode pour le lecteur qui désirerait approfondir tel ou tel chapitre. L'auteur donne aussi la traduction, en sept ou huit langues, des principaux termes techniques : c'est ce qu'on devrait toujours faire.

L'index de la fin du volume réunit les noms des auteurs cités, une bonne centaine, les uns fort connus, les autres plus ou moins obscurs. A juste titre, les cimes, comme E. Borel, Cauchy, E. Lindelöf, Picard, Pringsheim, Weierstrass et Vivanti lui-même, sont cités le plus fréquemment ; mais on peut s'étonner de ne voir pas mentionner du tout certains analystes de la plus haute distinction, tels que M. de la Vallée Poussin, auteur d'importantes contributions aux théories faisant l'objet de l'ouvrage.

Voici la Table des matières, avec, parfois, quelques indications supplémentaires entre parenthèses : PRÉFACE (PP. V-x). Table des matières (pp. XI-XIII). PARTIE I. Eléments de la théorie des ensembles (pp. 1-63; 88 1-54). Puissance; nombres cardinaux transfinis (postulat de Zermelo, théorème de Cantor-Bernstein). Types ordinaux, nombres ordinaux transfinis. Ensembles linéaires de points. Ensembles de points dans un espace à plusieurs dimensions. PARTIE II. Théorie générale des fonctions analytiques (pp. 64-267 §§ 55-149). Séries potentielles (théorème de Cauchy-Hadamard); leur dérivation; leur intégration. Le prolongement analytique (théorème de Cauchy, formules de Cauchy, de Laurent). Points singuliers (théorème de Casorati). Les fonctions rationnelles et les expressions arithmétiques. Classification des fonctions analytiques uniformes. Les fonctions entières (théorème de Weierstrass). Fonctions ayant une infinité de singularités essentielles ; de singularités quelconques. Théorème de Mittag-Leffler. PARTIE III. Théorie des fonctions entières transcendantes (pp. 267-421; §§ 150-215). Les théorèmes de Laguerre et leurs généralisations (théorème de Jensen, etc.), Les trois indices d'une fonction entière et leurs relations réciproques (théorème de Poincaré). Expressions asymptotiques; théorie de la croissance. Les indices de Lindelöf. Les deux théorèmes de Picard. Les fonctions de genre fini, de genre infini. INDEX

DES NOMS.

Cet ouvrage est à recommander au moins à tous les professeurs de mathématiques un peu élevées, particulièrement aux analystes. Inutile de le dire le fait d'être écrit en italien n'est pas un obstacle sérieux pour les lecteurs d'expression française.

M. LECAT.

L'AFFINITÉ, par TH. DE DONDER, professeur à l'Université de Bruxelles. Un vol. de 94 pages (17 x 25). Paris, Gauthier-Villars, 1927. — Prix: 10,00 fr. fr.

La parution d'un nouvel ouvrage de M. De Donder n'est pas chose rare et c'est toujours un événement heureux pour le monde savant. Les nombreuses branches de la Science que l'éminent auteur a cultivées ont toutes reçues de lui des accroissements notables.

Le présent travail, inséré dans les Mémoires de l'Académie royale de Belgique (1927), apporte une importante contribution à la Thermodynamique généralisée et ainsi à la Chimie physique.

Le rôle de l'affinité, telle que l'auteur la définit (chap. V), est très considérable : l'avant-dernier chapitre en témoigne d'une manière éclatante.

L'existence de l'énergie interne et de l'entropie (introduites par les deux premiers principes de la Thermodynamique, chap. II) est conditionnée, on le sait, par certaines relations (Clausius, Kelvin); ces fonctions demeurent, en effet, inchangées quelle que soit la transformation effectuée par le système. De même pour l'existence de l'affinité, que conduit à envisager la chaleur non compensée. M. De Donder établit les conditions nécessaires et suffisantes de cette existence (chap. V). L'affinité est la dérivée de la chaleur non compensée par rapport au degré d'avancement de la réaction. L'auteur généralise, à l'aide de cette notion, les théorèmes de Berthelot, de Kelvin, de Kirchhoff, déjà déduits au chap. III, comme conséquences des deux premiers principes de la Thermodynamique généralisée.

En fonction de l'affinité — comme, au chap. IV, en fonction des chaleurs de réaction non compensée -on exprime (chap. VI, pp. 42-45) la vitesse réactionnelle d'un système, quelle que soit la transformation particulière qu'il effec

tuera. On est amené ainsi à généraliser le théorème d'Arrhénius et Perrin. Au point de vue formel, ce chapitre ressemble à l'étude cinétique physico-chimique de R. Marcelin (1915); mais il y a des différences très sensibles entre les conceptions des deux auteurs.

La différentielle totale de l'affinité est mise (chap. V) sous une forme remarquable, qui est utilisée pour l'étude (chap. VII) des transformations isoaffines (où l'affinité est constante) et (chap. VIII) des équilibres stables. Pour ces deux cas, on généralise les théorèmes de van 't Hoff et de Le Chatelier. M. De Donder a eu raison de situer dans cette synthèse la règle des phases.

Le chap. IX (pp. 54-63) est consacré aux gaz parfaits ou idéaux, c'est-à-dire à ceux qui satisfont à la loi de Joule (l'énergie interne d'un tel gaz ne dépend que de la température) et à la loi de Mariotte. Ces gaz forment, en quelque sorte, le terme de comparaison pour les gaz réels. L'auteur calcule l'affinité d'un mélange de gaz idéaux. Si l'affinité est nulle, on retrouve la loi de Guldberg et Waage.

En vue de comparer les systèmes réels aux systèmes idéaux, M. De Donder introduit (chap. X), d'après G. N. Lewis et M. Randall (1923), les potentiels d'activité et les coefficients d'activité. Ceux-ci permettent d'écrire l'affinité d'un système quelconque sous une forme voisine de celle d'un mélange de gaz idéaux. Il est intéressant de rapprocher ce chap. et aussi le chap. VI de certaines recherches de M. G. van Lerberghe sur l'affinité spécifique en fonction des fugacités et sur la vitesse des transformations physicochimiques (1926).

Au chap. XI (pp. 69-84), on donne diverses applications : pression osmotique (1), tonométrie, ébullioscopie, cryoscopie, solubilité des gaz (2), force électromotrice (3), électroaffinité (4), catalyse (5), ionisation et excitation des gaz (6), ce qui conduit à des généralisations des lois de van 't Hoff (1), de Henry (2), de Gibbs-Helmholtz et de Nernst (3), de Richardson (4), de C.-N. Hinshelwood (1926) (5) et de Saha (6).

On termine par l'exposé de deux méthodes pour le calcul approché de l'affinité d'un système. On l'assimile à un mélange de gaz de Van der Waals ou de Clausius. Une de