lettre, on ne comprend pas pourquoi Colomb aurait inventé la seconde.

4o Cette question reste donc douteuse. Il en est de même de l'identification de l'île Guanahani où Colomb a débarqué lors de son premier voyage. M. Gould s'en est occupé tout récemment (1). Par l'étude des données de Colomb sur la navigation dans ces parages, par l'utilisation des cartes contemporaines et par la comparaison des descriptions de Colomb avec l'état actuel des îles, l'auteur croit pouvoir admettre que Guanahani est l'île Watling. Nous dirons avec lui qu'il est impossible d'arriver à une certitude, mais qu'il y a une forte présomption en faveur de l'identification qu'il préconise.

G. DEPT,

Chargé de cours à l'Université de Gand.

toscanelliane. Riv. Geogr. ital., t. XXXIV (1927), pp. 253-254, qui admet la thèse de M. Sumien.

(1) R. T. GOULD, The landfall of Colombus: an old problem restated. Geogr. Journ., LXIX (1927), PP. 403-430.

BIBLIOGRAPHIE

I. LEÇONS SUR L'INTÉGRATION ET LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES, par HENRI LEBESGUE, membre de l'Institut, professeur au Collège de France (Ouvrage de la Collection Borel), 2e édition Un vol. in-8° de 342 pages

Paris, Gauthier-Villars, 1928. Prix 60 francs.

Il n'est pas besoin d'insister sur la belle part prise par M. Lebesgue au développement de l'Analyse et notamment sur ses recherches de premier ordre, aujourd'hui classiques, relatives à la notion d'intégrale

Les leçons sur l'intégration que, alors encore en la période de ses débuts, il a données, pendant l'année scolaire 19021903, au Collège de France, comme chargé de cours de la Fondation Peccot, ont été réunies en 1904 dans un des premiers volumes de la Collection Borel, que nous avons analysé dans cette Revue (1). Cette nouvelle édition, suivant la première, à près d'un quart de siècle, en diffère naturellement de façon assez sensible, ne fût-ce même qu'en raison des nouveaux progrès dus à l'auteur lui-même.

En présence de la somme considérable de travaux publiés dans cet intervalle, l'auteur, pour ne pas donner à son livre plus de développement que n'en comportent les volumes de la collection, a dû faire un choix. Il déclare, dans sa nouvelle préface, qu'il a « écarté rigoureusement tout ce qui ne concourait pas à faire comprendre ». Il s'en est d'ailleurs tenu aux fonctions d'une seule variable, les lecteurs de la collection pouvant, pour les fonctions de plusieurs variables, recourir à l'excellent livre de M. de la Vallée Poussin.

(1) Livraison d'octobre 1904, P, 615.

:

Nous ne reprendrons pas ici l'analyse détaillée de l'ouvrage, donnée à propos de la première édition, nous bornant à mettre en évidence les principales modifications et additions que comporte la seconde. Ces modifications ne deviennent, au reste, sensibles qu'à partir du chapitre VII, qui, sous le titre Les fonctions sommables, était originairement le dernier du volume. La matière de cet ancien chapitre a essaimé dans les chapitres VII, VIII et IX de la nouvelle édition, traitant respectivement de l'intégrale définie des fonctions sommables, de l'intégrale indéfinie des fonctions sommables, de la recherche des fonctions primitives avec l'existence des dérivées. C'est surtout dans cette partie que les travaux de M. Lebesgue, publiés depuis la première édition, ont apporté des précisions et des clartés nouvelles, grâce à la théorie nouvelle des fonctions d'ensembles et à la nouvelle conception de la notion d'intégrale indéfinie. En particulier, on rencontre, au chapitre IX, les perfectionnements et extensions des théories concernant la recherche des fonctions primitives et l'existence des dérivées, acquis, depuis la précédente édition, grâce aux travaux mêmes de l'auteur.

Les chapitres X et XI, traitant respectivement de la totalisation d'après M. Denjoy, et de l'intégrale de Stieltjes, sont entièrement nouveaux. Dans l'un, à propos du théorème de M. Baire sur les fonctions de classe un au plus, l'auteur fait usage du procédé de récurrence transfinie qui a permis à M. Denjoy de résoudre complètement le problème des fonctions primitives. Dans l'autre, il développe, sous une forme remarquablement élégante, la théo1ie de l'intégrale de Stieltjes, dont, en se fondant sur une ingénieuse remarque de Cauchy, il fait connaître la signification physique la faisant apparaître comme résultant d'une « simple mise au point d'une définition intuitive ».

L'auteur faisant usage, en divers passages de son livre, de la notion des nombres transfinis, leur consacre une note développée à la fin du volume. Toutefois, tout en appréciant la commodité qui résulte de leur emploi, il discute assez à fond les moyens de s'en passer dans la plupart des cas où il a eu recours à leur utilisation.

M. O.

LES ESPACES ABSTRAITS ET LEUR THÉORIE CONSIDÉRÉE COMME INTRODUCTION A L'ANALYSE GÉNÉRALE, par MAURICE FRÉCHET, professeur d'Analyse supérieure à l'Université de Strasbourg. - Un vol. de IX-296 pages (25 × 16). (Ouvrage de la Collection Borel). - Paris, Gauthier-Villars, 1928. Prix 50 francs.

En fait d'abstraction, on peut bien dire du sujet traité, d'ailleurs avec un remarquable talent, par M. Fréchet, que c'est le fin du fin. Pour être en état de suivre avec fruit un tel exposé, il faut être déjà parvenu à un haut degré d'initiation en des théories mathématiques qui confinent aux parties les plus abstruses de la philosophie, et peut-être aussi posséder certaines qualités d'esprit qui ne se rencontrent pas chez le premier venu. Non licet omnibus adire Corinthum.

D'après une phrase citée en manière d'épigraphe en tête du volume, celui-ci viendrait combler un vou formulé en 1912, par M. Hadamard, tendant à ce qu'il fût remédié à notre ignorance des propriétés du continu fonctionnel par la création à son usage d'un chapitre de la théorie des ensembles.

La thèse de M. Fréchet, remontant à 1906, contenait déjà, en germe tout au moins, les notions requises pour un tel objet. Depuis lors, l'auteur, en d'assez nombreuses publications, avait précisé ou modifié son point de vue, résumant finalement ses idées sur la matière dans une Esquisse d'une théorie des ensembles abstraits, parue à Calcutta en 1922. Le présent volume est le développement du sujet ainsi ébauché.

En réalité, le desideratum de M. Hadamard avait déjà été comblé dans certains cas particuliers. On avait, en effet, été conduit à considérer divers continus fonctionnels, divers espaces fonctionnels à l'occasion de certaines questions spéciales d'analyse. M. Hilbert, notamment, avait eu recours à des espaces fonctionnels à l'occasion des équations intégrales.

Mais le but que s'est proposé M. Fréchet est d'une bien autre généralité, il n'a, en effet, visé à rien de moins que d'étudier à l'avance tous les espaces abstraits dont on

pourra jamais avoir besoin. Partant de résultats où intervient, par exemple, une notion de limite, il cherche, dans les démonstrations qui lui ont fourni ce résultat, quelles ont été les propriétés initiales indispensables au raisonnement logique. Ceci fait, il envisage des éléments sur la nature desquels il ne suppose rien, dont on sait seulement qu'on les appelle des éléments ou des points et qu'il y a entre eux telles et telles relations fixées par des axiomes. Ces axiomes sont choisis de façon à exprimer précisément les propriétés initiales si l'on consentait à donner un sens concret aux éléments; mais l'auteur leur laisse toute leur imprécision, et, par rapport à ces éléments abstraits, les axiomes apparaissent comme fixant les règles d'un certain jeu logique ; c'est ce jeu logique que M. Fréchet appelle « l'analyse générale ». Pour les géomètres qui, s'efforçant de ne pas perdre le contact avce le concret, font volontiers appel à l'intuition, cette façon de procéder a, il faut l'avouer, quelque chose d'un peu déroutant. Il faut toutefois reconnaître qu'elle a conduit l'auteur à des distinctions difficiles, à des notions importantes.

Pour tirer parti de cet amoncellement de considérations abstraites, il faut choisir entre toutes les possibilités logiques. On le fait, en réalité, en s'inspirant des utilisations déjà faites de divers espaces, en dehors de l'étude des ensembles abstraits, et cela peut donner à penser que l'analyse générale ne se construit qu'en dernier lieu, en se fondant sur la science déjà acquise, au lieu d'ouvrir la voie à la science à acquérir. M. Fréchet, qui a prévu cette objection, y répond longuement dans son introduction. Ce n'est que l'avenir qui pourra décider du plus ou moins bien fondé de son argumentation.

Quoi qu'il en soit, l'édification d'une telle œuvre a exigé, de la part de son auteur, des efforts de pensée longs et difficiles dont il convient de lui faire honneur.

M. O.

LEÇONS SUR LES NOMBRES TRANSFINIS, par W. SIERPINSKI, membre de l'Académie polonaise des Sciences et des Lettres, professeur à l'Université de Varsovie. Un vol. de 240 pages (25 × 16). Paris, Gauthier-Villars, 1928. — Prix 40 francs.