BIBLIOGRAPHIE

I

TRAITÉ DES COURBES SPÉCIALES REMARQUABLES, PLANES ET GAUCHES, par F. GOMES TEIXEIRA. Ouvrage couronné et publié par l'Académie royale des Sciences de Madrid. Traduit de l'espagnol, revu et très augmenté, tome II. Coïmbre, Imprimerie de l'Université, 1909. In-4° de Iv-497 pages (1).

Dans le numéro de janvier de cette année. je me suis fait un plaisir de présenter aux lecteurs de la REVUE, le premier volume du Traité des courbes spéciales remarquables, planes et gauches de M. Gomes Teixera; le deuxième volume mérite tous les éloges que j'ai cru devoir donner alors au premier. A un certain point de vue, l'intérêt de l'ouvrage va même en croissant. Dans le premier volume entier, et la première moitié du second, M. Teixeira s'occupe d'un sujet sur lequel nous possédions déjà un travail analogue, les Spezielle algebraische und transcendente ebene Kurven, par M. Loria. Mais la dernière partie du second volume du Traité de M. Teixeira est absolument neuve, car elle a pour objet les courbes gauches auxquelles M. Loria n'a pas étendu son étude.

La partie bibliographique et historique du second volume du Traité des courbes nous semble écrite avec un soin particulier. Les indications intéressantes y abondent. Dans beaucoup de cas, bien entendu, ces indications ne font pas connaître des faits nouveaux. Mais loin de le reprocher à l'auteur, il faut plutôt le remercier de n'avoir pas craint de les répéter. Des ouvrages

(1) Ce volume forme en même temps le tome V des Obras sobre mathematica do Dr. F. Gomes Teixeira, publicadas por Ordem do Governo Portugues. Coimbra, Imprensa da Universidade, 1909.

comme ceux de MM. Teixeira et Loria sont des manières de dictionnaires destinés à donner rapidement le plus de renseignements possibles. Un de leurs mérites principaux est précisément de nous rafraîchir la mémoire et de nous épargner les recherches.

A propos de la bibliographie des courbes, voici deux observations faites au courant de la plume; simples remarques, n'ayant en rien le caractère d'une critique et portant sur de minimes détails.

Parlant de la loxodromie, M. Teixeira rappelle les travaux de Stevin sur cette courbe et nomme à cette occasion les Wisconstige gedachtenissen du géomètre brugeois. L'indication est exacte et le renseignement parfait pour un lecteur hollandais ou belge, mais en est-il de même pour les autres? Les Wisconstige gedachtenissen sont écrites en flamand de la fin du XVIe siècle, langue peu comprise par beaucoup de lecteurs. C'est un premier inconvénient. Il y en a un autre plus grave : Von Braunmühl (1) dit que l'ouvrage est rarissime, von fast unauffindbarer Seltenheit (2). Avec les Wisconstige gedachtenissen, j'eusse nommé, me semble-t-il, les Hypomnemala mathematica, qui en sont la simple traduction. Les Hypomnemala parurent à Leyde de 1605 à 1608, en même temps que les Gedachtenissen et sont beaucoup moins rares que ces dernières. Ils sont surtout d'une lecture beaucoup plus facile pour la plupart des géomètres.

Cette première observation passera peut-être pour une vétille. Je n'attache guère plus d'importance à la seconde. La voici, cependant:

Dans ce deuxième volume, mais surtout dans le premier, M. Teixeira cite, à plusieurs reprises, des travaux de De Longchamps. Fort bien. Mais pourquoi ne pas nommer une seule fois le beau Cours de problèmes de géométrie analytique (3) de cet auteur? Ce Cours renferme tant de jolis théorèmes, d'intéressants problèmes, de propriétés de courbes introuvables dans d'autres ouvrages. De Longchamps lui-même le remarque dans la Préface: «Sauf de très rares exceptions, dit-il, je me suis systématiquement abstenu de prendre des exercices déjà

(1) Vorlesungen ueber Geschichte der Trigonométrie. Leipzig, Teubner, 1900, t. I, p. 226.

(2) L'ouvrage est moins rare, en Belgique et en Hollande; la plupart des grandes bibliothèques le possèdent.

(3) En trois volumes in-8°. Paris, Delagrave, 1898-1899.

publiés et même, pour donner à ce cours tout l'intérêt qu'il comporte, je me suis interdit les questions assez nombreuses, que j'ai proposées dans diverses publications mathématiques, notamment dans le JOURNAL DE MATHEMATIQUES SPÉCIALES. » Encore une fois, il ne faudrait pas attacher à ma remarque l'importance d'une critique. J'ai toujours eu un faible pour le Cours de problèmes de De Longchamps. Il ne me semble pas être apprécié à sa valeur et j'eusse souhaité le voir nommer à l'occasion; c'est tout ce que je voulais dire.

Reste en terminant à donner, par chapitres, comme nous l'avons fait pour le premier volume, la liste des courbes étudiées. Chap. VII. Courbes transcendantes remarquables. 1. Logarithmique. 2. Chainette. 3. Tractrice. 4. Syntractrice. 5. Chainette d'égale résistance. 6. Courbes des sinus, des tangentes et des sécantes. 7. Sur la courbe / sin(x+y)=c. 8. Quadratrice de Dinostrate. 9. Courbe élastique ou lintéaire. 10. Courbe isochrone paracentrique. 11. Courbes de Wallis. Courbe gamma. Chap. VIII. Les spirales. 1. Spirale d'Archimède. 2. Spirale de Galilée. 3. Spirale de Fermat. 4. Spirale parabolique. 5. Spirale hyperbolique. 6. Le lituus. 7. Spirale logarithmique. 8. Spirale de Poinsot. 9. Spirale tractrice. 10. Tractrice circulaire. 11. Cochléoïde. 12. Clothoïde. 13. Pseudo-chainette. 14. Pseudo-tractrice.

Chap. IX. Les paraboles et les hyperboles générales. Les spirales correspondantes. 1. Les paraboles. 2. Parabole cubique. Parabole semi-cubique. 3. Les hyperboles. 4. Spirales paraboliques et hyperboliques.

Chap. X. Les courbes cycloïdales. 1. Cycloïde ordinaire. 2. Cycloïdes raccourcies et allongées. 3. Épicycloïdes et hypocycloïde. 4. Épicycloïde de Huygens ou néphroïde. 5. Hypocycloïde à trois rebroussements. 6. Développantes du cercle. 7. Épicycloïdes et hypocycloïdes allongées et raccourcies. 8. Rosaces. 9. Pseudo-cycloïdes. 40. Roulette de Delaunay.

Chap. XI. Sur diverses classes de courbes. 1. Perles de Sluse. 2. Courbe de Jean Bernoulli. 3. Les épis. 4. Les nœuds. Les courbes de Descartes. 5. Courbes de Lamé. 6. Lignes de poursuite. 7. Spirales sinusoïdes. 8. Cassiniennes àn pòles. 9. Courbes de Ribaucour. 10. Courbes de Serret. 11. Cycliques planes. Courbes de direction.

Chap. XII. Sur les cycliques sphériques. 1. Courbe de Viviani. 2. Courbes cyclo-cylindriques. Cassiniennes sphériques. 3. Hypo

pèdes d'Eudoxe. 4. Ellipse sphérique. Courbes de W. Roberts. 5. Cycliques sphériques.

Chap. XIII. Sur quelques courbes sphériques. 1. Spirale de Poppus. 2. Clélies. 3. Epicycloïdes sphériques. 4. Loxodromie. 5. Chaînette sphérique. 6. Courbe du pendule sphérique.

Chap. XIV. Sur les hélices. Sur quelques courbes de l'hélicoïde gauche. 1. Les hélices cylindriques. Les lignes de courbure, d'ombre, de perspective, etc., de l'hélicoïde gauche: 2. Sur les hélices coniques. Sur quelques spirales coniques. 3. Hélices cylindro-coniques. 4. Hélices sphériques. Hélices biconiques.

Chap. XV. Sur quelques courbes algébriques gauches. 1. Horoptère. 2. Ellipse logarithmique. Hyperbole logarithmique. Parabole logarithmique. 3. Intersection de deux cônes de révolution à axes parallèles. 4. Cubiques gauches. Quartiques gauches. 5. Courbes d'Architas. 6. Courbes tétraédrales symétriques.

Chap. XVI. Sur diverses classes de courbes gauches. 1. Courbes à courbure constante. 2. Courbes à torsion constante. 3. Courbes de Bertrand. 4. Sur les lignes géodésiques et les lignes de courbure de l'ellipsoïde.

Chap. XVII. La polhodie et l'herpolhodie.

A la fin, on trouve une table des courbes, s'étendant à tout l'ouvrage, puis une table des auteurs mentionnés dans le second volume. Le premier volume possède déjà une table des noms propres qui y sont cités.

H. BOSMANS, S. J.

II

ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES PROBABILITÉS, par ÉMILE Borel. Un vol. in-8° de vII-191 pages. Paris, Hermann, 1909.

L'extrait suivant de la Préface indiquera le point de vue et le but de l'auteur.

«La Théorie des probabilités, qu'on appelle aussi Calcul des probabilités, est utilisée de plus en plus dans de nombreuses questions de physique, de biologie, de sciences économiques. Ceux qui s'intéressent à ces applications n'ont pas toujours les loisirs d'étudier à fond les théories mathématiques qui se rattachent aux probabilités, ces théories n'ont d'ailleurs pour eux

qu'un médiocre intérêt ; ce qui leur importe surtout, c'est, avec la connaissance des résultats essentiels, celle des méthodes générales par lesquelles ces résultats sont obtenus; il est évidemment nécessaire d'avoir réfléchi sur ces méthodes pour pouvoir appliquer avec sûreté les résultats bruts du calcul à des questions concrètes.

» C'est à ce point de vue que j'ai écrit ces Éléments; je n'ai pas craint d'insister longuement sur les problèmes les plus simples, dans lesquels le mécanisme du calcul ne dissimule pas la méthode suivie. Si je n'ai point omis certains développements mathématiques qui peuvent intéresser quelques lecteurs, ces développements occupent peu de place et ne sont jamais indispensables à la compréhension de l'ouvrage; celui-ci peut être lu d'un bout à l'autre par un lecteur connaissant simplement la définition de l'intégrale définie et les notions d'algèbre et de géométrie que cette définition suppose.

» Mais si j'ai tenu à rester élémentaire, je me suis efforcé d'éliminer les développements de science amusante: les problèmes empruntés aux jeux de hasard ont été choisis uniquement pour illustrer une théorie générale. Il m'a été ainsi possible, en éliminant tout le superflu, de donner les principes essentiels de la théorie dans un ouvrage relativement peu étendu. »

Le titre d'Éléments que l'auteur a donné à son ouvrage appelle une remarque: il peut faire illusion. Le profane qui l'ouvre comptera arriver au bout sans encombres, et l'initié ne l'ouvrira même pas, pensant n'y rien avoir à apprendre. L'un et l'autre seraient dans l'erreur. Un lecteur au courant seulement des principes des mathématiques supérieures rencontrera des pages qui l'arrêteront.

Dans les premiers chapitres l'exposé est clair, méthodique, presque minutieux; plus loin, vers la fin de l'ouvrage surtout, se présentent des passages moins limpides. Trop plein d'un sujet qu'il a traité avec ampleur dans des mémoires et des leçons antérieures, l'auteur est tenté d'oublier son lecteur novice; il passe des intermédiaires souvent délicats, ne prend plus la peine d'avertir qu'il substitue une formule approchée à une formule rigoureuse; sa pensée et son style se précipitent comme par bonds vers la solution des problèmes qu'il n'énonce plus avec la même netteté ; les expressions « il est évident », « il est clair », dont, hélas! on apprend si vite à se défier quand on a lu quelque peu, reviennent fréquemment sous sa plume et remplacent le patient raisonnement. Hàtons-nous d'ajouter pourtant que ces