rare. J'en connais un exemplaire à l'Observatoire d'Uccle, mais on la chercherait en vain à la Bibliothèque Royale de Belgique, par exemple. De nos jours peu de physiciens ont lu la Dioptrique, aussi nous sauront-ils probablement gré d'en traduire ici la table des matières. Le premier volume de la réédition actuelle contient toute la première partie et les deux premières sections. de la seconde; le reste de l'ouvrage forme le second volume.

PREMIÈRE PARTIE DE LA DIOPTRIQUE contenant les principes qui servent à la construction des télescopes et des microscopes. Ch. 1. Formation de l'image à travers une lentille unique. Ch. 2. Formation de l'image à travers plusieurs lentilles. Ch. 3. Des lentilles composées ou multiples. - Ch. 4. De la vision confuse. Grandeur apparente. Clarté. Ch. 5. Du champ visuel et du meilleur point de vue pour l'œil. Ch. 6. De la confusion provenant de la nature diverse des rayons lumineux.-Ch. 7. Généralités sur la construction des instruments de la dioptrique.

DEUXIÈME PARTIE DE LA DIOPTRIQUE contenant la construction des télescopes dioptriques et un appendice sur la construction des télescopes catoptrico-dioptriques.

Section 1. Des télescopes du premier genre, à oculaire concave et redressant les objets. Ch. 1. Généralités sur les télescopes. Chap. 2. Des objectifs composés et parfaits. Ch. 3. Division des télescopes en trois genres principaux. Ch. 4. Des télescopes du premier genre, sans image réelle et redressant les objets. Ch. 5. D'un perfectionnement ultérieur des télescopes du premier genre, par l'addition d'une ou de plusieurs lentilles.

Section 2. Des télescopes du second genre à oculaire convexe et renversant les objets. Ch. 1. Des télescopes du second genre les plus simples, formés avec une seule espèce de verre.

Chap. 2. D'un perfectionnement ultérieur que l'on peut apporter à ces télescopes par l'emploi d'une espèce unique de verre. Ch. 3. D'un perfectionnement ultérieur des télescopes du second genre par l'emploi de diverses espèces de verre.

Section 3. Des télescopes du troisième genre, redressant les objets. -Ch. 1. Des télescopes du troisième genre les plus simples, formés avec une seule espèce de verre. Ch. 2. Des télescopes terrestres ordinaires et de leur perfection. Ch. 3. D'une autre espèce principale de télescopes du second genre et de leur perfection.

Appendice. De la construction des télescopes catoptrico

dioptriques. Ch. 1. Des images formées par les miroirs sphériques et de leur diffusion. Ch. 2. Mesure de la confusion causée par l'emploi simultané de miroirs et de lentilles dans la construction des instruments dioptriques. - Ch. 3. Des télescopes catadioptriques munis d'un petit miroir concave. Ch. 4. Des télescopes catadioptriques munis d'un petit miroir

convexe.

TROISIÈME PARTIE DE LA DIOPTRIQUE contenant la construction des microscopes simples et composés.

Introduction. Des microscopes en général. On y donne les préceptes généraux de la construction des microscopes.

Ch. 1. Des micro

Section 1. Des microscopes simples. scopes simples formés d'une lentille unique. Ch. 2. Des microscopes simples formés de deux ou de plusieurs lentilles convexes très voisines. Ch. 3. Des microscopes simples exempts de toute confusion.

Section 2. Des microscopes composés dans lesquels ne se forme aucune image réelle.

Section 3. Des microscopes composés dans lesquels se forme une image réelle unique, type auquel se ramènent tous les microscopes actuellement en usage. Ch. 1. Les microscopes les plus simples de ce genre. Ch. 2. D'un perfectionnement ultérieur de ces microscopes, quand on y augmente la clarté par la substitution de plusieurs lentilles à l'objectif.-Ch. 3. D'un plus haut degré de perfectionnement de ces microscopes, quand on y supprime toute confusion par l'emploi de lentilles d'espèces de verre différentes. Ch. 4. De la manière d'obtenir une plus grande extension du champ de ce genre de microscopes.

Section 4. Des microscopes composés dans lesquels se forment deux images réelles. - Ch. 1. Des microscopes les plus simples de ce genre. Ch. 2. Des microscopes de ce genre plus compliqués. Ch. 3. D'un plus haut degré de perfection des microscopes de ce genre, quand on y supprime toute confusion.

Quelques notes rectificatives ou explicatives, ajoutées par M. Émile Cherbuliez au texte original d'Euler, s'en distinguent par les initiales de l'éditeur É. Ch. Terminons ce compte rendu, en félicitant la maison Teubner du soin apporté à l'impression de ces magnifiques volumes.

H. BOSMANS, S. J.

IV

LES CARRÉS D'EULER (PROBLÈME DES OFFICIERS), par A. MARGOSSIAN, Ingénieur, Ancien élève de l'École des Ponts et Chaussées. Lithographié, in-8° de 16 pages. Nancy, Secrétariat de

la revue Sphinx-Edipe, 1912.

Nous avons loué naguère, ici même (1), les recherches de M. Margossian sur les Carrés magiques. L'ancien professeur d'Analyse à l'École du Génie civil de Constantinople a étendu ses études avec non moins de bonheur aux Carrés d'Euler.

On connaît le problème des trente-six officiers, proposé par Euler dans les Mémoires de la Société de Flessingue en 1782 : Disposer 36 officiers de 6 grades différents et de 6 régiments différents dans les cases d'un échiquier de 36 cases, de façon que dans aucune colonne ni dans aucune ligne du damier il n'y ait deux officiers du même grade ou du même régiment. Généralisé, ce problème devient le problème des Carrés d'Euler, et s'énonce : Étant donnés n' officiers, de n grades différents et de n régiments différents, les disposer dans les cases d'un échiquier à n2 cases, de façon qu'en aucune ligne parallèle aux côtés de l'échiquier ne figurent deux officiers de même grade ou de même régiment.

Le nombre n s'appelle la base, ou le module, du carré.

Dans le cas n = 4, on est en présence du problème des seize cartes, problème plusieurs fois séculaire : on demande de disposer en carré les quatre as, les quatre rois, les quatre reines et les quatre valets d'un jeu de cartes, de façon que chaque figure et chaque couleur se trouvent dans chaque ligne et dans chaque colonne du carré.

L'opuscule de M. Margossian repose sur les analogies entre les Carrés magiques, soit à marche oblique, soit à marche cavalière, et les Carrés d'Euler analogies que l'on rend immédiatement sensibles en supprimant la virgule dans la notation habituelle à double indice des Carrés d'Euler (2). L'auteur indique le moyen

(1) Voy. dans la REV. DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES, avril 1910, notre analyse de l'opuscule De l'Ordonnance des nombres dans les Carrés magiques impairs, par M. Margossian, Paris, Hermann, 1908.

(2) En adoptant la notation à double indice et en désignant par le premier indice le grade de l'officier et par le second indice son régiment, on peut

de construire les Carrés d'Euler, dans tous les cas où ils sont possibles.

On sait qu'il y a des Carrés d'Euler pour toute valeur du module n, sin est impair ou est le double d'un nombre pair. Dans le cas n 6, le Carré d'Euler ne peut exister. C'était

représenter par les tableaux suivants quelques-unes des nombreuses solutions du problème des officiers dans les cas de 9, de 16, de 25 officiers:

Le second de ces tableaux exprime aussi une solution du problème des seize cartes le premier indice de chaque élément désigne la figure de la carte (as, roi, reine, valet), le second indice désigne la couleur.

Les trois carrés précédents sont des Carrès d'Euler simples. Un Carré d'Euler est dit diagonal, si une même diagonale ne contient point deux mêmes premiers indices, ni deux mêmes seconds indices, en d'autres termes deux officiers d'un même grade ou d'un même régiment; en voici des exemples:

1,1 2,2 3,3 4,4 4,3 3,4 2,1 1,2 2,4 1,3 4,2 3,1 3,2 4,1 1,4 2,3

1,1 2,2 3,3 4,4
3,4 4,3 1,2 2,1
4,2 3,1 2,4 1,3
2,3 1,4 4,1 3,2

1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 4,3 5,4 1,5 2,1 3,2 2,5 3,1 4,2 5,3 1,4 5,2 1,3 2,4 3,5 4,1 3,4 4,5 5,1 1,2 2,3

Le dernier tableau est même un Carré d'Euler pandiagonal, c'est-à-dire qu'aucune diagonale, même brisée, n'offre deux mêmes premiers indices ni deux mêmes seconds indices, en d'autres termes deux officiers d'un même grade ou d'un même régiment. On entend par diagonale brisée, un groupe d'éléments pris suivant certaines lois parallèlement à une même diagonale, par exemple: 3,3, 2,1, 1,4, 5,2, 4,5; ou encore 4,3, 2,2, 5,1, 3,5, 1,4; ou encore 4,3. 3,1, 2.4, 1,2, 5,5.

Si dans un Carré d'Euler, simple ou diagonal ou pandiagonal, on supprime la virgule entre les indices, les tableaux ainsi obtenus, où les nombres produits par la suppression des virgules sont considérés comme des nombres entiers ordinaires, constitueront évidemment des carrés semi-magiques ou des carrés magiques ou des carrés diaboliques. On sait qu'on appelle Carré magique un tableau de n2 éléments où la somme des éléments d'une même ligne est constante : le carré est dit semi-magique, si la propriété ne s'étend pas aux diagonales, et diabolique, si elle s'étend même aux diagonales brisées.

déjà l'avis d'Euler, mais il ne put réussir à démontrer cette impossibilité du problème des trente-six officiers: M. Gaston Tarry l'a établie récemment, par une démonstration longue, mais de grand mérite (1). Sauf ce cas n=6, on n'est point parvenu jusqu'ici, disait en 1906 l'Encyclopédie des Sciences mathématiques de M. Jules Molck, à établir que, si le module est le double d'un nombre impair, le Carré d'Euler n'existe pas (2). M. Margossian termine son étude précisément par l'exposé d'une démonstration très simple de cette impossibilité des Carrés d'Euler dans le cas où le module n est de la forme n étant impair.

2p, p

M. Margossian rencontre aussi des Carrés d'Euler dits pandiagonaux, mais ses recherches d'une méthode générale de construction n'ont point abouti jusqu'à présent en ce qui les

concerne.

On doit remercier M. A. Gérardin, le savant disciple de M. J. Molck, d'avoir publié en un numéro spécial de sa précieuse et intéressante revue SPHINX-EDIPE ces recherches de M. Margossian sur les Carrés d'Euler. Nous nous réjouissons de signaler à ce propos à quelques-uns de nos lecteurs cette revue mathématique, peut-être unique en son genre, où les questions théoriques ou pratiques d'Arithmologie et d'Analyse indéterminée et les curiosités mathématiques occupent la première et la plus large place.

B. L.

V

I. CALCUL DES PROBABILITÉS, par H. POINCARE, membre de l'Institut (Rédaction de A. Quiquet, ancien élève de l'Ecole normale supérieure), 2 éd., revue et augmentée par l'auteur. 1 vol. in-8' de 333 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1912.

(1) Des Permutations carrées de base 6, par Gaston Tarry, extrait des MÉM. DE LA SOC. ROY. DES SCIENCES DE LIÉGE, 1900, et reproduit par la revue MATHESIS, t. XX, 1900, Supplément, pp. 23-30.

(2) Encyclopédie des Sciences mathématiques, t. I, vol. III, p. 73. A la page suivante, p. 74, une distraction du savant collaborateur de l'article sur les Figures magiques, M. Maillet, lui a fait écrire le produit ik; il faut lire le nombre produit par la suppression de la virgule dans l'élément i,k. Ce lapsus a été signalé par M. Margossian.