L'infini mathématique

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LES ENSEMBLES

Le mot «< infini » apparaît à diverses reprises dans le langage mathématique : deux droites parallèles se coupent en un point à l'infini, le quotient d'un nombre par zéro est égal à l'infini, une circonférence de cercle peut être considérée comme un polygone dont le nombre de côtés est infiniment grand.

Nous ne nous occuperons pas de ces divers aspects de l'infini, ni du point de savoir si l'on ne se trouve pas là simplement devant des conventions de langage, utiles pour abréger le discours et synthétiser des théories.

Nous nous proposons de parler d'une forme particulière de l'infini mathématique celle que l'on rencontre lorsqu'on considère tous les nombres entiers, toutes les fractions, tous les points situés sur une portion de droite ou dans un carré, en un mot, chaque fois que l'on se trouve en présence d'une collection d'objets dont le nombre est illimité.

Les mathématiciens donnent le nom d'ensemble à une collection d'objets. Si le nombre d'éléments qui constituent l'ensemble est limité, l'ensemble est dit fini ; si ce nombre est illimité, l'ensemble est dit infini ou transfini. L'ensemble des nombres entiers est infini, l'ensemble des sommets d'un hexagone est fini.

(1) Conférence faite au Cercle des Alumni de la Fondation Universitaire, section de Louvain, le 19 février 1925.

La théorie des ensembles constitue une branche importante des mathématiques; les résultats qu'elle obtient trouvent une application dans d'autres domaines des sciences mathématiques.

Quoique cette théorie soit prodigieusement abstraite, il est cependant possible d'en esquisser quelques grandes lignes par des procédés très élémentaires.

Le nom de Georges Cantor (1845-1918), en son vivant professeur à l'Université de Halle, est inséparable de cette belle et grandiose théorie. Cantor a résolu l'audacieux problème de comparer, au point de vue de leurs grandeurs, les ensembles infinis.

Pour comparer les grandeurs de deux ensembles finis, par exemple l'ensemble des pommes contenues dans un sac et celui des oranges renfermées dans une caisse, il n'est nullement nécessaire de savoir compter les pommes et les oranges. Il suffit d'enlever à la fois une pomme et une orange et de recommencer cette opération jusqu'à l'épuisement de l'un des ensembles : si les deux ensembles sont épuisés en même temps, ces ensembles sont égaux; si l'un est épuisé avant l'autre, ce dernier est plus grand que le premier.

Au lieu d'enlever les pommes et les oranges, on pourrait aussi marquer chaque couple d'un même signe de façon qu'à chaque pomme corresponde une orange. Suivant que l'établissement de cette correspondance est possible jusqu'au bout ou impossible, les ensembles sont égaux ou inégaux.

Cantor opère de même sur les ensembles infinis. Si l'on peut établir entre les éléments de deux ensembles infinis une correspondance bi univoque (c'est-à-dire telle qu'à chaque élément de l'un correspond un seul élément de l'autre et réciproquement), les deux ensembles sont dits équivalents ou de même puissance. S'il est impossible d'établir une telle correspondance, les ensembles sont dits de puissances différentes; si, dans ce dernier cas, on peut

établir une correspondance biunivoque entre les éléments de l'un des ensembles et ceux d'un ensemble partiel de l'autre ensemble (c'est-à-dire une partie des éléments de cet ensemble), ce dernier ensemble est dit avoir une puissance plus grande que le premier.

LES ENSEMBLES DÉNOMBRABLES

Ensemble des nombres entiers positifs. L'un des ensembles infinis qui se présentent tout d'abord à l'esprit est celui des nombres entiers positifs: 1, 2, 3, 4,... Tout ensemble qui a la même puissance que celui-ci est appelé un ensemble dénombrable. C'est le cas, par exemple, de l'ensemble des nombres pairs, 2, 4, 6, 8,... car si l'on écrit en dessous de chaque nombre pair la moitié de ce nombre, on obtient les deux suites

qui font correspondre à chaque nombre pair un élément de l'ensemble des nombres entiers.

Cet exemple nous apprend qu'un ensemble partiel d'un ensemble infini peut avoir la même puissance que l'ensemble lui-même.

Remarquons qu'un ensemble est dénombrable si l'on peut numéroter ses éléments, car, dans ce cas, à chaque élément correspond le numéro d'ordre de cet élément, c'est-à-dire un élément de l'ensemble 1, 2, 3, 4,...

Ne peut-on pas toujours numéroter les éléments d'un ensemble ?

Une première difficulté s'élève lorsqu'on considère l'ensemble des nombres entiers positifs et négatifs.

Ensemble des nombres entiers positifs et négatifs. Si on laisse les nombres entiers positifs et négatifs dans leur ordre naturel

... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...

il est impossible de les numéroter suivant le rang qu'ils occupent, car aucun n'est le premier. Ecrivons-les comme suit :

et prenons alternativement un élément de la rangée supérieure et un élément de la rangée inférieure:

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...

Si maintenant nous numérotons ces éléments suivant le rang qu'ils occupent, nous obtenons la correspondance suivante :

Par conséquent, l'ensemble des nombres entiers positifs et négatifs est dénombrable.

Remarquons que chacun des ensembles 1, 2, 3,... et −1, −2, 3, ... est dénombrable. L'ensemble des nombres entiers positifs et négatifs est donc formé de la réunion de deux ensembles dénombrables (nous l'appellerons la somme de ces ensembles). Nous voyons donc que la somme de deux ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.

Une

Ensemble des nombres fractionnaires positifs. nouvelle difficulté se présente lorsqu'on considère l'ensemble des nombres fractionnaires positifs. On ne peut songer à numéroter ces nombres par ordre de grandeur, car, entre deux nombres, si rapprochés qu'ils soient, il en existe une infinité d'autres.

Voici l'artifice que l'on a imaginé pour numéroter ces nombres.