Supposons un instant que l'on ait cru pouvoir établir une telle correspondance. Au point a correspondra une certaine courbe sur laquelle j'inscris l'indice a, au point b correspond une courbe d'indice b, et ainsi de suite. Nous obtenons ainsi un ensemble de courbes qui correspond à l'ensemble des points de 0-1. Je vais démontrer que cet ensemble de courbes ne contient pas toutes les courbes et que, par conséquent, l'ensemble de toutes les courbes a une puissance supérieure au continu.

Pour faire cette démonstration, il suffira de montrer qu'il existe au moins une courbe qui n'appartient pas à l'ensemble dont il est question.

A cet effet, marquons le point de la courbe a situé verticalement au-dessus du point a de 0-1; marquons de même sur chaque courbe le point de cette courbe situé verticalement au-dessus du point correspondant. Chaque courbe de l'ensemble aura donc un point marqué. Remarquons, d'autre part, qu'au-dessus de chaque point de 0-1 il y a un seul point marqué.

Traçons maintenant une courbe qui évite tous les points marqués; cela est possible eu égard à la remarque que nous venons de faire. La courbe ainsi tracée n'ayant aucun point marqué n'appartient pas à l'ensemble considéré, ce qui démontre le théorème.

Une nouvelle question se pose: existe-t-il un ensemble ayant une puissance supérieure à celle de l'ensemble des fonctions ?

Nous répondrons à cette question en démontrant que l'on peut construire des ensembles dont les puissances sont de plus en plus grandes et que, par conséquent, la suite des puissances est illimitée.

Nous devons d'abord revenir sur la notion d'ensemble partiel dont il a déjà été question incidemment.

Soit l'ensemble E des nombres 1, 2 et 3. Nous le représentons par la notation E = (1, 2, 3). Un ensemble partiel de E s'obtient en supprimant un ou plusieurs

éléments de E. On peut former six ensembles partiels, dont trois comprennent deux éléments et dont trois ne comprennent qu'un seul élément, notamment (2, 3), (1, 3), (1, 2), (1), (2), (3).

Considérons chacun de ces ensembles partiels comme un objet et formons l'ensemble de ces six objets. Nous obtiendrons un ensemble P dont les éléments sont les. ensembles partiels de E et nous écrirons :

Р

==

{(2, 3), (1, 3), (1, 2), (1), (2), (3)}.

On peut opérer d'une manière analogue sur les ensembles infinis. Si l'on considère, par exemple, l'ensemble E de tous les nombres entiers, on obtient des ensembles partiels en supprimant chaque fois un nombre, puis en supprimant chaque fois deux nombres et ainsi de suite. Ces ensembles partiels sont en quantité infinie. Si l'on considère chacun de ces ensembles partiels comme un objet, on peut former un ensemble P dont les éléments. sont tous les ensembles partiels de E.

Je vais démontrer que l'ensemble P possède une puissance plus grande que l'ensemble E. Si je parviens à démontrer ce théorème, il sera établi que l'on peut construire des ensembles de puissances de plus en plus grandes, car je puis former un nouvel ensemble R au moyen des ensembles partiels de P et ainsi de suite, sans limite.

Supposons que l'on ait cru pouvoir établir une correspondance biunivoque entre les éléments de E et ceux de P; je vais démontrer qu'on s'est fait illusion et qu'il existe au moins un élément de P qui n'a pas de correspondant en E.

Les éléments de E et de P sont donc supposés, pour un instant, se correspondre biunivoquement. A un élément m de E correspond un élément p de P, c'est-à-dire un ensemble partiel de E. Or, pour un élément m donné, deux cas seulement peuvent se présenter ou bien m est contenu dans l'ensemble partiel p qui lui correspond et nous dirons, dans ce cas, que m est un élément interne,

ou bien m n'est pas contenu dans l'ensemble partiel p qui lui correspond et, dans ce cas, nous l'appellerons un élément externe. Si l'on réunit tous les éléments externes, ces éléments réunis forment un ensemble partiel de E, donc un élément de P, que nous appellerons p' (1). Soit m' l'élément de E qui correspond à p'. Je vais démontrer que cet élément m' ne peut exister et que, par conséquent, l'élément p' de P n'a pas de correspondant dans E.

Pour démontrer ceci, remarquons que m', s'il existe, est ou bien un élément interne ou bien un élément externe. Si m' est un élément interne, cela veut dire que m' est contenu dans l'ensemble partiel p' qui lui correspond, mais ceci est contradictoire, car p' est formé, par définition, de l'ensemble des éléments externes et ne contient donc aucun élément interne. L'élément m' devrait donc être externe, c'est-à-dire non contenu dans l'ensemble partiel p' qui lui correspond. Mais ceci aussi est contradictoire, car p' étant formé de la réunion de tous les éléments externes contient nécessairement l'élément m' si celui-ci est externe.

Il résulte de là que la puissance de l'ensemble P est supérieure à celle de l'ensemble E.

Nous ne pouvons nous avancer plus loin dans la théorie des ensembles sans sortir du cadre élémentaire que nous nous sommes imposé. Nous n'avons fait ici qu'esquisser les premiers principes de l'une des plus hardies conceptions de l'esprit. Cantor et ses continuateurs ont scruté les propriétés des ensembles infinis avec une habileté qui déconcerte l'imagination; ils ont ouvert aux mathématiques un monde nouveau le monde du transfini.

G. VERRIEST,

professeur à l'Université de Louvain.

(1) Cette démonstration s'écroulerait si l'ensemble E ne contenait aucun élément externe, car alors p' n'existerait pas. Pour parer à cette objection, il suffit d'ajouter à l'ensemble P un ensemble partiel a d'un autre ensemble, entièrement étranger à E, qui ne contient aucun élément de E. L'élément de E qui correspondrait à a serait évidemment un élément externe. Il y aurait donc au moins un élément externe et p existerait.

L'âge de la Terre et des Mondes

I.

POSITION DE LA QUESTION

AU REGARD DES HYPOTHÈSES COSMOGONIQUES

L'espace et le temps, ces entités qui emprisonnent l'Univers sensible, et qu'Einstein a cru devoir associer intimement dans une énigmatique synthèse, se laissent aisément atteindre et mesurer dans le domaine restreint de l'activité humaine. Mais dès qu'on s'évade de notre misérable Terre et qu'on arrive pour les distances et les durées à des «< chiffres astronomiques », il faut avoir recours pour les mesurer, à des méthodes nouvelles qui n'ont pris naissance qu'au début de notre siècle.

L'Astronomie abandonnant la vieille méthode trigonométrique de mesure des distances, inaugure avec Shapley et son école des méthodes de mesure des distances basées sur la photométrie visuelle ou photographique, et cherche à préciser ainsi les distances des astres les plus éloignés (amas globulaires) de notre Univers stellaire et même des autres Univers (nébuleuses spirales). L'unité de mesure est pour les astronomes le parsec (parallaxe d'une seconde); mais l'unité de distance qui fait image est l'année de lumière, distance parcourue en une année par un rayon de lumière dont la vitesse, d'après les récentes mesures de Michelson, est de 299.820 km. par seconde. Dans cette unité le temps est heureusement associé à la mesure d'une distance, puisque la vitesse de la lumière est une donnée capitale de la Physique moderne aussi bien dans les théories relativistes de la

gravitation que pour traduire en unités de masse une énergie radiante.

D'après Shapley, les dimensions (d'ailleurs contestées par Curtis) de la Voie lactée dans la direction du Sagittaire atteindraient 100.000 années de lumière un amas globulaire, celui du Dauphin, serait à 220.000 a. 1. ; ľa distance de la nébuleuse d'Andromède, l'Univers stellaire le plus proche de nous, serait à 950.000 a. 1. et ces distances nous serviront à évaluer le temps que peut avoir mis le protosoleil, ancêtre de notre Soleil, à les parcourir. Ces données rappelées, la curiosité humaine, aiguisée par les incomparables découvertes de la Science moderne, pose les questions suivantes :

Quel est l'âge de la Terre, quel est celui du Soleil ?

Ces questions ont-elles un sens ? Non, pour beaucoup de physiciens et d'astronomes d'abord si l'on adopte l'hypothèse nébulaire de Laplace et de son école, même si l'on préfère celles de Chamberlin et Moulton (hypothèse planétésimale) ou celle de Jeans, on ne voit pas bien comment dater la naissance d'une planète qui résulte d'une longue condensation nébuleuse ou de l'agglomération de météorites éparses sur des orbites multiples qui se croisent. Dans les premières de ces hypothèses on se donne le noyau solaire tout formé, et dans les dernières une étoile résulte de la longue condensation d'une branche de spirale qui se rompt: autant dire qu'on ne peut fixer de date pour le commencement d'un Soleil.

La même conclusion peut se tirer de théories dérivant des notions nouvelles sur la désintégration de la matière, conjuguées avec celles de la diminution de matière des Soleils par perte de la masse correspondant à leur énergie radiée. « Toute théorie scientifique tendant à donner une explication du Cosmos, dit Vogt (1), devra partir de ce principe qu'il apparaît en moyenne autant d'étoiles qu'il

(1) SCIENTIA, I, VII, 1925.