calculer le rapport des grandeurs de ces deux collections infinies ?

Dans tout intervalle, si petit qu'il soit, il y a une infinité de points de chacun de ces ensembles; ces points sont donc intimement mélangés. Supposons, en nous laissant aller un instant à de vagues rêveries, que l'on puisse trier ces points et les ranger sur la droite de telle façon que tous les points algébriques viennent d'abord, sans laisser entre eux de lacunes, et que les points transcendants se suivent ensuite en se touchant. Quelle serait la longueur occupée par chacun de ces ensembles ?

Une pareille question ne mérite pas de réponse, mais inspirons-nous de cette rêverie pour poser une question à laquelle les mathématiciens ne dédaigneront peut-être pas de répondre.

Délimitons autour de chaque point algébrique un petit segment dont ce point est le milieu; ces segments empiètent évidemment en partie les uns sur les autres, mais cela ne fera que donner plus de force à nos démonstrations. Quelle serait la longueur totale de tous ces segments supposés placés bout à bout?

La longueur de l'ensemble de ces segments qui emprisonnent tous les points algébriques dépend évidemment de la longueur que nous donnons à chaque segment.Toutefois, comme il existe une infinité dénombrable de points algébriques, il y a une infinité dénombrable de segments; il semble donc que la somme de tous ces segments, quelque petits qu'ils soient choisis, doive être infinie.

Cette conclusion serait erronée. En effet, supposons les points algébriques numérotés (ce qui est possible puisqu'ils sont dénombrables) et enfermons le premier point dans un segment de longueur égale à 1/10 de la longueur 0-1, enfermons le second point dans un segment égal à 1/100, le troisième dans un segment égal à 1/1000 et ainsi de suite. La somme de tous ces segments est égale

IV. SÉRIE. T. IX.

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séquent, la longueur totale de tous les segments qui contiennent tous les points algébriques (et encore d'autres points) n'est égale qu'à 1/9 de la longueur de 0-1, et si nous avions tenu compte du fait que ces segments empiètent les uns sur les autres, pour ne compter qu'une seule fois les portions de 0-1 recouvertes plusieurs fois, nous aurions trouvé une longueur totale moindre.

Rien ne nous oblige à prendre le premier segment égal à 1/10; nous aurions pu, tout aussi bien, le prendre égal à 1/100 et faire les segments successifs de cent en cent fois plus petits. La somme de tous ces segments serait alors égale à

1

Si nous avions donné au premier segment une longueur égale à 1/1000, en prenant ensuite chaque segment mille fois plus petit que le précédent, nous serions arrivés à une longueur totale égale à 1/999.

Concluons: nous pouvons enfermer la totalité des points algébriques dans un ensemble de segments dont la longueur totale est aussi voisine que nous voulons de zéro. En d'autres termes, étant donnée une longueur aussi petite que l'on veut, par exemple un millionième de 0-1,

(1) On démontre en algèbre élémentaire que la somme des termes de la progression géométrique décroissante a+aq+aq2+... est égale à a /(1-q).

il est possible d'enfermer tous les points algébriques de 0-1 dans des segments tels que, placés bout à bout, ils n'occupent pas la longueur du millionième qu'on s'est donnée.

On exprime cette propriété en disant que l'ensemble des points algébriques a pour mesure zéro.

Mais on peut se demander si, en opérant d'une manière analogue sur les points transcendants, on n'arriverait pas également à les enfermer dans des segments de longueur totale aussi petite que l'on veut, car un point n'a pas de dimensions.

Il est facile de voir que cela est impossible et que, quelle que soit la manière dont on enferme ces points dans des segments, la somme de ces segments ne peut être inférieure à la longueur entière du segment 0-1.

Supposons, en effet, que nous puissions enfermer les points transcendants dans un ensemble de segments dont la longueur totale serait inférieure à l'unité et soit 1 cette longueur. Nous pouvons, d'autre part, enfermer tous les points algébriques dans des segments de longueur totale aussi petite que l'on veut, donc inférieure à e. La somme des longueurs des segments qui englobent tous les points transcendants et tous les points algébriques serait donc inférieure à (1) + € ou 1 : tous ces segments ne couvriraient donc pas entièrement la longueur 0-1 ; il y aurait donc sur 0-1 des régions qui ne seraient couvertes ni par l'une ni par l'autre catégorie de segments; cela conduirait à conclure que les points de ces régions ne sont ni algébriques ni non-algébriques (transcendants), ce qui est une contradiction.

Nous exprimerons cette propriété des points transcendants du segment 0-1 en disant que leur ensemble a pour mesure l'unité.

Ces considérations montrent que l'infinité des points algébriques est en quelque sorte inexistante en comparaison de l'infinité des points transcendants, et dans

notre rêverie les points algébriques nous apparaîtraient comme n'occupant aucune place, tandis que les points transcendants occuperaient à eux seuls le segment 0-1 tout entier.

LES ENSEMBLES AYANT UNE PUISSANCE SUPÉRIEURÈ AU CONTINU

Existe-t-il des ensembles dont la puissance est supérieure à celle de tous les nombres compris entre 0 et 1 ?

L'ensemble de tous les nombres compris entre -∞ et + ∞ a la même puissance que l'ensemble des nombres compris entre 0 et 1.

B

En effet, plaçons en un point O d'une droite d la pointe d'un V dont chaque branche a une longueur égale à 1/2. La longueur AOB des deux branches du V réunies est donc égale à 1 et à chaque nombre compris entre 0 et 1 correspond un point du V. D'autre part, si l'on compte les distances sur la droite d, positivement vers la droite et négativement vers la gauche, à chaque nombre compris entre et + correspond un point de cette droite.

Si par le point S, milieu du segment AB qui relie les sommets du V, et un point quelconque de d on mène une droite, cette droite rencontre le V en un point unique. On peut ainsi faire correspondre à chaque point de d un point du V, et, par conséquent, à chaque nombre compris entre et un nombre compris entre +∞ 0 et 1.

On démontrerait d'une manière analogue que l'ensemble de tous les nombres compris entre 0 et 5, par exemple, a la même puissance que l'ensemble des nombres compris entre 0 et 1.

Considérons un autre ensemble qui nous conduira à une conclusion plus paradoxale : l'ensemble de tous les points situés à l'intérieur d'un carré dont le côté est égal à 1. Il paraît évident que cet ensemble possède une puissance supérieure à celle de l'ensemble des points situés sur un côté du carré.

Cantor a démontré qu'il n'en est rien.

La démonstration est très artificielle. Chaque point du côté correspond à un nombre compris entre 0 et 1; chaque point situé dans le carré est déterminé si l'on connaît ses distances à deux côtés, il correspond donc à un système de deux nombres compris chacun entre 0 et 1.

Ecrivons ces nombres sous forme de fractions décimales, et, pour éviter qu'un même nombre ne soit écrit deux fois, écrivons ces nombres sous forme de fractions décimales illimitées. Je dis qu'à chaque système de deux nombres compris entre 0 et 1 on peut faire correspondre un nombre unique compris dans le même intervalle et réciproquement, et de plus que cette correspondance est telle qu'à deux systèmes différents de deux nombres correspondent deux nombres uniques différents et réciproquement.

Considérons deux fractions décimales illimitées inférieures à l'unité, par exemple 0,58364... et 0,25938... Formons un nombre unique en intercalant les chiffres du second nombre entre ceux du premier nombre, de la manière suivante: 0,5285396348...

Inversement, à tout nombre unique faisons correspondre un système de deux nombres obtenus en prenant les chiffres de rang impair pour former le premier nombre et les chiffres de rang pair pour former le second nombre. Par cet artifice on fait correspondre à chaque système de deux nombres un nombre unique et le théorème de Cantor se trouve démontré (1).

(1) Il y a ici une petite difficulté facile à lever les nombres