Considérons maintenant un carré dont le côté a une longueur supérieure à 1. L'ensemble des points situés dans le carré a la même puissance que l'ensemble des points situés sur le côté et celui-ci a la même puissance que l'ensemble des points situés sur un segment de droite égal à 1.

On démontre d'une manière analogue que l'ensemble des points situés dans un cube a la même puissance que l'ensemble des points situés sur une droite de longueur égale à 1. Il résulte de là que l'ensemble des points situés dans un cube assez grand pour contenir tout l'univers visible a la même puissance que l'ensemble des points situés sur une droite d'un millimètre de longueur.

N'existe-t-il donc pas d'ensemble ayant une puissance supérieure au continu?

La longueur I d'une tige de

Ensemble des fonctions. cuivre dépend de la température ; les mathématiciens expriment cette dépendance en disant que l est une fonction de t. Le volume v d'un gaz dépend de la pression p, donc v est une fonction de p. Les relations y = ax + b, sin x expriment chacune une relation différente entre x et y; elles représentent donc autant de fonctions différentes.

y

=

Il existe autant de fonctions différentes qu'il y a de façons de faire dépendre deux variables l'une de l'autre. Les symboles de l'algèbre permettent d'exprimer un certain nombre de fonctions, mais il y a un grand nombre de fonctions, telle la relation entre l'heure et la pression uniques différents 0,13959291... et 0,23050201... correspondent à un même système de deux nombres, car le premier donne naissance au système 0,1999...; 0,3521... et le second donne naissance au système 0,2000...; 0,3521... Ces deux systèmes sont égaux car 0,1999... est égal à 0,2000... On évite cette difficulté en convenant de traiter, dans la décomposition d'un nombre unique, chaque zéro ou groupe de zéros consécutifs ainsi que le premier chiffre significatif qui suit comme un seul chiffre. Le nombre 0,23050201... sera donc découpé comme suit: 0,23050201... et donnera naissance aux deux nombres 0,20501... et 0,302... On évite de la sorte la formation de fractions décimales limitées.

barométrique durant la journée du 1er février dernier, qui ne peuvent être exprimées par les symboles de l'algèbre. Une telle fonction peut être représentée par un diagramme, c'est le diagramme qu'a tracé automatiquement un baromètre enregistreur le 1er février dernier. Lorsqu'on est en possession de ce diagramme, on peut mesurer la pression qui a existé à n'importe quelle heure du jour considéré.

Toute fonction peut, d'une manière analogue, être représentée par une courbe et, inversement,toute courbe (ou diagramme) peut être considérée comme représentant une relation entre deux variables, c'est-à-dire une fonction.

Une fonction peut présenter des variations brusques de valeur; lorsqu'on trace notamment la courbe de la dilatation d'un centimètre cube de phosphore, on constate que le volume augmente brusquement de 35 millimètres cubes à la température de 44 degrés (passage de l'état solide à l'état liquide). On dit, dans ce cas, que la courbe est discontinue et également que la fonction est discontinue. Au contraire, une courbe ou une fonction qui ne présentent pas de variations brusques sont dites continues.

Considérons l'ensemble de toutes les fonctions continues et discontinues. Nous allons démontrer que la puissance de cet ensemble est supérieure au continu.

Traçons un segment de droite 0-1 égal à l'unité et élevons deux perpendiculaires aux extrémités de ce segment. Considérons, au lieu des fonctions, les courbes qui les représentent, et bornons-nous à fixer notre attention sur les portions de ces courbes comprises entre ces deux perpendiculaires. Je vais démontrer qu'il est impossible de faire correspondre un point de 0-1 à chacune de ces portions de courbe.

C 0

Supposons un instant que l'on ait cru pouvoir établir une telle correspondance. Au point a correspondra une certaine courbe sur laquelle j'inscris l'indice a, au point b correspond une courbe d'indice b, et ainsi de suite. Nous obtenons ainsi un ensemble de courbes qui correspond à l'ensemble des points de 0-1. Je vais démontrer que cet ensemble de courbes ne contient pas toutes les courbes et que, par conséquent, l'ensemble de toutes les courbes a une puissance supérieure au continu.

Pour faire cette démonstration, il suffira de montrer qu'il existe au moins une courbe qui n'appartient pas à l'ensemble dont il est question.

A cet effet, marquons le point de la courbe a situé verticalement au-dessus du point a de 0-1; marquons de même sur chaque courbe le point de cette courbe situé verticalement au-dessus du point correspondant. Chaque courbe de l'ensemble aura donc un point marqué. Remarquons, d'autre part, qu'au-dessus de chaque point de 0-1 il y a un seul point marqué.

Traçons maintenant une courbe qui évite tous les points marqués ; cela est possible eu égard à la remarque que nous venons de faire. La courbe ainsi tracée n'ayant aucun point marqué n'appartient pas à l'ensemble considéré, ce qui démontre le théorème.

Une nouvelle question se pose: existe-t-il un ensemble ayant une puissance supérieure à celle de l'ensemble des fonctions ?

Nous répondrons à cette question en démontrant que l'on peut construire des ensembles dont les puissances sont de plus en plus grandes et que, par conséquent, la suite des puissances est illimitée.

Nous devons d'abord revenir sur la notion d'ensemble partiel dont il a déjà été question incidemment.

Soit l'ensemble E des nombres 1, 2 et 3. Nous le représentons par la notation E = (1, 2, 3). Un ensemble partiel de E s'obtient en supprimant un ou plusieurs

éléments de E. On peut former six ensembles partiels, dont trois comprennent deux éléments et dont trois ne comprennent qu'un seul élément, notamment (2, 3), (1, 3), (1, 2), (1), (2), (3).

Considérons chacun de ces ensembles partiels comme un objet et formons l'ensemble de ces six objets. Nous obtiendrons un ensemble P dont les éléments sont les. ensembles partiels de E et nous écrirons :

P

==

= { (2, 3), (1, 3), (1, 2), (1), (2), (3) {.

On peut opérer d'une manière analogue sur les ensembles infinis. Si l'on considère, par exemple, l'ensemble E de tous les nombres entiers, on obtient des ensembles. partiels en supprimant chaque fois un nombre, puis en supprimant chaque fois deux nombres et ainsi de suite. Ces ensembles partiels sont en quantité infinie. Si l'on considère chacun de ces ensembles partiels comme un objet, on peut former un ensemble P dont les éléments sont tous les ensembles partiels de E.

Je vais démontrer que l'ensemble P possède une puissance plus grande que l'ensemble E. Si je parviens à démontrer ce théorème, il sera établi que l'on peut construire des ensembles de puissances de plus en plus grandes, car je puis former un nouvel ensemble R au moyen des ensembles partiels de P et ainsi de suite, sans limite.

Supposons que l'on ait cru pouvoir établir une correspondance biunivoque entre les éléments de E et ceux de P; je vais démontrer qu'on s'est fait illusion et qu'il existe au moins un élément de P qui n'a pas de correspondant en E.

Les éléments de E et de P sont donc supposés, pour un instant, se correspondre biunivoquement. A un élément m de E correspond un élément p de P, c'est-à-dire un ensemble partiel de E. Or, pour un élément m donné, deux cas seulement peuvent se présenter ou bien m est contenu dans l'ensemble partiel p qui lui correspond et nous dirons, dans ce cas, que m est un élément interne,.

ou bien m n'est pas contenu dans l'ensemble partiel p qui lui correspond et, dans ce cas, nous l'appellerons un élément externe. Si l'on réunit tous les éléments externes, ces éléments réunis forment un ensemble partiel de E, donc un élément de P, que nous appellerons p' (1). Soit m' l'élément de E qui correspond à p'. Je vais démontrer que cet élément m' ne peut exister et que, par conséquent, l'élément p' de P n'a pas de correspondant dans E.

Pour démontrer ceci, remarquons que m', s'il existe, est ou bien un élément interne ou bien un élément externe. Si m' est un élément interne, cela veut dire que m' est contenu dans l'ensemble partiel p' qui lui correspond, mais ceci est contradictoire, car p' est formé, par définition, de l'ensemble des éléments externes et ne contient donc aucun élément interne. L'élément m' devrait donc être externe, c'est-à-dire non contenu dans l'ensemble partiel p' qui lui correspond. Mais ceci aussi est contradictoire, car p' étant formé de la réunion de tous les éléments externes contient nécessairement l'élément m' si celui-ci est externe.

Il résulte de là que la puissance de l'ensemble P est supérieure à celle de l'ensemble E.

Nous ne pouvons nous avancer plus loin dans la théorie des ensembles sans sortir du cadre élémentaire que nous nous sommes imposé. Nous n'avons fait ici qu'esquisser les premiers principes de l'une des plus hardies conceptions de l'esprit. Cantor et ses continuateurs ont scruté les propriétés des ensembles infinis avec une habileté qui déconcerte l'imagination; ils ont ouvert aux mathématiques un monde nouveau : le monde du transfini.

G. VERRIEST,

professeur à l'Université de Louvain.

(1) Cette démonstration s'écroulerait si l'ensemble E ne contenait aucun élément externe, car alors p' n'existerait pas. Pour parer à cette objection, il suffit d'ajouter à l'ensemble P un ensemble partiel a d'un autre ensemble, entièrement étranger à E, qui ne contient aucun élément de E. L'element de E qui correspondrait à a serait évidemment un élément externe. Il y aurait done au moins un élément externe et p existerait.