Sur le Calcul des rentes tontinières, appartenant à M. David Eugène Smith de New-York, termine le volume.

La partie de « l'Introduction » de M. du Pasquier consacrée à l'analyse des Ive et ve groupes des précédents mémoires nous fait entrevoir les difficultés particulières qu'a présentées la mise au jour du présent volume. Cette partie de l'« Introduction », à tout point de vue intéressante, nous semble aussi à bien des égards très neuve. Nous nous tromperions si elle n'apprenait rien à ceux qui n'ont pas suivi de près les derniers progrès de la science actuarielle. Au lecteur qui après en avoir pris connaissance désirerait peut-être en savoir encore plus long, nous signalerions l'Introduction à la Science actuarielle que le savant Professeur de Neufchâtel a fait paraître peu après la guerre (Paris, Gauthier-Villars, 1919).

H. BOSMANS.

LA VIE ET L'OEUVRE DE JULES TANNERY, membre de l'Institut. Lecture faite en la séance annuelle du 14 décembre 1925 de l'Académie des Sciences, par ÉMILE PICARD, secrétaire perpétuel de l'Académie. - Une broch. gr. in-4° de 32 pages, avec un portrait de Jules Tannery hors texte. Paris, Gauthier-Villars, 1925.

Jules Tannery naquit à Mantes, le 24 mars 1848, d'une famille originaire des Andelys du côté de son père et de Mantes du côté de sa mère. Son père, Delphin Tannery, d'abord conducteur des Ponts et Chaussées et plus tard attaché comme ingénieur à la Compagnie des Chemins de Fer de l'Ouest, était d'une nature énergique quelque peu autoritaire, mais foncièrement bon et toujours prêt à obliger. Il s'intéressait à la littérature ainsi qu'aux arts, et ses petits-enfants conservent une traduction en vers de la Chanson de Roland qui occupa un moment les loisirs de sa retraite. Sa mère, au témoignage de ceux qui l'ont connue, était une femme d'une délicatesse infinie, et de sa nature d'élite se dégageait un charme irrésistible, enveloppant tous ceux qui l'approchaient. M. et Mme Delphin Tannery eurent trois enfants. L'aîné était une fille qui mourut peu de temps après son mariage. Les deux autres, Paul et Jules, se suivaient à quatre ans de distance. Paul, notre ancien

confrère de la Société scientifique, était l'aîné. Il se distingua surtout par d'importants travaux sur l'histoire des mathématiques et des sciences, dont le chef-d'œuvre est son édition critique des Diophanti Alexandrini Opera Omnia, l'un des monuments les plus achevés de l'érudition hellénique française. En avril 1905, j'ai consacré ici même une Notice détaillée aux travaux de Paul Tannery, qui me dispense de m'y arrêter.

Dans le milieu des mathématiciens belges, Jules est cependant beaucoup plus connu que son frère; notoriété qu'il doit à l'influence profonde que plusieurs de ses ouvrages ont eue sur les progrès de notre enseignement national. Qu'il me suffise de rappeler son Traité d'Arithmétique, ses Leçons d'Algèbre et d'Analyse, mais surtout ses deux éditions de l'Introduction à la Théorie des Fonctions d'une variable.

Le lecteur qui chercherait dans la Notice de M. Picard, une étude fouillée des travaux mathématiques de Jules Tannery serait cependant trompé dans son attente, car le Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences a fait passer cette partie de son sujet au second plan. Il a préféré nous montrer dans Tannery le philosophe, l'ami et presque l'émule d'Émile Boutroux, ami, il est vrai, un peu sceptique en philosophie comme en toute chose; un peu trop même, nous semble-t-il. C'était bien le jour sous lequel il convenait de nous montrer l'illustre défunt; car c'est l'esprit philosophique dont il fit preuve en discutant les fondements de l'Arithmétique et de l'Analyse qui resteront, croyonsnous, son grand titre de gloire; non seulement il était critique perspicace, logicien impeccable, subtil et profond, mais il savait manier la plume et dire en termes lumineux, ce que d'autres apercevaient plus ou moins dans l'ombre, sans réussir à l'exprimer avec la même élégance et la même clarté.

Jules Tannery fut enlevé à ses amis en quelques heures, le 11 novembre 1910, des suites d'une affection cardiaque dont il connaissait depuis deux ans la gravité. Je voudrais pouvoir dire, qu'élevé chrétiennement, il avait, à l'exemple de son frère Paul, conservé jusqu'à la mort la foi de son enfance et de sa jeunesse. Ce serait peu conforme à la vérité. Cette crise de doute et d'inquiétude religieuse, qu'il ne

parvint pas à surmonter, semble avoir répandu sur les dernières années de sa vie une atmosphère de misanthropie et de tristesse, d'autant plus pénible pour moi qu'elle contraste avec des relations épistolaires très agréables que nous eûmes jadis pendant quelque temps.

H. B.

CURVE SGHEMBE SPECIALI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI, par GINO LORIA, professeur à l'Université de Gênes. Volume secondo. Curve sferiche. Curve definite da una relazione fra flessione e torsione. Curve particolari situate sopra superficie assegnate. Un volume in-8° de IV-255 et (1) pages. Bologna, Zannichelli (1925).

Ce serait inutilement me répéter que de revenir sur les remarques que j'ai faites dans le numéro d'octobre dernier, en rendant compte du premier volume des Curve sghembe de M. Loria. Mes observations d'alors s'appliquent également au second volume. Tous deux sont composés sur le même plan et pour les écrire l'auteur s'est laissé guider par les mêmes principes. Les sujets traités sont sommairement annoncés dans le titre. Mais, au lieu d'en donner une simple traduction, il me paraît préférable de les développer un peu en m'aidant de la table des matières.

Ch. 9. Courbes algébriques spéciales d'ordre quelconque. Ch. 10. Courbes sphériques. A. Notions de Géométrie sphérique (Résumé dont probablement plus d'un lecteur prendra connaisance avec intérêt). B. Courbes sphériques particulières. Ch. II. Courbes définies par une relation entre leurs éléments intrinsèques, - Ch. 12. Courbes spéciales situées sur une surface assignée. A. Hélices. B. Loxodromies. C. Lignes de courbure. D. Lignes asymptotes. E. Lignes géodétiques. F. Courbes de Darboux. G. Courbes d'alignement. H. Courbes T de Tzitzeica. J. Courbes d'une surface développable transformée en une ligne plane assignée, K. Courbes gnomoniques.

Un ouvrage tel que celui-ci, dit en terminant M. Loria, n'a pas pour but d'aboutir à une conclusion d'ordre général; mais un coup d'œil d'ensemble jeté sur les pages qui précèdent met cependant un double fait en lumière.

1o Les courbes gauches ne présentent jusqu'ici aucune de ces singularités étranges qui se voient chez certaines courbes planes; telles que les courbes continues sans tangentes et les courbes qui remplissent tout un espace.

2o Si toutes les courbes gauches étudiées jusqu'ici ne sont pas algébriques, toutes du moins se projettent d'un point quelconque sur un plan quelconque, soit suivant une courbe algébrique, soit suivant une courbe panalgébrique, nom, comme on sait, donné par M. Loria à un certain genre de courbes transcendantes, qui fait l'objet du premier chapitre du tome II de ses Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven (2e édit. Leipzig, Teubner, 1911). L'auteur propose de grouper sous le nom de courbes gauches panalgébriques les courbes gauches qui donnent lieu à ce dernier genre de courbes projetées. Ce serait en effet assez naturel. H. B.

II. LEÇONS SUR LES PROPRIÉTÉS EXTRÉMALES ET LA MEILLEURE APPROXIMATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES D'UNE VARIABLE RÉELLE, par SERGE BERNSTEIN, membre de l'Académie des Sciences de l'Ukraine. Un vol. de VIII-204 pages (25×17). Paris, Gauthier-Villars. 1925.

50 fr.

Les méthodes de recherches des propriétés extrémales de différentes classes de fonctions, inspirées de Cauchy et Weierstrass, semblent ne pas s'appliquer quand on se place dans le domaine d'une variable réelle. S'inspirant des idées de son illustre compatriote Tchebyscheff, M. S. Bernstein s'est proposé de combler cette lacune dans les Leçons qu'il a professées à la Sorbonne en mai 1923. Son ouvrage, qui en est la reproduction, comprend trois chapitres où sont étudiées les propriétés extrémales, sur un segment fini, des polynomes et d'autres fonctions dépendant d'un nombre donné de paramètres (Chap. I); le second chapitre traite des propriétés analogues sur tout l'axe réel, des fonctions dépendant d'un nombre fini ou infini de paramètres, et le troisième résout la question de la meilleure approximation par des polynomes des fonctions analytiques possédant des singularités données.

Dans ces leçons l'auteur ne coordonne pas seulement ses recherches antérieures sur le même sujet, mais il perfectionne et enrichit la théorie des fonctions analytiques de résultats originaux qui sont publiés ici pour la première fois. Parmi les plus remarquables citons : la généralisation d'un théorème de M. de la Vallée Poussin sur la valeur de la meilleure approximation, qui permet ensuite à l'auteur d'en déduire, par un procédé extrêmement fécond, un grand nombre de propriétés extrémales nouvelles des polynomes et des fractions rationnelles sur un segment donné; ses recherches sur les séries de polynomes, de fractions rationnelles et de fonctions entières convergentes sur tout l'axe réel qu'il fait dériver de principes communs ; le problème de la détermination de l'écart minimum I, d'une fonction entière f (x) Σa, x" dont on connaît un des coefficients a de la série de Taylor; la recherche des termes successifs du développement asymptotique de la meilleure approximation.

L'ouvrage se termine par deux notes dont la première nous paraît fondamentale. Les fonctions continues y sont classées d'après l'ordre de leur meilleure approximation par des polynomes de degrés donnés, et les fonctions analytiques sont celles dont l'approximation polynomiale décroît le plus rapidement possible; mais ces dernières peuvent aussi être regardées comme une spécification naturelle des fonctions à variation totale bornée. La seconde note fait connaître une propriété des fonctions entières du genre zéro.

A ceux qui voudraient suivre avec fruit les profondes. méditations de M. S. Bernstein, nous conseillons d'abord la lecture des Leçons de M. de la Vallée Poussin « Sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle » (1). On ne manquera pas alors d'être reconnaissant à leur auteur d'avoir provoqué, à la suite d'une question posée en 1911 sur l'ordre de la meilleure approximation possible d'une fonction représentée par un polynome de degré u (2), la

(1) Collection de monographies sur la théorie des fonctions.- Paris, Gauthier-Villars, 1919.

(2) La question est posée déjà dans une note qui fait suite au mémoire de M. de la Vallée Poussin, Sur la convergence des formules