BIBLIOGRAPHIE

I. NICOMACHUS OF GERASA. Introduction to Arithmetic. Translated into english by MARTIN LUTHER D'OOGE, with studies in Greek Arithmetic by FRANK EGLESTON ROBBINS and LOUIS CHARLES KARPINSKI. Un volume in-4o de XII et 318 pages. New-York, Macmillan, 1926.

D'Euclide à Diophante, l'histoire n'a gardé le souvenir que d'un arithméticien digne de ce nom, Nicomaque de Gérasa, qui vivait vers la fin du premier siècle de notre ère. Nous ne connaissons cependant son œuvre mathématique que par son Introduction à l'Arithmétique. Quand je dis <«< nous connaissons », peut-être quelqu'un m'objectera-t-il que c'est là simple manière de parler, puisqu'une seule édition de l'Introduction à l'Arithmétique nous est pratiquement accessible, celle que Richard Hoche donna en 1886 chez Teubner à Leipzig, sous le titre : Nichomachi Geraseni Pythagorei Introductionis arithmeticae Libri II. Mais Hoche n'a pas cru devoir joindre une version au texte grec, lacune qui réduit nécessairement ses lecteurs à un très petit nombre. L'Introduction à l'Arithmétique est, à première lecture, un ouvrage étrange. Nonobstant le titre, il ne rappelle ni les méthodes d'Euclide, ni celles de Diophante. C'est que l'auteur est un Pythagoricien, qui cherche à rendre attrayante l'étude des nombres par tous les moyens. Il ne s'arrête donc pas exclusivement aux propriétés, strictement mathématiques, des nombres; mais il prend plaisir à scruter aussi leurs significations mystiques. Il entend donc faire non seulement œuvre de géomètre, mais aussi ouvre de philosophe, au sens de Pythagore.

M. Martin Luther D'Ooge s'était proposé de nous donner une étude complète de l'Introduction à l'Arithmétique, mais une mort inopinée, survenue le 12 septembre 1915,

l'interrompit brusquement en plein travail. Seule la version anglaise de l'ouvrage était achevée.

Deux amis du traducteur, MM. Frank Egleston Robbins et Louis Charles Karpinski reprirent le travail si malencontreusement interrompu et l'enrichirent d'une brillante Introduction. Leur magnifique volume forme le tome xvre de la série des publications consacrées aux études d'« Humanités par l'Université de Michigan. Il se divise en trois parties.

La première intitulée « Études sur les Mathématiques grecques », a 12 chapitres. Ch. 1. Les sources des Mathématiques grecques. Ch. 2. Le développement de l'Arithmétique grecque avant Nicomaque. Ch. 3. Ce que renferme l'Arithmétique grecque au point de vue mathématique. Ch. 4. Les notations arithmétiques des Grecs. Ch. 5. La biographie de Nicomaque. Ch. 6. Les ouvrages de Nicomaque. Ch 7 La philosophie de Nicomaque. Ch. 8. La philosophie des Nombres chez Nicomaque. Ch. 9. Traductions et Commentaires de Nicomaque. Chapitre important à cause de la popularité et de la grande diffusion qu'eut jadis l'Introduction à l'Arithmétique. Ch. 10. Les successeurs de Nicomaque. Ch. II. Les manuscrits renfermant le texte de l'Introduction à l'Arithmétique. Ch. 12. La langue et le style de Nicomaque.

Deuxième partie intitulée « Traduction de l'Introduction à l'Arithmétique de Nicomaque de Gérasa le Pythagoricien ». Elle est faite sur le texte grec de l'édition Hoche. Au point de vue mathématique, Nicomaque, sans manquer de valeur, est cependant loin d'atteindre à la hauteur d'Euclide ni de Diophante. C'est le jugement qu'en portaient déjà les maîtres de l'histoire des mathématiques et la nouvelle version de M. D'Ooge ne peut que le confirmer.

Troisième partie : « Suppléments ». Elle est en trois chapitres. Ch. 1. Extension d'un théorème de l'Introduction à l'Arithmétique. Ch. 2. Glossaire des termes employés par Nicomaque. Ch. 3. Bibliographie sommaire. On n'y trouve qu'un choix d'auteurs et non pas la liste complète des ouvrages consultés. Les éditeurs ont cédé à une tendance américaine, très compréhensible et très excusable assurément, mais que nous, citoyens du vieux monde, nous ne

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saurions nous empêcher de regretter un peu, je veux dire, celle de ne citer que des ouvrages et des éditions relativement très modernes.

Le chapitre 10 de la première partie et le chapitre 2 de la troisième méritent une mention spéciale, car ils seront très utiles aux hellénistes. Malheureusement, ce sera seulement à la condition qu'ils aient le texte Hoche sous la main, car M. D'Ooge et ses continuateurs ont reculé devant la difficulté de la publication d'un nouveau texte critique de Nicomaque. Ils s'en excusent et nous leur en donnons acte; mais sans leur faire un grief de cette omission, il faut bien la signaler.

En résumé, le travail de MM. D'Ooge, Robbins et Karpinski fait honneur à l'érudition américaine; nous en félicitons les auteurs.

H. BOSMANS.

II. LES FONCTIONS QUASI ANALYTIQUES, par T. CARLEMAN, Professeur à l'Université de Stockholm. (Collection Borel). Un volume in-8° (25 × 16) de 116 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1926.

30 fr.

Les travaux modernes sur la théorie des fonctions ont pu être rapidement répandus dans le public intéressé, en grande partie grâce à la double institution du cours extraordinaire de mathématiques fondé au Collège de France par le legs Peccot et de la collection de monographies sur la théorie des fonctions publiée sous la direction de M. Emile Borel. La plupart des trente-cinq volumes déjà parus de cette collection, de même que celui que nous signalons aujourd'hui reproduisent, en effet, la matière de leçons d'abord données au Collège de France par leurs auteurs grâce à la fondation Peccot. Cette circonstance

eu les plus heureuses conséquences en provoquant la mise au point de nombre d'importants chapitres de la moderne théorie des fonctions, sans attendre pour cela leur incorporation définitive dans les éléments généraux de l'analyse.

La collection Borel se trouve ainsi constituer dans son ensemble un exposé très complet, et entouré des plus hautes garanties de compétence de toutes les acquisitions réalisées

de nos jours dans une branche absolument fondamentale des sciences mathématiques.

Le nouveau volume paru, dû à M. Carleman, comptera parmi les meilleurs de la collection. Il traite des fonctions quasi-analytiques, c'est-à-dire de celles qui partagent avec les fonctions analytiques la propriété d'être complètement déterminées dans tout leur domaine de définition par la connaissance de leurs valeurs dans une portion de ce domaine si petite qu'elle soit. Ce chapitre spécial de la théorie des fonctions, fondé, il y a une trentaine d'années, par les travaux de M. Emile Borel, s'est accru, depuis lors, d'importantes contributions de M. Hadamard et, plus récemment encore, de M. Denjoy et de M. Carleman lui-même. C'est dire toute la maîtrise avec laquelle l'auteur s'est trouvé à même de traiter le sujet, faisant ressortir les liens qu'offre cette théorie avec d'autres parties importantes de la science mathématique, notamment les séries divergentes, les séries asymptotiques, le problème des moments et les fractions continues de Stieltjes.

Notons que, pour la plupart des propositions qu'il emprunte à d'autres auteurs, M. Carleman donne des démonstrations qui lui sont personnelles, généralement plus directes et plus simples.

FIGURES D'ÉQUILIBRE ET COSMOGONIE, par ALEX VÉRONNET, Astronome à l'Observatoire de Strasbourg (Fasc. XIII du Mémorial des Sciences mathématiques). - Paris, GauthierVillars, 1926. Prix 12 fr.

Le Mémorial des Sciences mathématiques si heureusement institué par M. Villat, sous le patronage de l'Académie des Sciences de Paris et d'un certain nombre d'académies étrangères, dont celle de Bruxelles, constitue un recueil singulièrement vivant et du plus haut intérêt qui groupe en une collection unique toute une série de tableaux synthétiques fixant dans leurs grandes lignes les principales acquisitions dont s'est accru, pendant la période contemporaine, le domaine des sciences mathématiques. Chacun de ces fascicules est confié, cela va sans dire, à un spécialiste, ayant même, pour sa part, contribué au développement du sujet traité, et particulièrement qualifié, en conséquence, pour en effectuer la mise au point sous une forme aussi

condensée que possible. La lecture des cahiers de ce Mémo rial semble donc offrir le meilleur moyen de se tenir au courant de l'état général des sciences mathématiques sans se perdre dans les détails dont la connaissance n'importe qu'à ceux qui se proposent de pousser à leur tour leurs investigations dans tel ou tel domaine strictement délimité, détails qui peuvent être regardés comme superflus quand il ne s'agit que de culture générale, cette culture qu'il convient de ne pas négliger tout en se spécialisant dans la branche d'étude à laquelle on s'est attaché.

Le fascicule consacré par M. Véronnet aux figures d'équilibre des masses animées d'un mouvement de rotation et à la cosmogonie répond parfaitement à ce caractère. Les travaux publiés sur ce sujet forment un ensemble considérable dont, à moins d'une étude approfondie, il n'est pas aisé de dégager les résultats essentiels. C'est là ce que l'auteur a pris la peine de faire pour présenter un tableau synoptique de ces résultats sous une forme à la fois très nette et très attachante. Il débute naturellement par les figures d'équilibre d'un liquide homogène en rotation dont le premier type fut découvert par Maclaurin, sous forme d'ellipsoïdes de révolution, et le second par Jacobi, sous forme d'ellipsoïdes à trois axes inégaux, seules solutions connues jusqu'à Poincaré et Liapounoff qui démontrèrent la possibilité d'autres figures d'équilibre étudiées depuis lors plus en détail par G. H. Darwin et P. Humbert. L'auteur résume, en outre, de façon très précise, les travaux de ces savants et de quelques autres (Lord Kelvin, Airy, Schwarzschild, Benès, Jeans,...) relatifs à la discussion des conditions de stabilité de ces figures.

Il montre quels résultats généraux du cas précédent ont pu être étendus à celui d'une masse hétérogène, en particulier d'après les recherches de M. Hamy et les siennes propres, et fait un exposé très complet, quoique très condensé, de tous les travaux qui, à la suite des premiers essais de Clairaut et de d'Alembert, ont visé à déterminer, pour l'aplatissement de la Terre, des limites de plus en plus resserrées, en exacte concordance avec les données de l'attraction et de la précession.

Passant de là au problème de l'équilibre d'un astre et de