L'étude expérimentale du mouvement brownien n'est peut-être pas épuisée; à ceux de nos lecteurs qui voudraient s'y livrer, ces longues citations pourront être utiles. Tous nous pardonneront d'en avoir encombré ces pages, en considération du sentiment qui nous y a déterminé.

Le P. Carbonnelle fut le fondateur de cette REVUE, et le P. Delsaulx l'un de ses collaborateurs les plus estimés. Il ne déplairait pas sans doute aux nombreux amis qu'ils comptent encore parmi nos lecteurs, de voir leurs noms associés à celui de M. Gouy dont le mérite reste entier - dans l'exposé des recherches sur le mouvement brownien. Ne serait-ce pas une justice à leur rendre?

J. THIRION, S. J.

BIBLIOGRAPHIE

I

LEÇONS SUR LES THÉORIES GÉNÉRALES DE L'ANALYSE, par RENÉ BAIRE, professeur à la Faculté des sciences de Dijon, Tome II. 1 vol. in-8' de 347 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1908.

Nous avons précédemment fait connaître le but et le caractère général de cet ouvrage à propos du Tome I (1), que le Tome II vient de suivre à peu d'intervalle. Il nous suffira donc d'indiquer rapidement les matières traitées dans celui-ci. Elles comprennent les fonctions analytiques, les équations différentielles, les applications géométriques et les fonctions elliptiques.

Mettant à part les applications géométriques, on peut dire que ce second volume est consacré à l'Analyse des variables complexes que l'auteur distingue de l'Analyse des variables réelles en faisant remarquer, avec juste raison, que c'est là, depuis son évolution moderne, le mode de division le plus rationnel de l'Analyse, alors que la distinction entre le calcul différentiel et le calcul intégral apparait aujourd'hui comme quelque peu surannée.

C'est la théorie des fonctions analytiques qui constitue le fondement de l'Analyse des variables complexes. Il était utile de l'amener, pour les débutants, à un degré de parfaite clarté et de grande simplicité sans rien lui enlever de son indispensable rigueur. C'est à quoi M. Baire a admirablement réussi en s'affranchissant résolument de l'obligation de mettre systématiquement en évidence les points de vue différents des fondateurs de cette branche de la science (Cauchy, Riemann, Weierstrass). « Un cours d'analyse, fait-il très justement observer, n'est pas un cours d'histoire de l'analyse. » Cela l'a conduit, au

(1) Livraison de juillet 1908, p. 269.

lieu de chercher à juxtaposer les diverses méthodes inaugurées par les maitres, à s'efforcer, au contraire, d'en opérer une synthèse participant à la fois des avantages des unes et des autres. Et c'est ainsi, notamment, que son mode d'exposition utilise simultanément la notion d'intégrale de variables complexes et celle de série entière. Cette façon de faire est, à nos yeux, des plus heureuses. La mise au point des théories nouvelles en vue de l'enseignement exige une sorte de réinvention qui les dégage de la forme sous laquelle elles se sont d'abord présentées à leurs auteurs, toujours placés à un point de vue plus ou moins particulier, pour les revêtir d'une forme vraiment didactique. Et c'est là ce qu'au point de vue de l'enseignement élémentaire, M. Baire a excellemment réalisé pour les fonctions analytiques. A propos de la théorie des séries de fonctions qui fait corps avec la précédente, l'auteur, envisageant à part le cas le plus simple et de beaucoup le plus courant des séries uniformément convergentes, celui des séries dont les termes sont moindres en module que des nombres positifs formant série convergente », propose de le distinguer par un terme spécial et celui qu'il propose de séries normalement convergentes » nous semble heureusement choisi. Cette notion nouvelle permet, au reste, à l'auteur d'introduire une bien plus grande simplicité dans nombre de démonstrations relatives non seulement à la théorie des séries, mais encore à celle des produits infinis.

Dans les chapitres ayant trait d'une part aux équations différentielles, de l'autre aux applications géométriques, où il ne s'écarte guère des sujets classiques, l'auteur, sans cesser à aucun moment d'être strictement rigoureux, sait être d'une simplicité qui ne laisse rien à désirer. A titre d'observation particulière, notons qu'avant d'aborder les équations linéaires à coefficients constants, il résume en quelques pages les propriétés fondamentales des équations linéaires à coefficients analytiques.

Dans l'étude des surfaces, il fait volontiers appel à l'emploi des coordonnées curvilignes générales en raison des avantages qui en résultent au point de vue de la symétrie.

L'ouvrage se termine par un chapitre réservé aux fonctions elliptiques. Il n'est, en effet, point de meilleure illustration des théories générales de l'analyse et, à cet égard seul, cette étude mériterait de n'être point retranchée des programmes comme seraient tentés de le demander certains esprits chagrins qui lui reprochent de ne point se prêter de façon suffisamment courante à des applications pratiques. Une telle manière de voir nous.

semble procéder d'une fàcheuse méconnaissance des besoins futurs de l'application des mathématiques aux sciences physiques. De plus en plus, évidemment, celle-ci exigera l'introduction de transcendantes nouvelles définies par certaines équations différentielles, et quelle meilleure préparation à une telle étude pourrait-on citer que celle des fonctions elliptiques, bornée, au surplus, comme elle l'est dans l'exposé de M. Baire, à sa partie élémentaire ?

C'est d'ailleurs sous la forme des fonctions σ, Z, p de Weierstrass qu'il les envisage, et il n'est sans doute pas possible d'en fournir un exposé plus simple et plus clair que celui qu'il en donne en une soixantaine de pages, et qui se termine par l'indication sommaire de l'application des propriétés de ces fonctions aux courbes de genre un et à l'équation d'Euler.

M. O.

II

Leçons sur les fonctions DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE, par PIERRE BOUTROUX, maître de conférences à la Faculté des sciences de Montpellier (Ouvrage faisant partie de la collection de monographies sur la théorie des fonctions). 1 vol. in-8° de 190 pages. Paris, GauthierVillars, 1908.

Si cet ouvrage mérite d'être rapproché du précédent pour le talent qui s'y rencontre, il en est, pour le but poursuivi, situé tout à fait à l'opposé. Le livre de M. Baire vise à donner une forme définitive aux principes fondamentaux de la science mathématique, constituant, en quelque sorte, le tronc commun d'où se détachent, comme autant de branches, toutes les théories particulières qui la composent. Celui de M. Boutroux, au contraire, tend à nous faire pénétrer en un domaine à peu près entièrement vierge où il a été un des tout premiers à poser le pied.

Il s'agit de l'étude des intégrales d'une équation différentielle non plus seulement autour d'un point, suivant le point de vue de Cauchy, mais dans tout leur champ de variation. C'est M. Painlevé qui, le premier, s'est engagé dans cette voie. Il résulte de ses importants travaux, développés dans ses leçons

de Stockholm sur la théorie analytique des équations différentielles (1), qu'à part un petit nombre d'équations qui se laissent ramener à l'équation de Riccati, les équations de la forme

dont le scond nombre est une fonction rationnelle de y, algébrique de x, définissent des fonctions multiformes possédant un nombre infini de branches, fonctions sur la nature desquelles nous ne possédons jusqu'ici, pour ainsi dire, aucune indication positive. C'est à l'étude extraordinairement difficile de ces fonctions que M. Boutroux n'a pas craint de s'attaquer en s'inspirant largement des vues nouvelles récemment introduites. dans la théorie des fonctions.

Dans un premier chapitre, l'auteur expose les notions fondamentales qu'il prend pour point de départ. Ayant rappelé le théorème de Cauchy sur l'existence de l'intégrale autour d'un point ordinaire, il passe en revue les diverses espèces de singularités qui font tomber ce théorème en défaut, et qu'il range en cinq catégories. Il rappelle ensuite le théorème de M. Painlevé sur les valeurs que prend une intégrale lorsqu'on fait parcourir à la variable un chemin quelconque, d'où résulte que toute équation, du type envisagé qui n'est pas une équation de Riccati a pour intégrale générale une fonction multiforme; et il démontre l'importante proposition du savant géomètre établissant que seules les équations réductibles à cette équation admettent pour intégrales des fonctions multiformes à nombre fini de branches. Il expose ensuite la voie dans laquelle il lui semble possible de rechercher les éléments d'une théorie générale, encore inexistante, des transcendantes multiformes et développe, à cette occasion, quelques remarques générales sur les points-limites de leurs déterminations, et fait ressortir la possibilité de construire des surfaces de Riemann sur lesquelles une fonction multiforme donnée puisse être regardée comme uniforme. L'un des principaux objets de la théorie recherchée sera précisément d'obtenir, pour chaque type nouveau de fonctions uniformes, une représentation aussi simple que possible et appropriée à leur nature, sur une surface de Riemann. Pour clore ces préliminaires, il présente enfin quelques considérations sur l'usage qui peut être fait, dans la théorie des équa

(1) Voir la livraison d'octobre 1897 de la REVUE, p. 599.