gnage de Francon (1), quelques labeurs à la quadrature du cercle. S'il a consigné par écrit ces recherches, l'opuscule est resté inconnu jusqu'à ce jour peut-être existe-t-il parmi les richesses de la Bibliothèque Vaticane.

A côté de ces modestes travaux de Géométrie, on peut citer encore, d'Adelbold, un opuscule Super illud Boecii : 0 qui perpetuâ mundum racione gubernas (2). Mais ce commentaire de la strophe où Boèce célèbre les harmonies de la nature, n'intéresse les mathématiciens que par un court passage où Adelbold émet, en philosophe plus qu'en arithméticien, des réflexions sur les propriétés des nombres 2, 3, 8, 12, 18, 27; la source de ces remarques arithmétiques est chez les commentateurs anciens du Timée de Platon.

Vers l'an 1025, deux amis de l'évèque Adelbold, tous deux anciens disciples de Wazon de Liége, l'un Ragimbold, grand écolâtre de Cologne (3), l'autre, Radolf, un des subordonnés

inauratura (la dorure, la couche de surface), mais ce mot inauratura se disait plus souvent de la surface de la sphère que de l'aire du cercle; — le volume de la sphère, globositas spheræ ou crassitudo circuli (le volume engendré par le cercle tournant) vaut les 23 du modius (le boisseau), ou cylindre circonscrit, ou les 11/21 du cubus, ou cube circonscrit. Dans sa lettre à Sylvestre II, Adelbold cherche à justifier, par des raisonnements peu rigoureux, ces expressions du volume de la sphère, qu'il hésite à accepter, tant que son illustre correspondant n'aura point approuvé la proposition qu'il lui soumet.

(1) Francon, De Quadraturâ circuli, liv. I. — Le cardinal Maï, en publiant la préface de Francon dans ses Classici Auctores, t. III (1831), rappelle les deux lettres d'Adelbold et de Gerbert données par Pez en 1721, et ajoute : Adelboldi autem de quadraturâ circuli opusculum est apud me ms. Voy. aussi sur les écrits d'Adelbold, l'Hist. litt. de la Fr., t. 7, et Bubnov, p. 593. L'Adelbodi Musica, que Migne, t. 140, donne d'après Martin Gerbert, n'est pas de lui.

(2) Publié par Moll, KERKHISTORISCH ARCHIEV de Kist et Moll, Amsterdam, t. III (1862), pp. 198-213. La strophe commentée est le Mètre 9o, en 28 vers, du Livre III du De Consolatione. Maï a publié, dans ses Class. Auct., t. III (1831), un commentaire du même Mètre par un moine du xes, de l'abbaye de la Nouvelle Corbie. On y trouve, comme à l'endroit correspondant du Commentaire du De Consolatione autrefois attribué à S. Thomas d'Aquin, des remarques arithmétiques analogues à celles que fait Adelbold. Les réflexions d'Adelbold sur les nombres 2, 3, 23, 33, 22 x 3 et 2 × 32 et sur les propor2 8 12 18 tions

3 12

18

27

sont faites à propos des vers :

Tu numeris elementa ligas, ut frigida flammis,
Arida conveniant liquidis.

(3) Coloniensis æcclesiæ generalissimus scholasticus. Il enseignait à Cologne depuis vingt années à l'époque de la correspondance. — L'Hist.

et bientôt un des collègues de Wazon (4), échangent une active correspondance mathématique, dont les pièces constituent un des documents historiques les plus curieux et les plus précieux parvenus jusqu'à nous. Aux huit lettres échangées entre Ragimbold de Cologne et Radolf de Liége, s'ajoutent une lettre mathématique adressée au mème Ragimbold par un moine connu par sa seule initiale, monachus B., et un fragment intitulé De Quadraturâ circuli, qui remonte sinon à l'écolâtre Adelman de Liége, le successeur de Wazon, du moins à l'un de ses disciples. Cet ensemble de pièces, récemment publié par P. Tannery et l'abbé A. Clerval (2), a éclairé d'un jour nouveau divers problèmes de l'histoire des Mathématiques au xr° siècle, et va nous donner la mesure exacte du degré de science ou plutôt du degré d'ignorance, en matière de Géométrie, des hommes d'étude dans l'Occident latin un quart de siècle après Gerbert.

La correspondance entre Radolf et Ragimbold n'est point un simple échange amical de vues et de communes recherches:

littér. de la France, t. VII (1746), p. 15, l'a enregistré parmi les élèves de Fulbert à Chartres, mais à tort; car il n'a fait que passer par Chartres, où il s'est entretenu avec le savant évêque (voy. la Lettre VIIle de la Correspondance).

(1) Radulfus ou Rodulfus, est qualifié de æcclesiæ leodiensis magister specialis, puis, au cours de la correspondance il est promu à la dignité de magister scholarum. Radolf a été disciple de Wazon: Ragimbold, parlant de Wazon à Radolf l'appelle tantôt magister tuus, tantôt magister noster; cependant Radolf semble en relations épistolaires avec Fulbert: il a certainement séjourné quelque temps à Chartres (Lettre VII) et il a peut-être suivi les leçons de l'évêque. Cf. BIOGRAPHIE NATIONALE DE Belgique, t. XIX, 1907, art. Rodolphe de Liége (par H. Bosmans, S. J.).

-

(2) Signalée pour la première fois en 1843, par Chasles (C. R. DE L'ACAD. DES Sc., de Paris, 1843, t. XVI), cette correspondance a été présentée par P. Tannery à l'Acad. des Inscr. et B.-L. en 1897 (voy. le C. R. des séances, 1897, pp. 212-221) et publiée par P. Tannery et l'abbé Clerval dans les NOTICES ET EXTR. DES MNS. DE LA BIBL. NATION., t. 36, II, 1901, pp. 487543), sous le titre Une correspondance d'écolâtres du XIe siècle. La préface (pp. 487-513) et les notes et annexes, dont P. Tannery a enrichi ce document, donnent à cette publication un inappréciable surcroit de valeur. Les huit lettres des deux écolâtres belges occupent dans le mns. latin 6401 de la Bibliothèque nationale un cahier d'une douzaine de feuillets; des fragments de la lettre IVe se retrouvent avec divers autres documents mathématiques dans le mns. latin 7377 C et dans le mns. latin 10444. Le mns. 7377 C contient notamment la lettre du moine B. à Ragimbold et de nombreux chapitres de la Géométrie de Gerbert (les ch. 14 à 40 de l'édition Olleris, mais dans un ordre différent), auxquels sont mêlées la lettre de Gerbert à Adelbold sur le triangle et la lettre d'Adelbold à Gerbert sur la sphère. Le mns. 10444 contient, en autres pièces, le fragment anonyme De Quadraturâ circuli, œuvre peut-être d'Adelman, et la fin du De Quadratura de Francon.

comme le dit fort bien P. Tannery, c'est un véritable tournoi épistolaire. On écrit en face du public, à qui l'on communique ses lettres. On est courtois à l'extrême dans les formules de politesse, et même onctueux: cela convient entre gens d'église ; dans le style, on affecte la bonne latinité, qui sied aux professeurs; on nomme S. Grégoire et S. Augustin, on cite volontiers Platon, Socrate et même Horace. On fait montre de relations scientifiques personnelles avec l'évêque Fulbert de Chartres et l'évêque Adelbold d'Utrecht. On soumet à ce dernier certains litiges géométriques, et aussi à plusieurs autres clercs et hommes doctes, à Odolf, le frère de Radolf, à Razegin, l'ami et peut-être l'ancien condisciple de Ragimbold (1), qui habite au pays de Liége - était-ce un moine de l'abbaye de St-Trond? et principalement à notre cher maitre Wazon ». On est fier de posséder, même en simple prêt, un astrolabe: Rodolphe, qui en possède un et en construit un second sur ce modèle, invite Ragimbold à venir de Cologne à la prochaine fête de Saint-Lambert, ad missam sancti Lanberti, pour voir cet appareil; Radolf lui en donnera l'explication: sinon, le nouvel et savant instrument n'intéressera pas plus Ragimbold

Quam lippum pictae tabulae, fomenta podagrum (2).

C'est incidemment qu'on a parlé de l'astrolabe; la correspondance n'a qu'un but: se proposer l'un à l'autre des difficultés sur la Mathématique pure.

La lutte à armes courtoises se déroule sur le terrain de la Géométrie. Mieux vaudrait pour l'honneur des deux écolâtres se borner à des joutes d'Arithmétique. Ces maitres lotharingiens connaissent suffisamment l'Institutio Arithmetica de Boèce, et surtout savent habilement calculer, abacizare, mais non, semblet-il, avec les jetons chiffrés de Gerbert. Ils se piquent de manier vaillamment les rudes fractions romaines, minutias naviter tractare, selon les règles de Boèce et surtout de Victorius, depuis l'once (1/12 de l'as ou de l'unité) jusqu'au tiers ou mème au quart de l'obole, qui sont la silique (12) et le calcus

1 16 × 144

1

12×144

144). Ragimbold introduit même des fractions nouvelles,

la divisio intellectualis, où les fractions ou minutie ont des

(1) Razegino fideli nostro, tuoque vicino (Lettre VI, Ragimbold à Radolf). (2) Horace, Epitres, I, 2.

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diviseurs et des dividendes quelconques, telles que 246 de silique c'est une des premières apparitions en Occident de nos fractions modernes, moins incommodes que les fractions duodécimales antiques (1).

Or voici que ces Lotharingiens, abacistes non médiocres, s'aventurent dans le domaine de la Géométrie. Dès lors, le sol va se dérober à tout instant sous leurs pas. Ils ne connaissent ni l'œuvre ni même le nom d'Euclide; ils ignorent le théorème de Pythagorela propriété si élémentaire du carré de l'hypoténuse; - les plus simples propositions de la Géométrie, que Boèce, philosophant sur les Catégories d'Aristote, vient à rappeler au hasard de ses citations, les jettent dans l'embarras, et surtout le Geometricum (2) de Boèce a le don à la fois de passionner leur curiosité et de leur susciter énigmes sur énigmes.

Boèce, commentant les Catégories du Maitre, a rappelé que la somme des angles intérieurs du triangle vaut deux angles droits. Que signifient ces mots, angles intérieurs? Le triangle a done aussi des angles extérieurs? Oui, car Ragimbold a lu dans le Geometricum une proposition où Boèce parle des angles extérieurs. On échange, entre Liége et Cologne, lettres sur lettres pour éclaircir ces termes. Ragimbold conjecture qu'angles intérieurs et angles extérieurs sont synonymes d'angles aigus et d'angles obtus (3). L'évêque Fulbert, consulté, hasarde une

(1) Voy. déjà la lettre écrite entre 997 et 999 par Gerbert à Adelbold : In his geometricis figuris... (édition Bubnov, pp. 43-45).

(2) Sous le titre de Geometricum Boethii, Ragimbold désigne l'étrange amas de pièces arithmétiques et géométriques qui forme les cinq livres de la Geometria Boethii, décrite par P. Tannery au ch. V de sa préface d'Une Correspondance d'écolâtres; Bubnov donne l'analyse et la critique de cette Géométrie dans son Gerberti Op. math., pp. 180-188. Nous avons parlé déjà de cette Géométrie en cinq livres, bien distincte de la célèbre Ars geometrica en deux livres : celle-ci, œuvre d'un pseudo Boèce de la fin du XIe siècle au plus tôt et publiée dans les Boetii op. math. de Friedlein (1867), nous a occupé à propos de l'histoire de l'abaque et des apices, ou prototypes de nos chiffres arabes.

(3) Ragimbold, ayant lu que la somme des angles intérieurs d'un triangle vaut deux droits, n'arrive à le démontrer que dans le cas du triangle rectangle isoscèle, ou du demi-carré. Quant au théorème de Boèce sur les angles extérieurs, il croit qu'il s'agit des trois angles ayant pour sommet commun le centre du cercle circonscrit au triangle, supposé équilatéral, et sous-tendus par les côtés du triangle, et il arrive à montrer que chacun de ces angles, valant 4/3 d'angle droit, est égal à la somme de deux angles intérieurs du triangle.

explication moins heureuse encore et compliquée, puis abonde dans le sens de Ragimbold. Wazon et l'évêque Adelbold s'essayent à leur tour à résoudre ce noud gordien. Radolf opine qu'un angle est dit intérieur, s'il est dans le plan mème du triangle, et est dit extérieur, s'il est hors du plan de la figure, c'est-à-dire dans l'espace, comme les angles des faces d'un cube.

D'autres termes encore les embarrassent. Rodolphe a lu, il ne sait plus où (1), la mention de pedes recti, de pedes quadrati, de pedes solidi, et interroge son confrère de Cologne. Ragimbold lui forge une longue explication de ces termes si simples, qui servaient aux agrimenseurs et à Gerbert pour indiquer les mesures des longueurs, des aires et des volumes.

Mais le problème qui davantage les tourmente, est la détermination du rapport entre la diagonale du carré et le côté. Boèce a dit, en son Commentaire des Catégories, que le carré construit sur la diagonale d'un carré donné est le double de celui-ci, et les deux écolâtres ont vérifié sans peine l'affirmation, par le découpage de la figure en triangles isoscèles. Mais quel est le rapport, in numeris, entre les côtés des deux carrés ? Ragimbold a découvert dans le Geometricum du même Boèce ou plutôt, nous le savons aujourd'hui, dans la portion de la Geometria de Gerbert égarée dans la vaste compilation qui portait le nom de Boèce que la diagonale du carré vaut les 17/12 du côté, latus unum et ejus quincuncem (2). Radolf, lui, soutient que le rapport est 7/5, et justifie ce nombre par de longs calculs. Ainsi, aucun des deux écolâtres ne soupçonne l'incommensurabilité de la diagonale et du côté, cette proposition pythagoricienne tout élémentaire, que Platon autrefois plaçait au seuil de la Géométrie, comme il plaçait la Géométrie au seuil de la Philosophie.

Mais, se demandera-t-on, ces deux cleres lotharingiens sont-ils les représentants de toute la science mathématique de leur époque? Hélas, ni le moine B., l'ami et le correspondant -anonyme pour nous de Ragimbold, ni leur contemporain inconnu, auteur du fragment De Quadraturâ circuli que nous

(1) C'est sans doute dans la lettre de Gerbert à Adelbold sur l'aire du triangle nous savons que des copies de cette lettre circulaient alors en Lotharingie, et parfois étaient insérées dans le Geometricum de Boèce.

(2) Geometria Gerberti, édit. Olleris, n. 66. Une résolution erronée d'une abréviation a fait écrire bessem (8/12) au lieu de quincuncem (512) dans le texte reproduit par certaines éditions; l'erreur a été corrigée par Olleris.