leurs projections orthogonales sur des plans horizontaux et verticaux. La projection orthogonale du globe terrestre ou de la sphère céleste sur un plan était connue avant Monge. Les militaires chargés de construire les ouvrages de fortification conformément aux idées de Vauban, n'y seraient pas parvenus s'ils n'avaient pu représenter ces ouvrages par leurs projections orthogonales.

Monge, en publiant le premier traité de géométrie descriptive, a seulement réuni en un corps de doctrine, amélioré et complété les procédés employés par les technologistes.

Il n'en est pas de même de la Nomographie. Les procédés exposés par M. d'Ocagne étaient inconnus avant lui, et les applications qui en ont été faites par d'autres, notamment par nous-même, sont seulement des fruits de l'arbre planté par l'éminent nomogi aphe français.

En résumé, la science créée par ce dernier est encore très jeune, et ainsi s'explique qu'on n'ait pas encore décidé de l'inscrire dans les programmes des écoles sur la liste des cours confiés à des titulaires distincts.

A la campagne que nous avons menée plusieurs fois dans ce sens on a objecté qu'on devait attendre, et qu'une science, jeune comme la Nomographie, devait subir des progrès pour mériter l'autonomie.

Cet argument s'évanouit à la lecture attentive des écrit de M. d'Ocagne.

La première édition de son traité de Nomographie a épuisé tout le sujet.

La deuxième édition dont nous nous occupons ici, renforce encore notre manière de voir. La question y est prise ab ovo, et exposée d'une manière si complète qu'un professeur qui serait chargé d'un cours de Nomographie pourrait se borner à glaner dans le volume, et n'aurait plus rien à ajouter de son cru.

Il nous suffira, pour justifier cette conclusion, de donner ci-après un résumé très succinct de la nouvelle édition. Nous insisterons particulièrement sur les nombreux points par lesquels cette deuxième édition diffère de la première.

Le premier chapitre s'occupe de la Représentation dans le cas de deux variables au moyen des échelles accolées et de la construction de ces échelles. Le deuxième chapitre est

consacré à la Représentation par lignes concourantes dans le cas de trois variables: c'est dans ce chapitre qu'on passe graduellement des abaques cartésiens, qui furent les premiers essais nomographiques, au cas général dans lequel. l'anamorphose des abaques cartésiens a transformé ceux-ci. dans un triple faisceau de lignes cotées, particulièrement avantageux dans le cas fort étendu où l'équation représentée peut être transformée de manière que chacune de ces lignes cotées soit une droite. Le troisième chapitre est intitulé: Représentation par lignes concourantes dans le cas de plus de trois variables. Il est presque entièrement nouveau. Il s'agit d'abord des systèmes ramifiés dans lesquels la superpo ition d'un nombre convenable de faisceaux cotés permet la résolution d'une équation dans laquelle les paramètres indépendants déterminés dans chaque cas particulier sont en nombre quelconque ; cette superposition de faisceaux cotés équivaut analytiquement à la substitution à l'équation proposée d'un nombre suffisant d'équations écrites chacune entre trois variables, moyennant l'introduction de variables auxiliaires, et de manière que l'élimination de ces dernières reconstitue l'équation proposée; les lignes à deux cotes constituent une disposition particulière de ces nomogrammes, et nous en trouvons des. applications dans les nomogrammes de la formule des annuités, de la formule de jauge adoptée par l'Union des Yachts français, de la résolution des triangles rectilignes dont un angle est connu. Il s'agit ensuite des abaques hexagonaux, soit à glissement, soit à échelles binaires, soit à échelles multiples, avec leurs applications au calcul des intérêts composés, à celui de la poussée des terres (d'après la formule de M. Boussinesq), à celui de l'erreur de réfraction dans les nivellements, à celui de la déviation du compas en un point quelconque du globe.

Les chapitres suivants développent la théorie et les applications de la belle méthode par points alignés dont on peut presque dire qu'elle constitue aujourd'hui la Nomographie prop.ement dite et qui est due pratiquement à cette idée de M. d'Ocagne de transporter dans le domaine tangentiel. les représentations cotées du domaine ponctuel. — La représentation par points alignés dans le cas de trois variables fait

l'objet du quatrième chapitre, dans lequel l'édition actuelle consacre un paragraphe nouveau aux nomogrammes à trois échelles rectilignes quelconques, dont les intersections constituent des points critiques sur lesquels l'attention doit être attirée en voici des applications dans la transformation nomographique de la formule des lentilles sphériques et dans le calcul de l'angle dont le sinus vaut le produit des sinus ou des tangentes de deux angles donnés. C'est aussi dans un paragraphe nouveau de ce même chapitre que sont étudiés les nomogrammes à points alignés dont les échelles ont pour support des sections coniques: les ingénieurs y trouveront un nomogramme nouveau pour le calcul du fruit intérieur des murs de soutènement.

Dans le cinquième chapitre, - Représentation par points alignés dans le cas de plus de trois variables, - nous trouvons des nouveautés importantes les nomogrammes coniques à double alignement, comme celui de la vitesse d'écoulement dans les canaux à section trapézoïdale; les nomogrammes à points condensés, comme celui du calcul du temps de montée d'un avion en fonction de l'altitude, de la hauteur de plafond de l'avion et de la vitesse ascensionnelle au départ ; des compléments sur les points à deux cotes, en particulier les nomogrammes à points coplanaires et la combinaison de l'alignement multiple avec les points à deux cotes, appliquée à la recherche des épaisseurs minima des pales d'hélice d'avion vers le moyen; la résolution générale des triangles sphériques; et, surtout, les applications de la Nomographie à la préparation du tir de l'artillerie, telles que M. d'Ocagne les a mises sur pied, pendant la guerre, à la Section de Nomographie de l'Armée.

Les exposés qui font l'objet du sixième et dernier chapitre, Représentation au moyen d'éléments mobiles, ont été profondément remaniés. Parmi les paragraphes que ce remanienement a particulièrement atteints, citons les généralités sur les index mobiles et les systèmes mobiles à deux degrés de liberté. Ce chapitre se termine par la théorie morphologique générale de toutes les représentations graphiques cotées possibles, théorie par laquelle, du point de vue mathématique, M. d'Ocagne se montre le créateur de la Nomographie, y compris tous les développements qu'elle recevra jamais. É. GOEDSEELS.

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VII

GÉOMÉTRIE PERSPECTIVE, par M. EMANAUD, chef des travaux graphiques à l'École Polytechnique, de la BIBLIOTHÈQUE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES de l'ENCYCLOPÉDIE SCIENTIFIQUE. Un vol. in-18 jésus de xV-432 pages. Paris Doin, 1921.

Nous commencerons par féliciter M. Emanaud de l'heureux choix de son titre : Géométrie perspective, comme faisant pendant à la géométrie descriptive; c'est bien cela, car il s'agit ici d'un ensemble de procédés géométriques spéciaux ramenant les faits de l'espace à une représentation plane, comme le font ceux de la géométrie descriptive, cette représentation plane résultant seulement ici d'une projection conique, au lieu d'une projection orthogonale.

Sans négliger le moins du monde, comme on le verra plus loin et même tout au contraire, la face du sujet qui concerne les représentations artistiques, l'auteur a voulu donner à son exposé une solide base géométrique; et c'est pourquoi il y débute par un résumé clair et substantiel des notions fondamentales de la géométrie projective, suivant en cela, comme il en fait lui-même la remarque, l'exemple de M. d'Ocagne dans son cours de l'École Polytechnique. Ces notions d'homographie et d'homologie, présentées sous une forme simple et rigoureuse dans l'Introduction, débordent, au reste, un peu les stricts besoins de l'application que l'auteur a ici en vue et constitueront pour le lecteur une initiation facile à une théorie féconde en conséquences de toute sorte dans des disciplines d'ordre divers.

Les relations de cette théorie avec la perspective sont mises en évidence dès le Chapitre I où sont posées les définitions et passées en vue les généralités concernant le sujet.

La mise en perspective est traitée au Chapitre II; tous les tracés de valeur pratique y sont successivement indiqués, y compris celui si curieux et si remarquable, encore peu connu, du lieutenant-colonel de la Fresnaye qui permet, moyennant l'emploi d'un faisceau de trois droites faisant

entre elles des angles déterminés, d'effectuer toute la mise en perspective sans lignes de construction (1).

Les constructions directes, dont l'ensemble constitue à proprement parler le trait de perspective, font l'objet du Chapitre III. L'auteur saisit très heureusement cette occasion de rappeler la méthode, trop oubliée, de Cousinery qui, sous sa forme systématique, peut être regardée comme le pendant, en géométrie perspective, de celle de Monge en géométrie descriptive. Il expose ensuite l'ingénieuse méthode de perspective directe du capitaine Coblyn, fondée sur l'emploi des diamètres apparents et montre comment la mise en œuvre du principe sur lequel elle repose peut être modifiée lorsqu'aux angles mesurés dans les plans verticaux, ou angles de site, on substitue leurs tangentes trigonométriques, ou pentes de site.

Les problèmes d'ombres sont traités en détail dans le Chapitre IV, et les éléments de la perspective cavalière exposés sous une forme très pratique au Chapitre V.

La restitution perspective, y compris l'exécution de la perspective relief, très justement comparée par l'auteur à une « semi-restitution », fait l'objet du Chapitre VI.

Un chapitre spécial, portant le no VII, est consacré aux instruments perspecteurs. Sans entrer dans le détail de toutes les solutions qui ont été proposées, l'auteur, par quelques exemples bien choisis, fait nettement saisir les ressources que la géométrie, combinée avec la cinématique appliquée, peut offrir à cet égard. Il montre très clairement comment l'homographie peut, en vue de ce problème, être utilisée sous sa forme la plus générale et indique divers modes de particularisation de cette solution générale aboutissant à des procédés vraiment pratiques.

Les deux chapitres suivants ont trait à l'utilisation des principes de la perspective en vue des représentations artistiques. Lorsqu'il s'agit, par une représentation plane,

(1) C'est dans le journal LA CONSTRUCTION MODERNE qu'en 1909, M. de la Fresnaye a fait connaître son procédé, auquel M. d'Ocagne a consacré une note de l'Appendice de son Cours de Géométrie pure et appliquée de l'Ecole Polytechnique (T. I, p. 349), qu'il a encore simplifiée depuis lors dans une note parue dans les NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES (1919, p. 89).