l'intégrale de M. Lebesque, dont la définition est meilleure que celle de Riemann (1).

Ce chapitre, où M. de la Vallée a mis de l'originalité et une grande force synthétique, sera remarqué par les savants. C'est une très belle amélioration de la première édition, qui donne un très grand relief à ce cours.

Les questions élémentaires, la géométrie, les liens entre la continuité et la convergence uniforme sont très bien exposés. A la fin du volume on trouve les définitions les plus générales des lignes rectifiables et des aires quarrables, définitions reposant sur la notion de « variation bornée » due à M. C. Jordan, et sur les notions de M. Lebesgue. La théorie des fonctions implicites est fort bien présentée, mais je préfère, pour ma part, l'exposé de M. Goursat (2). Cet exposé a l'avantage d'introduire la féconde méthode des approximations successives dont M. Émile Picard a tiré un si grand parti dans des domaines divers. (Il me fallait bien trouver l'occasion d'une petite critique !) Je signalerai encore le théorème sur l'interversion de l'ordre des dérivations (p. 120). L'énoncé est plus précis que les énoncés ordinaires.

Quant à la règle de l'Hospital, un bel exemple nous rappelle avec quel soin il faut conduire les opérations de passage à la limite.

En deux mots, le livre de M. de la Vallée Poussin est original et classique. Les débutants peuvent et doivent s'en servir, en omettant les chapitres difficiles. Et ceux-ci seront utiles même aux géomètres.

Nous souhaitons voir bientôt la seconde édition du tome 11 et l'apparition du tome III. En écrivant comme il le fait, l'auteur rend grand service.

L'on remarquera que plusieurs questions sont traitées de façon plus simple que dans la première édition. C'est dire le soin avec lequel cet ouvrage est composé.

Vte R. D'ADHEMAR.

(1) Tout récemment, dans les COMPTES RENDUS de l'Académie des Sciences, M. Painlevé insistait sur le fait que la notion de M. Lebesgue n'est pas artificielle et conduit à des résultats intéressants dans la théorie générale des fonctions.

(2) Société Mathématique de France, 1904.

II

EXERCICES D'ALGÈBRE, D'ANALYSE ET DE TRIGONOMÉTRIE, A L'USAGE DES ÉLÈVES DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES, par P. AUBERT, professeur au lycée Henri IV, et G. PAPELIER, professeur au lycée d'Orléans. Un vol. in-8 de 362 pages. Paris, Vuibert et

Nony, 1908.

On sait que, depuis quelques années, une réaction s'est produite en France, dans l'enseignement des Mathématiques dites spéciales (c'est-à-dire préparatoires à l'accès des écoles techniques supérieures) contre la prépondérance accordée précédemment à la géométrie analytique sur l'algèbre et l'analyse.

La géométrie analytique et, plus particulièrement, la théorie des sections coniques - est fertile en problèmes élégants où se peuvent dépenser les ressources de l'esprit géométrique, et nombre de professeurs, suivant au reste les incitations de certains examinateurs, avaient tendance à sacrifier, un peu trop peut-être, au culte de l'art pour l'art dans le domaine géométrique, culte plein de séduction, il faut l'avouer, pour qui est sensible à la beauté mathématique.

Mais lorsque comme c'est le cas pour de futurs techniciens. -on envisage principalement les mathématiques en tant qu'instrument de recherche applicable au développement de la mécanique et des diverses branches de la physique, on est amené à réduire un peu la place accordée à la géométrie, envisagée surtout dans ses théories particulières, pour développer, au contraire, l'étude de l'algèbre et de l'analyse. Tel a été le sens de la récente réforme des programmes de la classe de Mathématiques spéciales.

Cette réforme devait avoir une répercussion dans la littérature didactique correspondante. De nouveaux traités d'algèbre ont vu le jour comme celui de M. Tannery (1), comme celui de M. Papelier lui-même. Mais il était non moins utile, pour les maitres comme pour les élèves, de posséder des recueils d'exercices appropriés. Par suite des habitudes antérieures, de tels recueils, abondants et bien faits, existaient en France pour la géométrie analytique. Du côté de l'algèbre et de l'analyse élémentaire, nous étions plus pauvres. Le recueil que viennent de nous

(1) Voir la REVUE d'avril 1906, p. 599.

donner MM. Aubert et Papelier est excellent. Ces deux distingués professeurs, forts d'une solide expérience, y ont apporté tous leurs soins.

Un tel ouvrage ne s'analyse point; il vaut surtout par le détail, et le détail, surtout en de telles matières, échappe au cadre de la présente REVUE. Il nous semble toutefois nécessaire de faire connaitre les grandes divisions du livre qui sont les suivantes :

Calcul algébrique. - Déterminants et équations linéaires. Séries (convergence et sommation). Dérivées. - Variation des fonctions. Développement en séries et applications. Calcul des intégrales (chapitre particulièrement riche et englobant, peut-on dire, tous les exemples qui se rencontrent dans les applications courantes). Applications du calcul des intégrales (aires planes et non planes, rectifications, volumes). — Équations différentielles (bornées aux types dits élémentaires). Equations algébriques (relations entre les racines et les coefficients). Résolution et discussion des équations (algébriques ou transcendantes élémentaires). - Trigonométrie (division des angles, séries, nombres imaginaires, résolution des triangles). M. O.

III

TRATADO DE GEOMETRIA ANALITICA, por MIGUEL VEGAS de la Real Academia. I vol. in-8°, vi-688 pag., 1906. - II vol. 702 pag., 1907. — Madrid, Fortanet.

Cet ouvrage est destiné à servir de manuel aux élèves du deuxième cours préparatoire à la Faculté des sciences mathématiques et physiques de l'Université de Madrid. M. Vegas appartient à l'école de M. Torroja, qui marque décidément une époque dans l'histoire des Mathématiques en Espagne. Dans son livre, l'auteur se propose d'initier les élèves aux théories fondamentales de la géométrie moderne. I suppose un cours de Géométrie métrique, et un autre d'Analyse, c'est-à-dire la théorie élémentaire des équations, des séries, des dérivées et le calcul des déterminants. Quoiqu'il soit question dans l'ouvrage de discriminants, de Hessiens, de Jacobiens, etc., il ne suppose pas une étude spéciale de la Théorie des formes algébriques.

Les figures de 1o, 2o, 3o Catégorie (une, deux et trois dimensions) font chacune l'objet d'une SECTION.

Les quatre chapitres de la 1° SECTION traitent respectivement des séries, faisceaux, projectivité et involution. Les différents systèmes d'abscisses, qui servent à déterminer les éléments d'un faisceau, sont tirés de ceux des séries, au moyen des relations métriques de l'espace euclidien. Évidemment, on aurait pu établir directement la théorie des faisceaux sur les postulats, qui définissent un espace projectif, et la géométrie des séries euclidiennes, dans ce cas, serait devenue un cas limite. Ici, comme dans tout le reste de l'ouvrage, l'auteur est plutôt géomètre qu'analyste, et ne perd jamais de vue la signification spatiale des équations. Ainsi, quand il parle de quantités imaginaires, il rappelle toujours qu'il ne s'agit que d'involutions elliptiques. La Section se termine par un exposé sommaire des involutions d'ordres supérieurs de Möbius.

La 2 SECTION, abstraction faite du Livre II, pourrait être comparée, comme méthode générale, à l'ouvrage de SalmonFiedler sur les coniques. Toutefois, l'auteur développe, en même temps, la géométrie du plan et celle de la radiation. Par contre, il ne s'occupe point des fondements de la Géométrie (1). Dans les quatre premiers chapitres du Livre I, il est proposé à l'élève de résoudre pratiquement le problème suivant: Une question géométrique étant posée, l'exprimer en langage algébrique de la manière la plus simple possible; pour cela, il faut apprendre à choisir convenablement les coordonnées. Du mème coup, l'élève se familiarise avec l'emploi des coordonnées projectives et des équations symboliques. La théorie des coniques se base (Livre II) sur les propriétés des figures polaires par rapport à une conique, ou còne de 2o ordre (Chap. II), et sur l'expression de leurs équations par rapport à un polygone ou polyèdre (Chap. II). L'emploi de la méthode des identités, et des équations symboliques est, de la sorte, rendu plus facile et fécond. De plus, cela permet une définition des éléments des coniques et des cônes de 2 ordre, à la fois simple et indiquant le procédé général à suivre pour les calculer. Ainsi le centre est pris comme pôle de la droite de l'infini du plan (p. 279). « Un diamètre est la polaire d'un point de l'infini » (p. 281). « Les asymptotes sont

(1) A la fin du 2o vol., il y a une note étendue par J.-P. del Pulgar, S. J. (34 pages), sur Les fondements de la Géométrie, exposés par la méthode projective de Cayley et Klein.

les tangentes tracées à la courbe par les deux points qu'elle a sur la droite de l'infini du plan» (p. 287). Les foyers sont les sommets des involutions rectangulaires des droites conjuguées par rapport à la conique, ou, ce qui revient au mème, les points où se coupent les quatre tangentes tracées à la courbe par les points circulaires du plan (p. 301). Mème méthode pour l'étude des cònes de 2 ordre. Le reste de la théorie des coniques (contacts, courbures, invariants, etc.), est développé comme d'ordinaire, sans autre différence que l'auteur y joint le développement simultané de toute la théorie des cònes de 2 ordre et 2 classe. Les trois derniers chapitres sont consacrés aux faisceaux, réseaux et complexes des lignes et cònes de 2 ordre et de 2o classe. Ici encore, mème méthode: on va du général au particulier. Ainsi, les systèmes coaxiaux de cercles, les coniques homofocales, les comes homocycliques et homofocaux, etc., sont traités comme des cas particuliers des séries ou des faisceaux de lignes ou cònes de 2 ordre ou 2 classe. Enfin, dans les sept chapitres du Livre IV, viennent, sous le nom de Transformations linéaires et quadratiques, Vaffinité et la similitude des figures, comme cas particulier de l'homographie (Chap. 1); l'homothétie, comme un genre d'homologie (Chap. III); la symétrie, comme un genre d'involution (Chap. IV). Les systèmes polaires et en particulier les systèmes cycliques, l'inversion (par polaires réciproques), etc., sont étudiés comme des transformations linéaires entre coordonnées de points et de droites sur le plan, ou de droites et de plans dans la radiation (Chap. IV). Mème méthode dans l'exposition des transformations quadratiques et généralisation de l'idée géométrique de transformation. Le Livre III contient un exposé sommaire de la théorie générale des courbes et des cònes.

Dans le 2 volume (3o SECTION), à part le Livre V, le plan reste toujours le même: Livre I, systèmes de coordonnées. — Livre II, surfaces de 2 ordre et 2 classe, par la même méthode que les coniques. Faisceaux, séries, réseaux compleres et quadriques. - Livre III, théorie générale des lignes et des surfaces. Ce livre, comme son correspondant dans la 2o Section, mérite une attention particulière: l'auteur y développe toute la théorie des contacts, développées, développantes, lignes et surfaces développables, courbure, torsion, etc., sans recourir explicitement au calcul supérieur : il s'appuie presqu'exclusivement sur des considérations géométriques et intuitives. Dans le Livre IV (transformations), l'auteur consacre un chapitre aux transformations cubiques, en raison de l'intérêt particulier de l'inversion