résulte entre les deux courbes de lumière correspondantes, commence et cesse brusquement avec la variation lumineuse. Au contraire, le décalage que peuvent produire les autres causes invoquées dans le système même de l'étoile, décroit progressivement de part et d'autre du minimum pour s'annuler au début et à la fin de la variation.

Le problème de la dispersion du vide, on le voit, est très complexe. Peut-être résistera-t-il au nouvel assaut qu'on lui livre. S'il devait en être ainsi, MM. Tikhoff et Nordman n'en auraient pas moins le mérite d'avoir créé de nouvelles méthodes d'observation, et un nouvel instrument de travail utile à plusieurs fins.

N. N.

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

ANNUAIRE POUR L'AN 1909, publié par le Bureau des longitudes, avec des notices scientifiques. Un vol. in-16, 710, A. 116, B. 57, C. 11, D. 47 pages. Paris, Gauthier-Villars.

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Suivant l'alternance adoptée, ce volume, de millésime impair, contient, outre les données astronomiques, des tableaux relatifs à la métrologie, aux monnaies, à la géographie, à la statistique et à la météorologie. Nous signalons tout spécialement les notices de M. G. BIGOURDAN: Les étoiles variables, et celle de M. CH. LALLEMAND: Mouvements et déformations de la croûte terrestre.

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S. Thomæ. VORLESUNGEN ÜBER BESTIMMTE INTEGRALE UND DIE FOURIERSCHEN REIHEN. Un vol. in-8° de VI + 182 pages. Leipzig, Teubner, 1908.

L'ouvrage de M. Thomæ n'est pas une monographie au sens où nous sommes habitués à voir appliquer ce mot. Il ne faut pas y chercher le développement naturel et approfondi d'une notion. On a simplement recueilli et groupé tout ce qui, dans les traités généraux, touche de près ou de loin aux intégrales définies et aux séries de Fourier. Nous ne pouvons pas dire que le sujet ait été pensé à neuf. De nombreux exemples de calculs d'intégrales empruntés à la physique ou à la mécanique sont joints à

la théorie pure. Des négligences typographiques ont, en assez grand nombre, échappé à la vigilance des correcteurs. Voici le plan de ces leçons: Théorèmes préliminaires de la théorie des fonctions. L'intégrale, inverse de la dérivée. L'intégrale, limite de somme. Intégration de fonctions non bornées. La série de Fourier. Les cordes vibrantes. Intégrales doubles. Intégrale double de Fourier. Intégrale d'Euler. Intégration de différentielles à deux termes. F. W.

Kurt Hensel. THEORIE DER ALGEBRAISCHEN ZAHLEN, tome premier. Un vol. in-8° de x1 + 349 pages. - Leipzig, Teubner, 1908.

La Théorie des nombres algébriques de M. Hensel se recommande par la clarté de l'exposé, par le soin de la forme et la correction de l'expression. Malgré la difficulté inhérente au sujet, elle pourra être lue sans fatigue par celui qui possède les notions élémentaires des mathématiques. Elle tient le milieu entre l'extrême et impersonnelle concision et cette liberté d'allures un peu excessive que se donnent parfois, sous prétexte de rendre leurs leçons plus originales et plus vivantes, certains professeurs allemands. Nous sommes persuadé que l'ouvrage de M. Hensel servira très heureusement de guide à ceux qui, devant ou voulant se passer de maitre, ont à s'aventurer seuls sur l'aride terrain de la théorie des nombres. Ce premier tome contient la théorie générale de la divisibilité des nombres algébriques. Le partage et l'ordre des matières sont substantiellement les mêmes que ceux des traités analogues. F. W.

R. V. Lilienthal. VORLESUNGEN ÜBER DIFFERENTIALGEOMETRIE, tome 1: Théorie des courbes. Un vol. in-8° de vi + 368 pages. Leipzig, Teubner, 1908.

Ces Leçons de géométrie infinitesimale s'imposent à notre attention plus par la méthode suivie dans l'exposition que par leur contenu objectif. A ce dernier point de vue pourtant, nous noterons l'importance considérable donnée à l'élément cinématique à côté de l'élément géométrique. On sait combien féconde fut l'introduction des axes ou trièdres de référence mobiles dans la théorie des familles de courbes planes et surtout dans la théorie des courbes gauches. L'auteur a largement profité de ces avantages. Il a laissé de côté, de peur d'encombrement, la documentation bibliographique. Il s'est contenté d'indiquer brièvement comment prirent naissance les questions récentes que

traite la géométrie infinitésimale. Ajoutons qu'il a consacré un soin spécial à l'étude détaillée et systématique des singularités géométriques, tels par exemple les points singuliers des développées.

Une caractéristique frappante de l'exposé de M. Lilienthal est l'exclusion voulue et inexorable de la notation différentielle. Les transformations analytiques sont toujours formellement ramenées à des calculs de limites. La notion d'infiniment petits de divers ordres se trouvant éliminée entraine dans son ostracisme la théorie des contacts des divers ordres. A parler franchement, nous croyons que M. Lilienthal a poussé le scrupule un peu loin. Sans vouloir contester que l'on ait fait jouer parfois aux infiniment petits un rôle difficile à justifier, et que, de nos jours encore, dans certaines branches des mathématiques appliquées, notamment dans la physique mathématique à la manière de certaine école anglaise, leur emploi est d'une rigueur plus que douteuse, nous ne voyons pas le mal qu'ils peuvent occasionner dans la géométrie infinitésimale. Ceux qui abordent cette étude sont des analystes pour qui la notion de différentielle n'est pas moins nette ni moins sùre que celle de limite: ils savent la hiérarchie suivant laquelle se distribuent les infiniment petits; ils savent la respecter. Sans doute, la géométrie infinitésimale n'a rien perdu de sa solidité pour s'être interdit l'usage explicite des infiniment petits; ajoutons même qu'elle s'en trouve moins alourdie qu'on n'eût pu le craindre. Mais qu'y a-t-elle gagné?

Une des préoccupations manifestes de l'auteur est de serrer le parallélisme entre la courbe géométrique et sa représentation analytique. Il ne faut pas qu'on s'enlise dans les formules nicht in den Formeln stecken bleiben mais qu'on en lise toujours avec clarté le contenu géométrique. Cette marche en partie double de la théorie — intuition et analyse - met en lumière des points qui souvent restent inaperçus, par exemple, le fait qu'à toute singularité analytique ne répond pas toujours une singularité géométrique; que la définition de l'enveloppe comme lieu des points limites d'intersection de deux courbes voisines d'une même famille peut, dans certains cas, avoir un sens pour l'algébriste, alors qu'elle est illusoire pour le géomètre; que la définition analytique unique de l'enveloppe a deux significations bien différentes dans la représentation géométrique, etc. Comme nous l'avons dit plus haut, M. Lilienthal a le souci de montrer à ses lecteurs comment par la progression naturelle de l'investigation mathématique les divers problèmes sont venus

se présenter à l'attention des géomètres. Ses Leçons ne sont donc pas un enchainement logique artificiel des théorèmes, j'allais dire un squelette scientifiquement articulé, mais un tout où s'aperçoivent de multiples liaisons, de multiples actions et réactions de la pensée avec toutes les apparences de la vie. De tels ouvrages où sont exposées non les théories tout apprêtées pour l'enseignement, mais la théorie se construisant elle-même dans son développement historique, tendent à se multiplier non seulement en mathématiques pures mais dans les sciences appliquées. Ils risquent de rencontrer un écueil: celui de se trouver flous et sans fermeté. M. Lilienthal a su l'éviter en n'abordant jamais une question sans l'avoir énoncée au préalable sous forme de problème à résoudre.

L'outillage analytique nécessaire pour aborder ces Leçons est véritablement réduit au minimum. Les fonctions qu'on y considère sont toujours censées exemptes de singularités non représentables dans l'intuition et sont du type des bonnes fonctions. F. W.

Emanuel Czuber.

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG, Tome 1: Calcul des probabilités, théorie des erreurs, théorie des collectivités. Deuxième édition. Un vol. in-8° de x + 410 pages. Leipzig, Teubner, 1908.

En annonçant la nouvelle édition du Calcul des Probabilités de M. Czuber, nous nous contenterons de signaler les points qui la différencient de l'édition de 1902-1903. Nous retrouvons ici les deux premières parties de cette édition : le Calcul des Probabilités et la Théorie des Erreurs; en outre, une partie toute nouvelle la Théorie des Collectivités traitée d'après les ouvrages de Lipps et de Bruns. Un second volume renfermera les questions de statistique et d'assurances. Beaucoup d'améliorations apportées à la rédaction ont fait disparaitre l'apparence un peu touffue et un peu négligée de la première édition.

F. W.

Paul Carus. THE FOUNDATIONS OF MATHEMATICS, a contribution to the philosophy of geometry. Un vol in-12 de 141 pages. -Chicago, Open Court Publ. C, 1908.

Le titre qu'on vient de lire promet trop. Ces quelques pages sont une série de remarques originales, souvent profondes, plutôt qu'une synthèse philosophique serrée. On se représentera suffisamment leur contenu global par les en-têtes des sections

principales que nous reproduisons: La recherche des fondements de la géométrie : esquisse historique. La base philosophique de la mathématique. Mathématique et métagéométrie. Epilogue. Il est impossible d'indiquer ici toutes les idées émises, a fortiori d'en aborder la discussion.

L'esquisse historique est sobre, de caractère populaire, comme dit l'auteur. Il a voulu intéresser, non s'y approvisionner d'éléments d'analyse philosophique ou d'autorités en faveur de ses opinions. Ce sont des œuvres mortes, qui pourraient disparaitre sans dommage pour le reste.

M. Carus tâche d'établir son assiette philosophique entre le transcendantalisme Kantien et le vieil empirisme. Il intitule sa position le néo-positivisme.

Reconnaissant, avec Kant, l'apriorisme des notions mathématiques et leur « pure formalité », il prétend s'écarter du subjectivisme de ce dernier en attribuant à l'existence objective ellemême des relations que ne feraient que traduire et exprimer les relations transcendantes que nous découvrons dans notre esprit. Tout en se cramponnant à l'apriorisme, seul moyen de sauver le caractère absolu des notions intelligibles, il ne craint pas d'appeler l'esprit un produit de la mémoire. Les sensations, se distribuant automatiquement dans la mémoire suivant leurs formes propres, y ont tracé petit à petit et comme par érosions successives les notions a priori.

La notion d'espace n'est pas une notion statique : elle implique une motilité complètement indéterminée (the anyness of motility). L'espace est la possibilité du mouvement, et en nous mouvant idéalement de ci de là dans toutes les directions possibles dont l'ensemble est inépuisable, nous construisons notre notion d'espace pur. » Le mot Anschauung employé par Kant a l'inconvénient de se présenter sous un aspect d'immobilité.

L'auteur insiste sur ce point que les qualités primordiales (straightness, flatness, rectangularity) des êtres géométriques ne peuvent être définies par des éléments numériques. Pourtant lorsque, plus loin, il traite des diverses géométries, il semble ramener toute géométrie à des éléments numériques et n'y voir que des procédés de mesure de l'espace. A notre avis, on ne sépare pas assez nettement dans la géométrie ce qui suppose uniquement l'intuition spatiale et ce qui implique, en outre, des notions de raison.

Il est regrettable que pour clore ces réflexions sur la géométrie dont plus d'une est discutable, mais qui, sans contredit, ont le