MATHÉMATIQUES.

SUR LES POINTS D'INFLEXION

DES COURBES DU 3° ORDRE,

PAR M. A. SARTIAUX.

Présenté le 21 juillet 1865.

Dans un Mémoire sur les propriétés des points d'inflexion des courbes du troisième ordre et des points de rebroussements des courbes de troisième classe, M. Painvin a démontré un grand nombre de propriétés remarquables. Voici une étude qui pourra servir de complément à la sienne, en y ajoutant quelques théorèmes.

Je considère un triangle dont j'appelle les côtés T, U, V, (dans la suite, je conserverai les notations du Mémoire dont j'ai parlé); je considère une quatrième droite A, coupant les trois premières aux points I, J, K,, ces quatre droites forment un quadrilatère dont les diagonales constituent un triangle tu,v,. Comme les côtés correspondants des triangles T,U‚V1, t‚μ‚v ̧ se coupent sur la droite A,, les droites joignant les sommets. correspondants concourent en un point que j'appelle a,. Prenant

pour triangle de référence le triangle T, U, V,, la droite A, ayant pour équation la+my+nz = 0, le point a, est déterminé par les égalités la mynz. Cela posé, je rappelle

que dans une courbe du troisième ordre qui, en général, a neuf points d'inflexion, la droite qui joint deux points d'inflexion passe par un troisième point d'inflexion. Je puis done supposer que I, J, K, soient trois points d'inflexion d'une courbe quel conque du troisième ordre et que les tangentes en ces points soient les droites T, U, V,. L'équation d'une quelconque de ces courbes ayant ces trois points d'inflexion pourra se mettre sous la forme xyz= = 13 1 = lx + my + nz.

Cette équation est générale, car, transformée en coordonnées cartésiennes, elle renferme au moins neuf coefficients indéterminés.

Cette forme donne une démonstration de ce théorème qui est bien connu :

Le quotient du produit des distances d'un point de la courbe aux trois tangentes en des points d'inflexion situés en ligne droite par le cube de la distance du même point à la droite qui joint les points d'inflexion, est constant.

Avant d'aller plus loin, je rappelle que la droite polaire et la