Die vorstehenden Zahlen sprechen für sich selbst: die Genauigkeit des geometrischen Verfahrens scheint zwar im Allgemeinen etwas grösser zu sein als die des mechanischen, allein die Unterschiede zwischen den gemessenen und berechneten Entfernungen in Tafel Nr. 1 sind meistens so gering, dass sie innerhalb der Genauigkeitsgrenzen von Messtischaufnahmen liegen und daher zu einem entscheidenden Urtheile um so weniger berechtigen, als die auf trigonometrischem Wege bestimmten Entfernungen keineswegs absolut genau sind und die Fertigkeit eines Beobachters in rein geometrischen Aufnahmen, die Jahre lang geübt sind, offenbar grösser ist als in rein mechanischen Bestimmungen, die zum ersten Male ausgeführt werden. Die Zeitersparniss, welche das mechanische Verfahren dem geometrischen gegenüber gewährt, ist namentlich dann bedeutend, wenn lediglich die Bestimmung der Standpunkte in Betracht kommt, also auf die Orientirung des Messtisches verzichtet werden darf: in diesem Falle kann die Pothenot'sche Aufgabe in der halben Zeit, welche zur Ausführung des Lehmann'schen Verfahrens nothwendig ist, gelöst werden, während die Ausführung der Hansen'schen Aufgabe einen so auffallenden Zeitgewinn allerdings nicht gewährt, und namentlich dann nicht, wenn statt des Pross'schen Verfahrens zur Lösung dieser Aufgabe dasjenige angewendet wird, welches ich in der dritten Auflage meiner Elemente der Vermessungskunde S. 499 beschrieben habe. VI. Neue vollständige Lösung der Aufgabe: Mit einem gegebenen Brennpunkte einen durch drei gegebene Punkte gehenden Kegelschnitt zu beschreiben. Von dem Herausgeber. (Fig. s. Taf. IV.) §. 1. Die Aufgabe: Mit einem gegebenen Brennpunkte einen durch drei gegebene Punkte gehenden Kegelschnitt zu beschreiben. ist, schon wegen ihres vielfachen wichtigen Gebrauchs in der Astronomie bei der Berechnung der Bahnen der um die Sonne nach den Kepler'schen Gesetzen sich bewegenden Weltkörper, insbesondere auch bei der Berechnung der Erdbahn oder der scheinbaren Sonnenbahn, eine der wichtigsten geometrischen Aufgaben, und deshalb schon häufig durch Construction und durch Rechnung gelöst worden; bei den analytischen Lösungen hat man meistens die Polargleichungen der Kegelschnitte in Anwendung gebracht, worüber vorzüglich die Theoria motus von Gauss (pag. 86. Nr. 82.) nachzusehen ist. Ich selbst habe schon eine Auflösung im Archiv Thl. XVII. S. 69. gegeben. Eine andere Auflösung zu geben, ist die vorliegende Abhandlung bestimmt, zu deren Grundlage ich meine Neue Theorie der Kegelschnitte (N. T. d. K.) im Archiv Thl. XXXI. Nr. XIII. machen werde, weil mir diese von mir entwickelte neue Theorie, wie bei so vielen anderen Untersuchungen, auch bei dieser Aufgabe eine besonders bequeme und vortheilhafte Anwendung zu finden scheint, und eine in jeder Beziehung sehr vollständige Auflösung derselben zu geben gestattet. Zugleich aber beabsichtige ich die Aufgabe, wie ich dies für nöthig halte, in zwei Theile zu scheiden, was früher wenigstens noch nicht mit der Bestimmtheit, wie es im Folgenden der Fall sein wird, geschehen ist, und dabei noch verschiedene andere, bisher noch nicht gehörig erörterte Punkte, namentlich auch die mehrfachen Auflösungen, welche die Aufgabe bei verschiedenen Auffassungen zulässt, zur Sprache zu bringen, was bei dieser bei so vielen wichtigen, besonders wie schon erwähnt astronomischen Untersuchungen zur Anwendung kommenden Aufgabe jedenfalls von besonderer Bedeutung ist. - Ob schon Kepler Anwendungen dieser Aufgabe bei seinen Untersuchungen über die Bahnen der Planeten gemacht hat, kann ich jetzt mit Bestimmtheit nicht sagen. Jedenfalls aber hat Halley dieses Verdienst; denn in seinen immer noch sehr zur Beachtung und zum Studium zu empfehlenden ,,Introductiones ad veram Physicam et veram Astronomiam. Editio novissima. Lugduni Batavorum. MDCCXXXIX. 40." sagt Keill (p. 464.): Aliam excogitavit methodum Cl. Halleius, qua Planetae loca centrica, ejusque a Sole distantiae inveniri possunt, quae supponit tantum cognitum esse Planetae tempus periodicum etc." und fährt dann fort: „Si hac ratione acquirantur tria loca centrica Planetae, tresque correspondentes ejus a Sole distantiae, forma orbitae et Apsidum positio habebitur; describendo Ellipsim cujus focus est Sol quae transit per tria puncta data. Ellipsis autem illa sequenti methodo“ - (mittelst einer Construction) determinatur." §. 2. In Bezug auf ein beliebiges rechtwinkliges Coordinatensystem werde ich die Coordinaten des gegebenen Brennpunktes S durch ƒ, g; die Coordinaten der drei gegebenen Punkte A。, A1, A2, durch welche mit oder aus dem gegebenen Brenupunkte S der Kegelschnitt beschrieben werden soll, durch die natürlich gleichfalls gegebenen Entfernungen dieser Punkte von dem Brennpunkte, also die den drei gegebenen Punkten A, A1, Ag entsprechenden Vectoren |