BIBLIOGRAPHIE

I

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L'IDÉAL SCIENTIFIQUE DES MATHÉMATICIENS, par P. BouTROUX, Professeur au Collège de France. Un vol. de 274 pages (19 × 12) de la Nouvelle Collection scientifique. Paris, Alcan, 1920.

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Quelle idée les mathématiciens se font de leur science, quel dessein ils poursuivent, par quels principes ils dirigent leur activité, voilà ce que se demande l'auteur. Ce sont questions de fait, touchant exclusivement la genèse et le développement des mathématiques pures; il veut les résoudre en dehors de tout système philosophique, en historien. Il a donc étudié les découvertes mathématiques dans leur milieu, avec leurs antécédents et les conséquences immédiates qu'en tirèrent leurs auteurs ou les disciples de ceux-ci. A cette observation objective des œuvres, il a joint d'ailleurs soigneusement toutes les indications échappées aux savants sur leurs préoccupations et sur leurs règles de travail.

A l'appui de la synthèse historique qu'il trace ici à grandes lignes, M. P. Boutroux peut citer son remarquable ouvrage Les Principes de l'Analyse mathématique, exposé historique et critique (1).

L'évolution des conceptions directrices des mathématiciens s'opéra surtout aux trois époques les plus marquantes de l'histoire des mathématiques : celle de la science hellénique, la fin du xvire siècle, l'époque contemporaine.

Les Grecs ont, en Mathématiques, recherché et cultivé ce qui est simple, ce qui est beau, ce qui est harmonieux dans

(1) 2 volumes. Paris, Hermann, 1914 et 1919.

les propriétés des nombres et des figures géométriques. Mais, vu l'impossibilité de contempler dans une intuition ces vérités sereines, vu la nécessité de les exposer successivement, de les déduire, ils se sont attachés aussi à la méthode logique, et en ont fait un de leurs objets d'étude préférés. Leur dédain pour les applications concrètes et leur manière de raisonner par constructions géométriques les empêchèrent de découvrir que la grandeur spatiale et le nombre arithmétique appartiennent au même ordre de notions et se plient à des règles communes de calcul.

Les progrès rapides des mathématiques à la fin du xvire siècle consistent dans la création de l'algèbre moderne et son développement, pour le domaine fini d'abord, ensuite pour celui de l'infini. L'algèbre est caractérisée, non par son objet mais par sa méthode : technique d'opération, rapide, sûre, mécanique. En prévoyant son application directe à l'étude des propriétés géométriques, Descartes et Leibniz ouvrent la voie aux recherches de synthèse. La sûreté, la régularité, la généralité des combinaisons logiques, voilà ce qui distingue de la géométrie ancienne la science moderne. Le but poursuivi n'est plus alors la contemplation d'objets idéaux, mais la découverte de quelque méthode puissante de composition pour élever sur des éléments aussi simples, aussi réduits que possible, les constructions les plus complexes. Petit à petit les théories mathématiques sont envisagées comme une création libre de l'esprit humain, et on ne leur attribue plus guère que le rôle d'instruments de démonstration.

Voici maintenant les mathématiciens contemporains. L'auteur reconnaît que pour débrouiller leurs conceptions directrices le recul nécessaire manque à l'historien; de nos jours, la Mathématique se caractérise par la variété des points de vue et des méthodes. D'une part, elle dispose de l'algèbre, un instrument pour multiplier à loisir les constructions théoriques; mais comment prévoir celles qui seront le plus utiles? D'autre part, les faits de la nature débordent toujours infiniment les possibilités d'expression en langage mathématique. Aujourd'hui, ce qui détermine les recherches, ce n'est plus autant la méthode à échafauder, c'est de nouveau un résultat à atteindre; il y a un objet, le réel, à atteindre, à saisir, et qui résiste ; c'est lui qui fait l'unité des efforts

employés à l'exprimer d'une manière toujours moins inadéquate. Comme les Grecs, nos contemporains visent à rendre une réalité objective; mais, ne restreignant plus leur ambition à la contemplation esthétique des vérités d'accès plus facile, ils ne reculent pas devant la complication des recherches, pourvu qu'elles conduisent à une traduction plus fidèle du réel.

II

H. D.

STORIA DELLA GEOMETRIA DESCRITTIVA DELLE ORIGINI SINO AI GIORNI NOSTRI, par GINO LORIA, professeur à l'Université de Gênes. Un volume in-16 de XXIV et 584 pages de la collection des Manueli Hoepli. Milan, Hoepli, 1921.

Travail excellent, tel qu'il nous en faudrait au moins un pour chacune des branches des mathématiques, mais dont, seule, la trigonométrie possède l'équivalent dans les Vorlesungen ueber Geschichte der Trigonometrie de von Braunmühl (Leipzig, Teubner, t. I, 1900; t. II, 1903). Il est vrai que la géométrie descriptive a, comme la trigonométrie, un triple avantage sur d'autres branches des mathématiques : elle est entrée en entier dans l'enseignement classique; elle y a un programme suffisamment délimité; enfin et surtout, malgré sa richesse, elle n'a pas donné lieu à un nombre de travaux tellement grand que l'examen direct et personnel en scit devenu impossible pour l'historien.

M. Loria, nous ne devons pas l'apprendre au lecteur, est un maître connaissant aussi bien la théorie de la géométrie descriptive que son histoire, et qui a dans tout ce qu'il écrit le mérite de l'ordre et de la clarté. L'utilité pratique de son nouveau manuel est, cette fois encore, accrue par une idée heureuse, qu'il avait déjà eue jadis dans la 2e édition de ses Scienze esatte nell'Antica Grecia (Milan, Ulric Hoepli, 1914); je veux dire de ne pas se contenter d'une simple Table des Matières par chapitres et paragraphes, mais d'y ajouter en quelques mots le contenu de chacun des numéros qui subdivisent les paragraphes. On a ainsi sous les yeux un résumé de l'ouvrage qui peut servir d'aide-mémoire; mais on regrettera, peut-être, de ne trouver ces en-têtes de numéros, au nombre de 228 que dans la Table des Matières ;

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ils eussent été utilement répétés dans le corps de l'ouvrage. Je n'aurais pas hésité à traduire cette « Table » en entier, comme plus d'un lecteur m'a su gré de l'avoir fait jadis pour les Scienze esatte nell'Antica Grecia de M. Loria (REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES, janvier 1914), mais les circonstances me commandent impérieusement d'être aujourd'hui plus court. Voici donc un simple résumé qui fera suffisamment connaître le plan de l'auteur. J'y mets en relief, ce que l'ouvrage contient de plus saillant au point de vue de la Belgique.

I. La perspective depuis les origines jusqu'à la fin du XVIIIe siècle. 1. La perspective considérée comme branche auxiliaire de la peinture. 2. Premières recherches géométriques relatives à la perspective. — 3. Guidobaldo del Monte. 4. La perspective dans les Pays-Bas. M. Loria y parcourt successivement l'oeuvre de Stevin, celle de François d'Aguillon et celle de van Schooten. Il a en outre une page intéressante sur la perspective des frères van Eyck. Il serait plus exact de dire sur la curieuse faute systématique de perspective qui se remarque dans tous leurs tableaux et notamment dans leur chef-d'œuvre de l'Adoration de l'Agneau. A ce propos M. Loria rappelle l'important petit mémoire de Karl Doehlemann, Die Perspektive der Brüder Van Eyck, qu'aucun critique d'art ne devrait négliger, mais qui passa chez eux inaperçu, probablement parce qu'il parut dans la ZEITSCHRIFT FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK (t. 52, Leipzig, Teubner, 1905, pp. 419-425). 5. Desargues, ses partisans et ses adversaires. 6. Notes sur d'autres auteurs de perspective de moindre importance J'y remarque Tacquet. II. L'apogée de la perspective théorique. 1. La « Perspectiva » de 's Gravesande. 2. La « Linear Perspective » de Brook Taylor. 3. La « Freye Perspective » de Lambert. 4. Contributions apportées à la perspective théorique par la France et l'Italie.

III. La projection orthogonale double depuis les origines de la civilisation jusqu'à la fin du XVIIIe siècle. 1. Le dessin architectural dans lequel s'employaient naturellement deux projections orthogonales. 2. Le début de la stéréotomie. 3. La stéréotomie scientifique et Frezier. IV. La création de la stéréotomie descriptive scientifique. 1. Biographie de Monge. Ses premiers travaux. 2. Son premier « Traité de Géométrie

descriptive ». 3. Ses autres travaux sur la géométrie descriptive. 4. Lagrange et les débuts de la théorie des courbes d'erreur. V. Collaborateurs et élèves immédiats de Monge. VI. La géométrie descriptive en Italie. VII. Nouveaux progrès accomplis en France dans la géométrie descriptive. 1. Origine de la théorie scientifique des plans cotés. 2. La géométrie 'perspective. VIII. La géométrie descriptive en Allemagne. IX. La géométrie descriptive dans la Suisse allemande. X. La géométrie descriptive en Autriche-Hongrie. XI. La géométrie descriptive dans les autres pays d'Europe. 1. Belgique. M. Loria parle d'abord de Dandelin, Garnier et Quetelet. Puis, il parcourt en détail les travaux de Brasseur et notamment son Cours de géométrie descriptive. Enfin il termine par De Tilly, Verstraeten et Legrand. On éprouve quelque regret à ne pas y voir figurer le nom de Chomé, dont les ouvrages et le long enseignement à l'École militaire, notamment sous le général De Tilly, ont eu plus d'influence sur les progrès de la géométrie descriptive en Belgique, que les travaux d'aucun de ses compatriotes nommés ci-dessus. 2. Angleterre. 3. Espagne. 4. Portugal. 5. Hollande et Danemark. 6. Bulgarie.

XII. Histoire de l'axonométrie. 1. L'axonométrie orthogonale. 2. Le théorème de Gauss. 3. L'axonométrie oblique. 4. L'axonométrie perspective. 5. L'axonométrie comme procédé de représentation des figures. 6. Applications de l'axonométrie. XIII. Progrès réalisés en géométrie descriptive pendant ces trente dernières années. 1. Généralités sur la géométrie descriptive. Applications des méthodes classiques aux figures limitées par des droites et des plans. 2. Recherches théoriques sur les méthodes, tant anciennes que nouvelles. 3. Courbes planes et gauches. 4. Recherches sur les surfaces. 5. Modifications introduites dans la théorie de l'éclairage des surfaces. 6. Géométrie descriptive de l'espace réglé, des espaces d'ordre supérieur, ou d'un monde non-euclidien. 7. Méthodologie dans l'enseignement de la géométrie descriptive. Deux Belges y sont nommés: Massau et Chomé. Ouvrages sur l'histoire de la géométrie descriptive.

En poussant ainsi l'histoire de la géométrie descriptive jusqu'aux travaux les plus récents, M. Loria a fait plus que de nous donner une simple histoire de cette science; il nous