trouve dans la cellule animale. Le cytoplasme des végétaux comprendrait d'après lui trois sortes de formations le vacuome, le plastidome et le sphérome complètement diffétents entre eux par leur origine, leur nature et leur fonction. Le vacuome ou système vacuolaire, présentant à l'origine des formes mitochondriales, évoluerait en vacuoles types et contiendrait chez toutes les plantes de la métachromatine en solution, pouvant se précipiter sous forme de corpuscules. Il donnerait naissance aux corpuscules métachromatiques et aux pigments anthocyaniques.

Le plastidome comprenant les mitoplastes donnerait en se développant les différents plastes : leucoplastes, chloroplastes et chromoplastes.

Le sphérome en fin serait formé de microsomes, semblables par la forme et la taille aux mitochondries granuleuses, et possédant toujours un substratum protéique.

A. GRANDSIRE.

14 Mai 1922.

BIBLIOGRAPHIE

I. LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF, par ÉDOUARDGOURSAT, membre de l'Institut, professeur à la Faculté des Sciences de Paris.-- Un vol. gr. in-8°, de 386 pages.- Paris, Hermann, 1922.

LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX, par E. CARTAN, professeur à la Faculté des Sciences de Paris. Un vol. gr.. in-8°, de 210 pages. Paris, Hermann, 1922.

Ces deux ouvrages, reproduisant les très savantes leçons faites à la Faculté des Sciences de Paris par deux maîtres éminents, traitent de sujets entre lesquels existe une si intime corrélation qu'il nous a paru opportun de les réunir dans une commune analyse.

Une équation de Pfaff est, comme on sait, constituée par une forme linéaire de différentielles d'un nombre quelconque n de variables, égalée à zéro. Elle a pour solutions toutes les multiplicités de l'espace à ʼn dimensions, défini par ces variables prises pour coordonnées, le long desquelles cette équation est vérifiée. On peut donc regarder une équation de Pfaff comme une sorte de généralisation d'une équation aux différentielles totales. Il était donc tout naturel que M. Goursat consacrât à l'étude de telles équations un chapitre de ses célèbres Leçons sur les équations aux dérivées partielles du premier ordre. Mais, depuis qu'a paru la première édition, aujourd'hui épuisée, de cet ouvrage, le sujet a reçu des développements considérables de la part de divers géomètres parmi lesquels, à côté de M. Goursat lui-même, il convient de citer tout particulièrement M. Cartan. Ces géomètres ont trouvé avantage à se servir du langage et des procédés auxquels conduit la considération des équations de

Pfaff pour étudier et faire progresser les problèmes du calcul intégral. On peut, entre autres, rattacher à ce point de vue les résultats relatifs au problème (si étudié au moyen d'autres procédés, notamment par MM. Riquier, Delassus, Drach, Maurice Janet) qui consiste à déterminer la nature et, en quelque sorte, le nombre des solutions d'un système donné d'équations différentielles.

En préparant une nouvelle édition de l'ouvrage qu'on vient de rappeler, M. Goursat s'est proposé de donner un exposé systématique des procédés rencontrés dans cette voie nouvelle et des résultats qu'ils ont permis d'obtenir ; mais un tel exposé s'est trouvé tellement déborder le cadre d'un simple chapitre que l'auteur a été conduit à lui consacrer le volume à part qui vient de paraître.

Cet ouvrage ne suppose de la part du lecteur que la connaissance« des théorèmes classiques sur les systèmes complètement intégrables d'équations aux différentielles totales, théorèmes qui sont exposés dans tous les Traités d'analyse ».

Ainsi que l'auteur le fait ressortir dans sa Préface, les huit chapitres dont se compose l'ouvrage peuvent être répartis en trois groupes : « Les deux premiers chapitres sont consacrés au problème de Pfaff proprement dit » ; l'auteur y « expose les méthodes fondées sur les propriétés du covariant bilinéaire considéré d'abord par Frobenius et par G. Darboux ».

Dans les trois chapitres suivants, l'auteur « étudie les propriétés des formes symboliques de différentielles (formes extérieures de M. Cartan) et leur application au problème de Pfaff lui-même et à la théorie des invariants intégraux ».

Enfin, dans les trois derniers chapitres, l'auteur fait connaître « quelques-uns des progrès les plus récents acquis à la science, relatifs aux systèmes de Pfaff », progrès dont les plus importants sont dus à M. Cartan et font, en grande partie, l'objet de l'ouvrage dont il va être maintenant question.

Est-il bien utile d'ajouter que ce nouveau livre de M. Goursat est écrit avec le soin, la rigueur et la clarté que l'on retrouve dans toutes les productions de ce savant géomètre, et qui l'ont depuis longtemps classé comme un des premiers maîtres de l'art didactique dans l'ordre des hautes mathématiques ?

Quant au livre de M. Cartan, la conception même en est assez nouvelle. La théorie des invariants intégraux, fondée. comme on sait, par Poincaré et exposée par lui dans ses Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, avait jusqu'ici l'apparence de former un domaine un peu à part des mathématiques, se suffisant presque à lui-même. M. Cartan a habilement réussi à la présenter comme une partie d'une synthèse beaucoup plus vaste embrassant, en même temps que la théorie des formes différentielles invariantes, celle des équations de Pfaff, des équations canoniques, des équations aux dérivées partielles du premier ordre, des équations différentielles admettant des transformations infinitésimales, etc...., toutes ces théories s'éclairant mutuellement. On sait l'importance et la fécondité qu'offrent de tels rapprochements dans le domaine des mathématiques.

Pour parvenir à réaliser cette synthèse, M. Cartan a dû étendre la notion primitive d'invariant intégral à des ensembles d'états non nécessairement simultanés. On avait, il est vrai, déjà remarqué, mais de façon tout à fait incidente, la propriété d'après laquelle une forme différentielle susceptible de s'exprimer au moyen des seules intégrales premières, d'un système d'équations différentielles données, et des différentielles de ces intégrales premières, constitue un élément d'invariant intégral au sens de Poincaré; mais c'est M. Cartan qui, le premier, a su discerner la réciproque, c'està-dire établir le passage d'un invariant intégral de Poincaré à la forme différentielle invariante complète correspondante, et ç'a été là une acquisition de vaste conséquence. M. Goursat a, il est vrai, montré récemment (C. R. DE L'AC. DES Sc. du 24 avril 1922) qu'un tel passage peut être regardé comme résultant de deux opérations indiquées par Poincaré et par lui-même; mais jamais personne n'avait songé à recourir à ces deux opérations et à donner comme base à la théorie la notion de forme invariante; le mérite de M. Cartan à cet égard ne s'en trouve donc nullement entamé.

Sans entrer ici, à propos de l'analyse de cet ouvrage, dans des détails qui ne seraient à leur place que dans un recueil purement mathématique, nous signalerons rapidement quelques points où s'affirme plus particulièrement la contribution personnelle de l'auteur.

A ce point de vue, une mention spéciale est due au théorème général donné au chapitre IV, relativement au système caractéristique d'une forme différentielle, qui permet ensuite de faire en quelques lignes la théorie des expressions de Pfaff (Chap. XII) et de l'équation de Pfaff (Chap. XIV).

Le chapitre IX, où sont étudiés les systèmes différentiels qui admettent une transformation in finitésimale, mérite aussi une mention spéciale, particulièrement en ce qui concerne la formation d'intégraux en partant de transformations infinitésimales au moyen d'une opération, qui en comprend, comme cas particulier, une autre déjà signalée, notamment par M. Goursat, lorsque le temps n'entre pas explicitement dans les équations. On y remarque aussi une manière ingénieuse d'obtenir les intégrales premières classiques du problème des trois corps, en partant de la simple remarque que ce problème admet les transformations du groupe de Galilée, et aussi l'invariant intégral w,, de Poincaré en ne faisant intervenir que des considérations d'homogénéité.

Il est très intéressant de voir, au chapitre XIV, comment les différentes méthodes classiques d'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre (Cauchy, Lagrange, Jacobi) peuvent être rattachées au point de vue nouveau développé dans l'ouvrage. On rencontre, au même chapitre, un important théorème d'après lequel la connaissance de deux intégrales premières, non en involution, des caractéristiques d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre entraîne, pour ces équations caractéristiques, la connaissance d'un invariant intégral linéaire.

Parmi les parties les plus originales du livre, on peut encore citer le chapitre XV relatif aux équations différentielles qui admettent plusieurs invariants intégraux linéaires, où se rencontre l'esquisse d'une méthode générale applicable à un système quelconque d'équations différentielles admettant des formes invariantes, des équations de Pfaff invariantes etc., et aussi, le chapitre XVI qui contient une exposition nouvelle de la théorie des équations différentielles admettant des transformations infinitésimales données, avec application remarquable à divers exemples classiques.

Au chapitre XVII où application est faite des théories précédentes au problème des n corps, l'introduction d'un