on ne l'a surpris en flagrant délit de paralogisme. Puisqu'il affirme avoir démontré le théorème, il faut le croire jusqu'à preuve du contraire. On m'objectera, je le sais, les nombres de la forme

N = 22 + 1.

Fermat les croyait toujours premiers, quel que soit k; ce qui a été reconnu inexact par Euler (1), puisque

5

22° +1

+1-4294067297 -6700417.641.

Il n'y a pas de parité entre les deux cas. Les termes dans lesquels Fermat formule cette dernière proposition sont en effet très différents de ceux qu'il emploie pour la première. La proposition erronée se rencontre à trois reprises dans ses (Eurres. Fermat, il est vrai, était convaincu de la vérité de son théorème; mais chaque fois qu'il le donna, il y mit des réserves. A la fin de La dissertation tripartite, il ne l'énonça qu'en le faisant précéder des mots quum apud me constet; je regarde comme certain » (2). C'est cependant celle des trois circonstances où le conseiller au Parlement de Toulouse parla le langage le plus ferme; car au mois d'août 1640, après avoir communiqué le théorème à Frénicle, il lui dit en termes exprès (3): « je n'en ai pas la démonstration exacte, mais j'ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j'ai de si grandes lumières qui établissent ma pensée, que j'aurai peine à me dédire ». Enfin, quatorze ans plus tard, le 2 août 1654, il avoua non moins franchement à Pascal, qu'il n'en avait pas encore découvert de démonstration satisfaisante (4).

« Songez, lui dit-il, si vous le trouvez à propos à cette proposition.

>> Les puissances quarrées de 2, augmentées d'une unité, sont toujours des nombres premiers.

» Le quarré de 2 augmenté de 1 fait 5, qui est nombre premier.

(1) Observationes de theoremate quodam Fermatiano, aliisque ad numeros primos spectantibus. Auctore Leonh. Eulero. COMMENTARII ACADEMIAE SCIENTIARUM IMPERIALES PETROPOLITANAE. AD ANNOS MDCCXXXII et MDCCXXXIII, t. VI, Petropoli, 1738, pp. 104-105.

(2) OEuvres de Fermat, t. I, Paris, Gauthier-Villars, 1891, p. 131. (3) OEuvres de Fermat, t. II, Paris, id., p. 208.

(4) OEuvres de Fermat, t. II, pp. 309–310.

» Le quarré du quarré fait 16 qui, augmenté de l'unité fait 17, nombre premier.

» Le quarré de 16 fait 256 qui, augmenté de l'unité, fait 257, nombre premier.

» Le quarré de 256 fait 65 536 qui, augmenté de l'unité, fait 65 537, nombre premier.

» Et ainsi à l'infini.

>> C'est une propriété de la vérité de laquelle je vous réponds. La démonstration en est très malaisée et je vous avoue que je n'ai pu encore la trouver pleinement. Je ne vous la proposerais pas pour la chercher si j'en étais venu à bout. >>

Nous sommes loin, on le voit, de l'assurance d'un Fermat se disant comme tantôt possesseur « d'une démonstration merveilleuse» de son théorème! L'erreur découverte par Euler ne préjuge rien contre l'exactitude du dernier théorème encore à démontrer. Aussi en est-il peu qui aient donné lieu à autant de recherches. Pourquoi la confiance en la parole du maître, pourquoi l'amour désintéressé de la science n'ont-ils pas été les seuls mobiles de tant d'efforts? Le mirage du grand prix de 100 000 marks, dont dispose l'Académie de Gottingue, y a trop souvent contribué. M. Lind a cru faire chose utile, en décourageant les chercheurs incapables. Sa brochure empêchera en même temps les savants sérieux de piétiner sur place, ou de s'engager dans des voies reconnues sans issue. La première partie résume les résultats acquis. La seconde contient l'histoire des essais de solution du problème. La troisième est consacrée à la bibliographie du sujet. La quatrième enfin parait ajoutée après coup et vient compléter la première.

H. BOSMANS, S. J.

III

JACOBI DE BILLY DOCTRINAE ANALYTICAE INVENTUM NOVUM, FERMATS AN BILLY ENTNOMMEN. Herausgegeben und übersetzt von PAUL VON SCHAEWEN. Un vol. in-8° de 143 pages. Berlin, Otto Salle, 1910.

Jacques de Billy naquit à Compiègne, en 1602, et entra dans la Compagnie de Jésus, en 1619. Il professa les mathématiques, fut recteur de Châlons, Sens, Langres, et mourut à Dijon, le

ex

14 janvier 1679. Il doit sa célébrité au Doctrinae Analyticae inventum novum, collectum a R. P. Jacobo de Billy, S. J., variis epistolis, quas ad eum diversis temporibus misit D. P. de Fermat, Senator Tolosanus, imprimé en tête de l'Arithmetica Diophanti Alexandrini, cum commentariis Claudii Gasparis Bacheti et observationibus Petri de Fermat (1). L'Inventum novum n'a plus été réédité depuis, mais Paul Tannery en a donné une traduction française, au tome III de son édition des Œuvres de Fermat (2). Traduction beaucoup trop libre au gré du nouvel éditeur, M. Paul von Schaewen, et qui contient des inexactitudes. Ces inexactitudes sont-elles de vraies fautes ? M. von Schaewen ne le dit pas et le temps m'a fait défaut pour confronter le texte de Tannery avec l'original latin et me former, par moi-même, une opinion.

Quant à la liberté laissée aux traducteurs des auteurs anciens, Tannery avait à ce sujet des idées personnelles parfaitement défendables, exposées dans la préface du tome III des Euvres de Fermat (3), précisément à l'occasion de sa traduction de l'Inventum novum. M. von Schaewen suit une autre règle: s'attacher au texte d'aussi près que possible. Une traduction, quoiqu'on fasse, ne remplacera jamais un original; il est donc bien permis de se mettre, en traduisant, à des points de vue différents. Le service rendu par M. von Schaewen consiste cependant beaucoup plus à nous avoir donné de l'Inventum novum un texte latin facilement accessible, qu'à l'avoir traduit en allemand d'une manière tout à fait littérale. Son édition se termine par des corrections et des remarques utiles. C'est en définitive un bon travail.

H. B.

IV

LEÇONS SUR LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE, professées au Collège de France par L. ZORETTI (Ouvrage faisant partie de la Collection de Monographies sur la théorie des fonctions, publiées sous la direction de M. Emile Borel). 1 vol. in-8 de 115 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1911.

(1) Toulouse, 1670, pp. 1-36.

(2) Pp. IX-XII.

(3) Pp. 325-398.

Les leçons qu'au Collège de France la fondation Peccot permet, à tour de rôle, de confier à de jeunes savants, auteurs de recherches originales, constituent l'une des sources où s'alimente le plus volontiers la Collection Borel. Après M. Borel lui-même (dont M. Zoretti a précisément rédigé naguère les leçons sur les fonctions méromorphes), après MM. Lebesgue, Baire, Boutroux, M. Zoretti vient de faire prendre la forme du livre aux leçons qu'il a été appelé à donner dans ces conditions au Collège de France, et qui ont eu pour sujet le prolongement analytique.

Le but essentiel poursuivi par l'auteur ressort de ces quelques lignes de sa préface: « J'ai voulu étudier dans ses dernières conséquences la belle définition de Weierstrass de la fonction. analytique. Systématiquement, méthodes et résultats n'empruntent rien aux points de vue de Cauchy et de Riemann. On verra comment on peut, en creusant simplement la définition du prolongement analytique, soit parvenir à des théorèmes importants par leur généralité, soit éclairer d'un jour nouveau des résultats anciens, comme par exemple le théorème de M. Picard. On verra aussi combien nombreuses et intéressantes sont les questions qu'on est amené à se poser. Elles sont d'ailleurs de celles qu'on ne peut pas indéfiniment éluder : la théorie analytique des équations différentielles, la théorie même des fonctions entières ont de plus en plus leur développement ultérieur lié au progrès des théories dont il est question ici. »

Au reste et c'est un des principaux attraits de cette très vivante collection- l'ouvrage n'a pas le ton doctrinal qui convient à l'exposé des parties de la science que l'on peut regarder comme faites; c'est bien plutôt, dans le domaine où il s'est placé, à la formation de la science qu'en toute liberté d'allure il nous initie. « On trouvera dans ce livre, dit l'auteur à la fin de son Introduction, plus de questions signalées que de questions résolues. On ne doit pas s'en étonner, le sujet étant presque neuf. J'ai surtout voulu indiquer l'état de la question, les différentes directions suivies jusqu'ici et les difficultés auxquelles on se heurte. >>>

On sait qu'un des instruments qui interviennent aujourd'hui · de la façon la plus essentielle dans les développements relatifs à la théorie des fonctions est constitué par la théorie des ensembles. Ainsi que l'auteur en fait la remarque, elle commence à devenir classique en France, grâce, en particulier, ajouteronsnous, au premier des volumes publié, en 1898, par M. Borel

lui-même dans sa Collection. Il n'en reste pas moins que, suivant le sujet abordé, il convient d'insister davantage sur tel ou tel des points de vue qu'offre cette théorie. C'est pourquoi déjà plusieurs des auteurs de la Collection ont été amenés à revenir, sous forme de prolégomènes, sur certains détails de cette théorie; c'est pourquoi M. Zoretti est conduit à consacrer tout le premier chapitre de son livre aux ensembles de points, afin de mettre en évidence un certain nombre de leurs propriétés dont il a besoin par la suite et qui ne figurent pas parmi celles qu'on peut considérer comme classiques ».

Abordant, au Chapitre II, la notion de fonction analytique, l'auteur y approfondit les considérations relatives aux points singuliers en faisant nettement saillir les difficultés très subtiles que présente leur étude, dans le cas de fonctions multiformes, en même temps que pressentir tout le parti qu'on peut attendre, pour vaincre ces difficultés, d'une connaissance plus avancée des propriétés des surfaces à infinité de feuillets que M. Poincaré a été amené à introduire en ce domaine en généralisant la conception classique de Riemann, relative aux fonctions algébriques.

Le Chapitre III, consacré aux fonctions entières, a pour objet principal une démonstration, uniquement fondée sur la notion du prolongement analytique, du théorème fondamental de Weierstrass généralisant celui de Liouville sur les séries entières convergentes dans tout le plan.

Au Chapitre IV, l'auteur étudie les ensembles parfaits discontinus de singularités qui se rencontrent notamment dans toute une catégorie des fonctions fuchsiennes de M. Poincaré. On sait, au reste, que ce sont les mémorables travaux de M. Painlevé sur les solutions à points critiques fixes des équations différentielles qui ont conduit cet éminent géomètre à se poser le problème de rechercher quelle peut être l'allure de la fonction dans le cas d'un ensemble discontinu de singularités. M. Zoretti rappelle les résultats obtenus par ce savant, sans oublier la contribution personnelle qu'il y a ajoutée pour sa part et montre, par un exemple frappant, dù à M. Pompeiu mais rendu entièrement probant à cet égard par M. Denjoy, le danger de généralisations trop hâtives auxquelles on pourrait se laisser conduire par certaines intuitions d'ordre géométrique. Et il insiste à cette occasion sur la nécessité de considérer comme insuffisants les raisonnements de la théorie des fonctions où l'intuition de l'espace est invoquée sans qu'on démontre logiquement en partant