roïdale, comme le reste des Océans. Mais il suffit de jeter les yeux sur une carte pour voir que la base septentrionale, dont les trois sommets correspondent sensiblement au massif des Alpes, aux plateaux de l'Himalaya et aux Montagnes Rocheuses, est plus petite que les trois autres. L'écorce terrestre, plus lourde que l'eau des Océans, est donc refoulée dans la direction de l'axe polaire, et le moment d'inertie autour de cet axe, qui intervient effectivement dans la théorie de la précession, est plus petit que le moment théorique calculé dans l'hypothèse que la terre est un sphéroïde composé de couches régulières. Ainsi s'explique la contradiction signalée autrefois, et Callandreau avait parfaitement reconnu la justesse de ces observations. La mort est venue le surprendre malheureusement avant qu'il ait pu leur donner suite.

Notre regretté confrère A. de Lapparent promit alors d'intervenir pour faire corriger ces erreurs et rétablir la vérité; la mort vint l'enlever à son tour.

Le physicien Cornu, par l'intermédiaire duquel avait été faite la modification de 1899, était lui-même décédé en 1902. C'était vraiment décourageant.

Nous avions donc pris le parti de voir la formule erronée, comme la légendaire sentinelle placée auprès du banc fraîchement peint, renouvelée indéfiniment. Nous sommes heureux de trouver enfin dans l'ANNUAIRE de 1909 la rectification demandée depuis si longtemps. La Commission en a profité pour corriger également le diamètre du Soleil reproduit aux Principaux éléments du système solaire, conformément à la valeur déjà adoptée pour le même élément dans le chapitre consacré au Soleil, valeur qui résulte de la parallaxe 8",80.

Vte DU LIGONDÈS.

BIBLIOGRAPHIE

I

EXERCICES ET LEÇONS D'ANALYSE, par R. D'ADHEMAR. Quadratures. Equations différentielles. Equations intégrales de M. Fredholm et de M. Volterra. Equations aux dérivées partielles du second ordre. Un vol. in-8° de VIII-208 pages. - Paris, GauthierVillars, 1908.

Soucieux de l'intérêt des étudiants, M. d'Adhémar leur offre un ouvrage d'un genre nouveau et qui sera certainement bien accueilli. Voici, en effet, avec une ample collection d'exercices sur les théories classiques de l'analyse, une véritable introduction à l'une des questions les plus vastes et les plus attrayantes qui sollicitent en ce moment les efforts des géomètres. De là le double caractère du livre élémentaire dans les exercices et tout d'actualité dans les leçons.

Le livre débute par une introduction où sont exprimés avec clarté et précision les théorèmes et les formules principales qu'il faut connaitre pour résoudre les exercices. Courbes et surfaces; intégrales et séries; variables complexes; existence des solutions des équations différentielles : c'est en vingt pages la récapitulation d'un cours de calcul différentiel et intégral.

Les exercices absorbent la première moitié ou les cent premières pages du livre et sont divisés en trois chapitres :

Le chapitre I se recommande tout particulièrement par les applications élégantes des théorèmes de Cauchy qu'il propose comme problèmes de quadratures sur les variables complexes. La manière de varier les contours d'intégration suivant la nature des fonctions et de leurs points singuliers est particulièrement propre à éveiller l'intérêt des étudiants et à leur faire entrevoir la puissance merveilleuse de l'instrument imaginé par Cauchy. Nous n'avions guère jusqu'à présent que les exercices de Tisse

rand-Painlevé sur cette question, on saura un gré tout particulier à l'auteur de nous en offrir une nouvelle série.

Le chapitre II contient des applications de la théorie des résidus, le développement de cot x en série d'éléments simples; eafin de nombreux problèmes sur les équations différentielles et les applications géométriques, posés la plupart à l'examen pour le certificat de calcul différentiel et intégral.

Le chapitre III s'ouvre par une démonstration aussi simple qu'élégante, due à STIELTJES, de la formule d'Olinde Rodrigues qui exprime les polynomes Xn de Legendre. Viennent ensuite des démonstrations, toujours heureusement choisies, et inspirées des cours de Picard, Hermite, etc., se rapportant aux fonctions de Bessel, aux fonctions Bèla et Gamma et à la fonction Zeta de Riemann.

Nous arrivons maintenant à la partie la plus originale et la plus intéressante du livre, où l'auteur, ainsi qu'il le dit lui-même, « esquisse le contour de quelques leçons sur des sujets dont l'étude est récente ». Ces leçons se réfèrent toutes plus ou moins directement à la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre. Les dimensions restreintes d'un compte rendu ne nous permettent d'en faire ici qu'une analyse très incomplète.

Les équations du second ordre se classent, d'après la nature de leurs caractéristiques, en types elliptiques, hyperboliques et paraboliques.

On se rappelle que nous avons analysé ici même (juillet 1907) un excellent traité que M. d'Adhémar a fait paraître il y a deux ans Sur les équations aux dérivées partielles à caractéristiques réelles (Collection Scientia »). Mais M. d'Adhémar s'était alors attaché plus particulièrement aux équations du type hyperbolique, théorie à laquelle il avait d'ailleurs apporté lui-même une contribution importante. Dans l'ouvrage actuel, il résume tous ces anciens résultats; il les complète aussi. Nous avons particulièrement à signaler les recherches de M. Holmgren et de nouvelles applications de la théorie des approximations successives de M. Picard, dont l'auteur a très heureusement pu mettre les leçons à profit.

C'est aussi avec grand plaisir que nous voyons l'auteur étendre le champ de ses leçons aux équations du type elliptique, dont on sait que M. Fredholm a complètement renouvelé la théorie. L'équation de Laplace est la plus importante des équations du type elliptique (ou à caractéristiques imaginaires) et l'un des problèmes les plus importants de la physique mathématique, le

problème de Dirichlet, consiste à déterminer l'intégrale de cette équation par ses valeurs données sur un contour fermé. On sait les belles solutions que MM. Schwarz et Poincaré ont données autrefois à cette question et que l'admirable traité d'analyse de M. Picard a rendues classiques. Cependant ces solutions n'étaient pas définitives. M. Fredholm est arrivé à une solution plus complète, plus intéressante en elle-mème au point de vue de l'analyse pure, et cela, chose extrêmement remarquable, en revenant à la théorie physique elle-mème d'où le problème de Dirichlet était sorti, c'est-à-dire à la théorie du potentiel.

Le chapitre IV du livre de M. d'Adhémar débute done par une introduction, qui contient les principales formules (quelquesunes récentes) de la théorie du potentiel de simple et de double couche.

Le problème de Dirichlet se résout à l'aide d'un potentiel de double couche, celui de Neumann à l'aide d'un potentiel de simple couche. La détermination de ces couches dépend de la célèbre équation intégrale à laquelle Fredholm a attaché son

nom:

© (x) + S¦ f (x, $) © (s) ds = w(r) ;

fet étant connus, il faut déterminer (s). Cette équation a été l'objet dans ces derniers temps de travaux considérables et de toute première valeur. M. d'Adhémar y consacre un chapitre entier.

Le chapitre V traite les équations des types hyperboliques et paraboliques. J'ai déjà parlé du type hyperbolique, je n'ajouterai qu'un mot sur le type parabolique dont la théorie est beaucoup moins avancée. Il semble encore que les équations intégrales doivent y jouer un rôle considérable. C'est ce qui détermine l'auteur à traiter deux équations intégrales importantes, celle d'Abel et celle de Volterra. Cette dernière, très voisine de celle de Fredholm écrite ci-dessus, s'en déduit en intégrant de 0 às au lieu de 0 à 1.

Un dernier chapitre renferme encore les énoncés (sans solution) d'une cinquantaine de problèmes bien choisis et généralement élémentaires. Enfin une Note bibliographique termine l'ouvrage et complète les renseignements bibliographiques déjà nombreux donnés au cours de texte.

Mon but sera atteint, dit l'auteur, si j'ai amené quelques jeunes étudiants à réfléchir sur quelque haute question et si j'ai réussi

à montrer des faits intéressants, à aiguiser la curiosité de quelque lecteur. Les faits intéressants, les rapprochements suggestifs, les remarques faites à propos sur quelque point de grande importance doctrinale, tout cela abonde dans l'ouvrage de M. d'Adhémar et les étudiants qui le prendront pour guide en peuvent assurément tirer grand profit.

C. DE LA VALLÉE POUSSIN.

II

Études nouvelles sur l'Astronomie, par CH. ANDRÉ et P. PUSEUX. LA TERRE ET LA LUNE, forme extérieure et structure interne, par P. PUISEUX, astronome de l'Observatoire de Paris. Gr. in-8° de 176 pp. avec 51 figures et photographies lunaires et deux planches géographiques. - Paris, Gauthier-Villars, 1908.

« Éclairer par l'étude de la Terre celle des autres corps célestes », telle est l'oeuvre que se proposent de mener à bien MM. Ch. André et P. Puiseux sous le titre général qui figure en tête des intitulés ci-dessus.

Le premier volume de ces Études a, comme on le voit, la Terre et la Lune pour objet, et M. P. Puiseux pour auteur. Sa division en deux parties est indiquée par son titre particulier.

1. La Terre. Dans la première, où l'auteur s'occupe exclusivement du globe que nous habitons, on peut relever deux divisions, bien qu'elles ne soient pas désignées sous des rubriques, l'une historique et qui se renferme dans les trois premiers chapitres, l'autre plutòt descriptive, qui comprend les chapitres IV à VII.

L'aperçu historique part de Thalès de Milet qui, le premier, aurait enseigné la sphéricité de la Terre et son isolement dans l'espace. Sans nommer l'École pythagoricienne qui cependant. considérait, elle aussi, la Terre comme sphérique, l'auteur mentionne Platon, Aristote et notamment Eratosthène qui, heureusement servi par le hasard, obtint pour la longueur de la circonférence de la Terre, supposée sphérique, un résultat trop fort, mais voisin de la réalité. Il avait constaté que le Soleil passe au zénith de Syène, ville de la Haute Égypte, le jour du solstice d'été. Il mesura le même jour, à Alexandrie, située au nord de Syène, la hauteur méridienne du soleil: le complément de cette hauteur

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lui donna de la circonférence, pour la différence des latitudes

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