approfondie de la polhodie et de l'herpolhodie. Effet des percussions. Mouvement d'un solide pesant (cas de Lagrange et de Poisson). Intégration approchée des équations dans le cas d'une rotation initiale très grande autour de l'axe de révolution du corps. Pendule sphérique composé. Effet gyroscopique et tendance des axes de rotation au parallélisme. Gyroscope de Foucault.

Chapitre IV. Mouvement d'un solide libre. La partie la plus neuve et la plus intéressante de ce chapitre est consacrée au mouvement des projectiles d'artillerie. Cette théorie est empruntée à un mémoire autographié de M. Esclangon, rédigé à Gavre pendant la guerre, dans lequel le savant professeur de Strasbourg introduit les notions d'axe d'équilibre dynamique et de coefficient d'amortissement qui nous paraissent d'un intérêt capital. L'auteur s'occupe encore, dans ce chapitre, de la précession des équinoxes et fait ensuite une étude approfondie de l'effet des percussions sur un solide libre et du choc des corps solides, sans omettre le cas où il faut faire intervenir le frottement.

Chapitre V. Mouvement d'un solide pesant s'appuyant sur un plan horizontal fixe. Mouvement de la toupie sur un plan parfaitement lisse. Mouvement du cerceau, traité d'abord par l'application des théorèmes généraux, ensuite par la méthode de M. Appell qui permet d'étendre les équations de Lagrange à certains systèmes non holonomes. Théorie de la bicyclette d'après les recherches de Carvello et surtout d'après le Mémoire de M. Bourlet.

Chapitre VI. Applications des propriétés gyroscopiques. L'auteur expose, en une centaine de pages, les applications récentes les plus remarquables des gyroscopes: Le monorail Brennan, qui a été réalisé avec succès en Angleterre, la stabilité du wagon étant assurée par des tores dont la rotation est entretenue par des dynamos; le gyroscope collimateur de Fleuriais, utilisé dans la marine, qui permet de déterminer la verticale et de réaliser l'horizon quand celui-ci échappe à l'observation directe; le gyroscope Obry, qui dirige les torpilles automobiles Witchead; les gyroscopes Auschutz et Sperry, qui commencent à remplacer à bord des navires les compas magnétiques. Ces compas gyroscopiques, qui s'inspirent des mêmes principes que le gyroscope de Foucault,

remplacent le compas magnétique lorsque les indications de celui-ci sont faussées, comme cela se produit à bord des cuirassés et encore plus fatalement à bord des sous-marins.

Nous pouvons recommander sans crainte cet ouvrage à ceux qui désirent acquérir rapidement des connaissances précises sur l'état actuel de la mécanique du corps solide Sa lecture n'exige que les connaissances mathématiques acquises par tout ingénieur.

C. DE LA VALLÉE POUSSIN.

V.— INTRODUCTION A LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ. CALCUL DIFFÉRENTIEL ABSOLU ET GÉOMÉTRIE, par H. GALBRUN, docteur ès sciences, actuaire de la Banque de Paris et des Pays-Bas. Un vol. grand in-8° de 457 pages. - Paris, Gauthier-Villars, 1923.

C'est devenu un peu un lieu commun de constater que certaines théories de mathématiques pures, conçues par leurs auteurs in abstracto et sans nul souci de leur adaptation ultérieure à l'étude de certains faits physiques, se trouvent devenir, a posteriori, l'outil par excellence d'une telle étude Pareille réflexion se présente à l'esprit lorsqu'on envisage le calcul différentiel absolu, d'abord institué par M. Ricci en vue de certaines recherches géométriques, puis adapté par M. Levi-Civita à l'étude des espaces non euclidiens conçus comme des variétés baignées dans un espace euclidien d'un nombre supérieur de dimensions, et qui est devenu, entre les mains d'Einstein, la clef de l'explication géométrique de la gravitation universelle. Or, il n'est pas facile de se rendre maître des principes de cette nouvelle discipline par la lecture des mémoires originaux où elle a puisé sa source, mémoires dont la portée dépasse en réalité l'objet particulier que l'on a ici en vue, et qui, au surplus, n'ont pas été rédigés par leurs auteurs sous le coup de préoccupations didactiques. C'est donc un signalé service que M. Galbrun a rendu à ceux qui étudient spécialement les mathématiques en vue de leurs applications à la physique en rédigeant à leur intention un exposé, soigneusement mis au point, du calcul différentiel absolu désigné aussi parfois sous le nom de calcul tensoriel, y compris son adaptation à l'étude des

IVe SÉRIE. T. IV.

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espaces, euclidiens ou non, à un nombre quelconque de dimensions.

Les méthodes de ce calcul, qui permettent de donner aux équations de la géométrie et de la physique une forme indépendante du choix du système de coordonnées, reposent sur la considération des systèmes primitivement envisagés par MM. Ricci et Levi-Civita, et désignés, d'après M. Grossmann, sous le nom de tenseurs covariants et contrevariants. Les propriétés fondamentales de ces tenseurs, ainsi que les opérations auxquelles ils donnent lieu, font l'objet du Chapitre I.

En utilisant certaines formules établies par Christoffel, MM. Ricci et Levi-Civita, pour parer aux difficultés provenant de ce que la propriété de covariance ou de contrevariance d'un système de fonctions disparaît dans la dérivation, ont établi la notion des dérivées tensorielles, résultant de la considération d'expressions linéaires par rapport aux dérivées partielles des composantes d'un tenseur et jouissant de la propriété d'être elles-mêmes covariantes ou contrevariantes. La théorie de ces dérivées tensorielles occupe le Chapitre II.

Le Chapitre III est consacré à l'étude des tenseurs du premier et du second ordre et clôt ce qu'on peut regarder comme le pur exposé des principes.

Avec le Chapitre IV s'ouvrent les applications à la géométrie et à la mécanique qui, à la vérité, doivent être tenues comme partie intégrante du corps de doctrine, dont le sens véritable ne peut être saisi indépendamment de ses rapports avec l'étude des faits de cet ordre.

Le Chapitre V contient l'exposé des principes de la géométrie euclidienne à n dimensions, envisagés du point de vue de Riemann, c'est-à-dire lorsque l'on prend comme base la forme quadratique fondamentale exprimant le ds' dans un tel espace.

De là, au Chapitre VI, l'auteur passe aux espaces non euclidiens, auxquels on est conduit en envisageant une forme quadratique fondamentale dont les coefficients ne sont plus constants, et qui apparaissent, d'après les idées de M. LeviCivita, comme des sections d'espaces euclidiens à un plus grand nombre de dimensions. C'est ici que s'introduit la

notion des lignes géodésiques possédant, en un tel espace, une des propriétés invariantes de la droite dans l'espace euclidien.

Cette vue profonde de M. Levi-Civita, qui consiste à regarder tout espace non euclidien comme une variété baignant dans un espace euclidien, conduit, moyennant la théorie du déplacement parallèle, à l'extension à l'espace le plus général des notions acquises dans la géométrie ordinaire des surfaces, notamment de celle de courbure qui joue un rôle essentiel dans les théories einsteiniennes. Ces développements, du plus haut intérêt, donnent naissance au Chapitre VII.

Cette extension de la géométrie des surfaces, dans le cadre de laquelle M. Einstein a développé toute sa théorie de la relativité pour aboutir à sa remarquable explication des phénomènes de la gravitation, a été reprise suivant une autre voie par M. Weyl qui, au prix, d'ailleurs, d'une complication plus grande dans les principes, est parvenu à englober, dans une synthèse unique, à la fois, les phénomènes de la gravitation et ceux de l'électromagnétisme. Cette géométrie de M. Weyl fait l'objet du Chapitre VIII.

Le Chapitre IX, qui traite des espaces de Galilée dans la mécanique rationnelle et dans les théories électromagnétiques, est directement inspiré des idées émises par M. Painlevé sur les axiomes de la m ́canique. Cette étude fait ressortir de la façon la plus nette les difficultés que comporte la confrontation des conséquences de l'application des équations de Maxwell avec les faits que révèle l'expérience de Michelson et connaître les tentatives de Hertz et de M. Lorentz en vue d'aboutir à leur pleine conciliation.

C'est, pour la première fois, la réforme beaucoup plus profonde introduite par M. Einstein, à la base même de ces théories physiques, qui a abouti à une explication pleinement cohérente de l'ensemble de ces phénomènes ramenés à une synthèse unique. Cette réforme repose, comme on sait, sur cette idée puissamment originale que la transformation de coordonnées qui fait passer d'un espace de Galilée à un autre doit porter non seulement sur les trois coordonnées d'espace, mais aussi sur le temps. De là, l'origine de la théorie de la relativité restreinte dont, au Chapitre X, l'au

teur expose les principes sous une forme bien faite pour plaire aux mathématiciens, et qui ne peut marquer de leur paraître parfaitement claire.

S'étant borné jusque là au cas particulier d'un diélectrique, en se plaçant au point de vue des phénomènes lumineux, l'auteur, pour traiter le cas général, a reccurs au mémoire fondamental dans lequel Minkowski a eu recours au principe de relativité en vue de déduire des équations de Maxwell celles de l'électrodynamique des corps en mouvement. Telle est la matière du Chapitre XI, d'une non moindre valeur que le précédent pour les mathématiciens.

Dans une sorte de chapitre additionnel, M. Galbrun dévcloppe sur la cinématique de la relativité quelques remarques suggestives propres à jeter plus de lumière sur ce sujet délicat aux yeux de ceux qui sont aptes à l'envisager du point de vue mathématique.

D'un bout à l'autre, cet cuvrage témoigne chez son auteur d'une remarquable habileté à manier l'instrument analytique. Qu'il nous soit permis aussi, bien que cette considération soit évidemment d'ordre un peu accessoire, de louer la perfection d'une exécution typographique particulièrement difficile en raison de la ccmplication des notations, et qui vient, une fois de plus, consacrer à cet égard la réputation de la maison Gauthier-Villars.

PH. DU P.

EXPOSÉ GÉNÉRAL DU PRINCIPE DE RELATIVITÉ ET DES THÉORIES D'EINSTEIN, par E. BARRÉ, chef de bataillon du génie, Docteur ès sciences, Répétiteur à l'École Polytechnique (Ouvrage faisant partie de la Bibliothèque de synthèse scientifique.) - Un vol. in-80 de 126 pages. Paris, Chiron, 1923.

En dehors des mathématiciens professionnels pour qui ont été rédigés des exposés des théories einsteiniennes spécialement adaptés à leurs habitudes d'esprit comme celui de M. Calbrun, il se trouve encore d'autres catégories de lecteurs susceptibles de s'intéresser à ces nouveautés. Pour les esprits simplement curieux, mais étrangers aux sciences mathématiques, divers essais de vulgarisation ont même été tentés en vue de donner une idée de ces notions