connaître l'instrument analytique sur l'emploi duquel est fondé le développement de cette mécanique de la relativité : le calcul tensoriel, qui n'est au fond qu'une exposition systématique, avec des notations heureuses, des théories relatives aux formes et aux transformations linéaires.

Il ne faudrait pas croire, au reste, que l'utilité de ce calcul tensoriel, mise tout particulièrement en relief, il est vrai, par la théorie de la relativité, se bornât à cette seule application. Le champ de ses applications est, au contraire, 'extrêmement vaste dans tout le domaine de la mécanique. L'exposé de ses éléments est donc tout naturellement à sa place dans un traité comme celui-ci.

C'est le cours professé sur ces matières, en 1922, à l'Université de Strasbourg, par M. Thiry, qui a fourni le fond de cet exposé, à l'exception du premier et du dernier chapitre, inspirés de la rédaction d'un cours de M. Émile Borel (gendre de M. Appell, comme on sait), faite par un de ses auditeurs, M. Mineur.

Le chapitre I constitue un rappel des propriétés fondamentales des formes linéaires et quadratiques.

C'est au chapitre II que se trouvent exposés, avec une parfaite clarté, les éléments du calcul tensoriel qui joue par rapport aux espaces à un nombre quelconque de dimensions le rôle du calcul vectoriel par rapport à l'espace euclidien à trois dimensions, lorsqu'on suppose, d'ailleurs, les coordonnées non plus seulement rectilignes, mais curvilignes quelconques. Ayant d'abord défini les notations et les termes usités dans cette discipline spéciale, notations dont il faut, bien entendu, prendre tout d'abord l'habitude, mais dont on arrive bien vite à reconnaître la simplicité et la commodité, les auteurs précisent les opérations auxquelles on peut soumettre les systèmes tensoriels, opérations dont l'ensemble constitue ce qu'on appelle l'algèbre tensorielle. En vue de préparer l'étude des espaces dont les propriétés sont tributaires de cette algèbre spéciale, ils commencent par introduire la notion importante des lignes géodésiques. Lorsque, abandonnant le point de vue purement local, on en arrive à raisonner sur des tenseurs attachés à des points différents d'une même multiplicité, on doit commencer, conformément à l'esprit des méthodes de la

géométrie infinitésimale, par chercher à comparer deux tenseurs attachés à des points très voisins. Cette étude fait l'objet de l'analyse vectorielle où interviennent les notions de dérivation covariante, de dérivation contrevariante et de dérivation tensorielle. Les dérivations covariantes successives introduisent la notion fondamentale du tenseur de Riemann-Christoffel dont les auteurs établissent très simplement toutes les propriétés essentielles. Le chapitre se termine par un résumé fort utile des règles et formules du calcul tensoriel.

Afin de faire apparaître toute la souplesse et la fécondité de ce mode spécial de calcul, les auteurs en donnent, au chapitre III, d'intéressantes applications se rapportant à l'espace euclidien à trois dimensions, ce qui peut passer pour une sorte d'entraînement à l'emploi de ce même calcul pour l'étude des espaces à un nombre quelconque de dimensions, et qui a, en même temps, l'avantage d'éclairer d'un jour nouveau certaines questions de mécanique classique, comme celles qui se rencontrent dans l'étude du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, de la déformation d'un milieu continu, des efforts se développant en un tel milieu, des équations, enfin, de son équilibre élastique.

De même, les chapitres IV et V font connaître l'application du calcul tensoriel à la géométrie des espaces cuclidiens et riemanniens à n dimensions.

Le chapitre VI enfin résume l'essentiel de la géométrie de Weyl, y compris un aperçu des travaux fort importants de M. Cartan, qui correspondent à un échelon plus élevé encore dans la voie de la généralisation.

Sous le titre d'Aperçus de géométrie cayleyenne, le chapitre VII, dont la matière est empruntée à un cours de M. Borel, forme une sorte d'appendice, au reste du plus haut intérêt, développant quelques considérations d'ensemble relatives aux géométries non euclidiennes générales sous la forme qui leur a été donnée par les travaux de Cayley.

A la fois si simple et si lumineux, le bel exposé de MM. Appell et Thiry contribuera, sans aucun doute, à faire définitivement pénétrer le calcul tensoriel dans les éléments classiques.

M. O.

VI. — LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ,par M. VON LAUE. Traduction d'après la 4o édition allemande, par GUSTAVE LETANG, avec additions de l'auteur. Tome II: La relativité générale et la théorie de la gravitation d'Einstein. Un vol. de XVI-318 pages (26 × 16). — Paris, Gauthier-Villars, 1926. - Prix: 78 francs, majoration comprise.

En analysant dans la REVUE le Tome I de cet ouvrage, traitant de la relativité restreinte (1), nous n'hésitions pas à déclarer qu'il ne nous semblait pas qu'une initiation sérieuse à la théorie de la relativité pût être maintenant entreprise sans l'étude approfondie du bel exposé de M. von Laue. Ce n'est certes pas ce Tome II qui serait de nature à modifier notre jugement à cet égard, et bien au contraire. C'est très certainement là un des meilleurs ouvrages

et

de loin qui aient paru jusqu'ici sur la matière. Les problèmes les plus ardus y sont mis au point avec une netteté remarquable; voire, l'auteur a réussi à introduire une parfaite précision en des domaines où les créateurs de la théorie n'y avaient pas entièrement réussi.

Après avoir donné des détails peu connus sur les tentatives antérieures de conciliation de la gravitation avec la théorie restreinte, il énonce le principe fondamental de la relativité généralisée sous cette forme très nette et très claire : « La transformation vis-à-vis de laquelle les lois de la chute des corps sont invariantes ne modifie pas non plus toutes les autres lois naturelles ».

Il ne manque d'ailleurs pas d'indiquer les restrictions qui s'imposent dans le choix des coordonnées de temps et d'espace, résultant de la nature même des choses, et distingue nettement, en outre, le temps propre (dont la notion subsiste en relativité généralisée) de la coordonnée « genre temps ».

Signalons aussi l'exposé très clair donné par l'auteur de la théorie assez délicate du déplacement parallèle d'un vecteur, avec des exemples à deux dimensions qui font fort bien comprendre de quoi il s'agit, et tout le chapitre, des plus remarquables, qui a trait à la géométrie euclidienne.

On ne saurait trop louer non plus la façon dont l'auteur introduit les notions relatives aux ondes gravifiques et à

(1) Livraison d'avril 1925, p. 509.

la propagation des actions gravifiques avec la vitesse de la lumière, ainsi que la rigueur serrée qu'il apporte à discuter la signification de la formule de Schwarzschild.

En ce qui concerne le développement de la théorie de la relativité, exposé avec une non moins grande clarté, il fait voir bien nettement que l'introduction du terme en λ dans les équations du champ d'Einstein tient à la nécessité d'expliquer toutes les propriétés de l'espace par la présence de corps. Finalement il trace une esquisse de la théorie de la matière de Mie et de sa généralisation par Hilbert. Le beau livre de M. von Laue restera longtemps. nous n'hésitons pas à le répéter un des meilleurs ouvrages d'initiation, et des plus sûrs, à la théorie de la relativité à laquelle ont été consacrés tant d'exposés boiteux, bien souvent insuffisants, parfois même entachés d'incompréhension du véritable sens de certains points de la doctrine.

PH. DU P.

LE RÉALISME EINSTEINIEN, par MARCELIN DUBROCA, Professeur de physique au Lycée Pasteur.- Un vol. in-8° de 128 pages. Paris, Gauthier- Villars, 1926. — Prix : 6 fr.

M. Dubroca, qui a déjà publié sur la théorie d'Einstein. trois opuscules de tendances vivement opposées à la nouvelle doctrine, vient d'en faire paraître un quatrième, conçu dans le même esprit, où il se propose d'établir que, par application «< avec une rigoureuse précision », déclare-t-il du principe de relativité, sous la forme einsteinienne, à quelques-uns des problèmes que le physicien du concret peut regarder comme fondamentaux, on aboutit à des propositions qui ont « ce caractère commun d'être incompatibles avec les conditions inéluctables des mesures physiques, et c'est-à-dire d'être dénuées de sens concret ».

Mais les einsteiniens auraient sans doute beau jeu à objecter à M. Dubroca que son application du principe de relativité n'offre peut-être pas toute la rigueur qu'il lui suppose, et qu'il est, par suite, un peu aventuré d'en tirer les conséquences auxquelles il a cru qu'elle pouvait conduire.

Dès le début de son exposé, à propos du rappel de la transformation de Lorentz, l'auteur formule une réserve

qui va directement à l'encontre d'une correcte application de la doctrine: pour lui, les groupes x, y, z, t et x', y', z', t', qui figurent dans les formules de cette transformation ne désignent pas un même évènement, mais ce qu'il appelle deux évènements «< conjugués ». On ne voit pas trop ce qu'il peut bien entendre par là. La transformation de Lorentz, comme toute autre transformation de coordonnées, ne peut avoir de sens que si les deux groupes de coordonnées entre lesquels elle établit une relation s'appliquent à un même élément, en l'espèce à un même évènement. Or, toute la brochure est fondée, peut-on dire, sur cette distinction arbitraire et difficile à comprendre entre l'évènement (x, y, z, t) et ce que l'auteur appelle son « conjugué lorentzien » (x', y', z', t').

Cette distinction l'amène, entre autres, à ne pas considérer comme réelles les règles et les horloges, introduites par Einstein, qui servent à mesurer les coordonnées du système (x', y', z', t') lorsque celles du système (x, y, z, t) le sont; et, sans hésiter, il les baptise «fantômes einsteiniens incohérents ». D'ailleurs, l'angle introduit par Einstein dans sa théorie de l'aberration est appelé par lui «fantôme einsteinien incohérent du 2e degré » parce que, selon lui, «< il est la combinaison (sic) de deux droites fantômes »<.

On peut se demander si c'est dans la doctrine einsteinienne elle-même ou dans l'interprétation qu'en donne M. Dubroca que gît l'incohérence.

A ses yeux « M. Einstein est un einsteinien resté newtonien » (?), et il n'hésite pas à écrire :

« Voici un grain de plomb qui décrit une trajectoire rectiligne sur cette table. Selon M. Einstein correctement (!) interprété, le point de ce grain qui touche la table ne se confond pas avec le point de la table qu'il touche.... »

C'est vraiment abuser un peu de la permission de défigurer en toute bonne foi, d'ailleurs, nous n'en doutons pas une manière de voir que l'on ne partage pas pour la combattre. On reconnaît, au surplus, ici la suite de l'erreur initiale signalée plus haut.

Les chapitres où interviennent des calculs (à partir de la page 31) sont naturellement viciés aussi par cette erreur d'interprétation fondamentale; même des calculs exacts ne peuvent conduire à des conclusions exactes si l'on intro