semences extrêmement fines doivent être semées à la surface d'une terre de bruyère ou d'un terreau bien tamisés. Les arrosages doivent être surveillés. Mener à bien le semis au Congo, est chose méritoire, concluait le Fr. Gillet, après plus d'une constatation.

Mais aussi quelles jolies allées, quels gracieux massifs font ces arbres aux troncs blancs comme nos bouleaux, au feuillage vert glauque très léger, aux thyrses de fleurs blanches, comme des lilas!

A San-Thomé, il y en a des promenades remarquables. Et au Congo, où la question du reboisement est posée, où l'épuisement rapide en bois d'œuvre et même en bois de chauffage, dans les alentours immédiats des grands centres, exige des mesures de prévoyance bien adaptées au pays, il est bon que l'attention soit attirée souvent sur les particularités précieuses qu'on vient de lire.

Kisantu est instructif, au point de vue agricole. Grâce au jardin d'essais, plus d'une étape a été franchie dans les tâtonnements inévitables d'un début de colonisation.

Bien des essais ont été infructueux, et la rareté de la maind'oeuvre a empèché le succès de beaucoup d'autres.

Ainsi en est-il, par exemple, de la culture des arachides tant prônée au Sénégal.

Voici, d'ailleurs, quel est l'état actuel général du poste: La culture du riz occupe d'assez vastes campagnes; les plantations d'Eucalyptus, ombrageant souvent des Caféiers, sont une caractéristique de son panorama.

La brousse, les prairies naturellement améliorées, ou envahies peu à peu par le Cynodon, prennent la grande place. Le bétail gros et petit prospère suffisamment; les chevaux s'y sont ajoutés et donnent des espérances.

Si l'on songe que, dans le fond de la vallée, un jardin d'acclimatations et d'essais a été continuellement à même de fournir les indications pour les directions les plus efficaces, on admettra que dans ces caractéristiques générales, se retrouvent des indices importants pour de grandes exploitations futures dans le Moyen-Congo.

Dans cette analyse commentée de l'excellente étude de M. le chanoine Smets, nous avons tâché de relever les points spéciaux qui semblent indiquer actuellement l'orientation de la culture agricole dans la région.

M. RENIER, S. J.

BIBLIOGRAPHIE

I

LEÇONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES professées au Collège de France par A. CHATELET, ancien élève de l'École normale supérieure, chargé de cours à la Faculté des sciences de Toulouse. Un vol. in-8° de 156 p. - Paris, Gauthier-Villars, 1913.

On sait que la Fondation Peccot permet de confier chaque année à un jeune mathématicien le soin de faire un certain nombre de leçons sur un sujet spécial choisi dans les régions élevées de la science. C'est, bien entendu, la théorie moderne des fonctions et des équations différentielles qui a fourni la plupart de ces sujets pour donner ensuite naissance à autant d'intéressantes monographies de la collection Borel. Tel a été le cas des volumes, aujourd'hui bien connus, dus à MM. Lebesgue, Baire, Boutroux, Zoretti. C'est dans les mêmes conditions que M. Châtelet a été amené à produire celui que nous signalons ici; mais, sous l'influence sans doute de l'enseignement magistral donné, au Collège de France même, par M. G. Humbert, c'est cette fois, à la Théorie des nombres que ce jeune mathématicien a emprunté son sujet et c'est pourquoi, bien qu'étroitement apparenté aux publications que nous venons de rappeler, il paraît en dehors de la collection Borel qui ne vise que la seule théorie des fonctions.

Si, d'ailleurs, le domaine de l'Arithmétique supérieure est, au moins en France, un peu négligé pour celui de l'Analyse par la nouvelle génération des chercheurs, on ne peut que se féliciter de voir un jeune géomètre français s'attacher à une étude au fronton de laquelle brillent les noms de Legendre, de Galois et d'Hermite.

« J'ai essayé, dit l'auteur dans sa Préface, de faire une sorte

d'introduction à l'étude des notions et théories nouvelles introduites depuis une soixantaine d'années en Arithmétique supérieure, un peu comme conséquence des travaux de Gauss et sous l'influence des idées de Galois et d'Hermite. Ce livre peut ainsi être considéré comme un complément aux Traités français actuels de théorie des nombres (Algèbre de Serret, Leçons de J. Tannery rédigées par MM. Borel et Drach, Traité de M. Cahen, etc.), Traités qui sont limités aux théories de Legendre, Jacobi et Gauss ».

L'auteur, qui suppose au lecteur la connaissance des éléments classiques de l'Algèbre et de l'Analyse, la complète dans le Chapitre I, par diverses notions moins répandues, telles que la notation des tableaux (exposée surtout d'après les travaux de Laguerre et de M. Jordan), le langage géométrique appliqué aux fonctions de n variables (géométrie à n dimensions), la généralisation de la notion de distance indiquée par Minkowski et le volume d'un corps convexe dans l'espace à n dimensions. C'est dans le Chapitre II, qu'est abordé l'objet propre du volume par la théorie des modules de points, étant entendu par point (dans le langage figuré dont il vient d'être question) un système de n nombres, et par module un ensemble dont le mode de composition ne diffère de celui d'un groupe que parce que le rôle d'opération constitutive y est joué par l'addition au lieu de la multiplication. C'est à M. Dedekind qu'on doit surtout le développement de cette théorie qui a trouvé ses premières assises dans les travaux d'Hermite. Très heureusement, l'auteur a su s'en servir pour relier, au Chapitre III, un assez grand nombre de résultats qui pouvaient apparaître tout d'abord comme assez éloignés les uns des autres, tels que ceux qui se rapportent aux sujets suivants: divisibilité des entiers ordinaires, approximations des irrationnelles, équations diophantiques, théorie des entiers complexes algébriques, périodes des fonctions, etc.

Les nombres algébriques (racines d'équations à coefficients rationnels ou entiers), dont l'étude semblait à Hermite l'un des principaux objets de la Théorie des nombres, fournissent la matière des Chapitres IV et V où sont spécialement envisagées les propriétés des entiers d'un corps algébrique qui, bien que généralisant à certain égard celles des entiers ordinaires, s'en écartent assez sensiblement, lorsqu'y intervient la notion de division. L'auteur se trouve ainsi amené à exposer les principes fondamentaux de la théorie des idéaux, introduite dans la science par M. Dedekind.

Le Chapitre VI est consacré au principe si important de la réduction continuelle d'Hermite grâce auquel il est possible de pénétrer plus avant dans la théorie des entiers des corps algébriques et des idéaux. Il se termine par la démonstration des deux célèbres théorèmes de Minkowski permettant d'indiquer des conditions nécessaires de réduction qui peuvent suffire au moins pour l'application aux nombres algébriques. Il convient, au reste, de noter que M. Châtelet ne s'est pas astreint à suivre pas à pas les auteurs de ces difficiles théories dans l'exposé qu'ils en avaient primitivement donné et, par exemple, qu'il a quelque peu modifié la méthode de réduction continuelle d'Hermite.

Au Chapitre VII est effectuée la réduction d'une base d'un corps algébrique; c'est sans doute là le premier exposé d'ensemble rédigé en français sur la question.

Trois notes, de grand intérêt, terminent le volume. Voici comment l'auteur en indique le but: «Dans la première, j'ai exposé l'application de la théorie des modules de points aux périodes des fonctions, ce qui m'a permis d'indiquer, d'après M. Esclangon, la définition et quelques propriétés arithmétiques des fonctions quasi-périodiques. Dans la deuxième, on trouvera une application numérique, à un corps quadratique, des définitions et principes énoncés pour les corps algébriques généraux. C'est un peu plus qu'un exemple numérique ; j'ai indiqué succinctement à propos du cas particulier considéré, des procédés de recherche applicables à tous les corps quadratiques. J'espère que ceci compensera un peu l'absence d'une théorie particulière de ces corps, le cadre forcément restreint de ces leçons ne m'ayant pas permis de l'y introduire. Enfin, dans la troisième note, on trouvera quelques notions complémentaires sur l'Arithmétique des Idéaux ».

Il faut souhaiter que ces Leçons très soignées sur la théorie des nombres attirent de nouveaux adeptes à ce genre d'étude trop délaissé de nos jours, où de puissants esprits, comme Hermite, voyaient en quelque sorte le centre même de toute la mathématique.

M. O.

II

COURS D'ANALYSE INFINITÉSIMALE, par CH.-J. DE LA VALLÉE POUSSIN, tome 1, troisième édition. Louvain, A. UystpruystDieudonné.

Ce tome I, troisième édition, et le tome II, deuxième édition, vont être traduits en allemand et nous attendons, avec impatience, un tome III, grâce auquel l'ouvrage rendrait de précieux services aux étudiants français.

M. de la Vallée Poussin perfectionne constamment ses livres. Ce tome l est le seul ouvrage où l'on trouve un exposé didactique de l'Intégrale de Lebesgue. Dans la troisième édition, cet exposé méthodique est rendu encore plus simple et, de plus, il est complété (Intégration par substitution, page 280 Dérivées secondes généralisées, page 285). Nous sommes ici à un point culminant de la science actuelle.

La théorie des courbes fermées est présentée d'une façon nouvelle et très précise (page 372).

Dans la partie géométrique, toutes les hypothèses sur la dérivabilité sont précisées. Enfin, MM. Fréchet et Young ayant défini, d'une manière nouvelle et avantageuse, la différentielle totale, l'auteur s'inspire de cet exposé récent, dans les premiers principes du livre. L'ouvrage de M. de la Vallée Poussin peut être comparé à celui de M. Camille Jordan. C'est tout dire.

X.

III

LEÇONS SUR LES PRINCIPES DE L'ANALYSE, par R. D'ADHÉMAR, professeur à la faculté libre des Sciences de Lille, avec une Note de S. BERNSTEIN, privat-docent à l'Université de Kharkow. Tome II. Fonctions synectiques. - Méthodes des majorantes. Equations aux dérivées partielles du premier ordre. - Fonctions elliptiques. - Fonctions entières. Un vol. de vii-297 p. Paris, Gauthier-Villars, 1913.

Le second volume de ces leçons était le complément nécessaire du premier et il est conçu dans le même esprit. L'auteur ne