comme lui, expose les théories de la science antique sur l'Astronomie et sur la Physique céleste. Ce mélange de rêveries néoplatoniciennes, de spéculations sur les propriétés mystiques des nombres et d'érudition, plaisait fort aux arithméticiens et aux philosophes du Moyen Age.

Après avoir attendu pendant dix ans, la Commission de L'ANNUAIRE du Bureau des Longitudes s'est enfin décidée à mettre en concordance la formule qui donne la variation de pesanteur à l'intérieur de la terre avec la loi hypothétique de variation de densité. Jusqu'à l'année 1899, cette loi, proposée par E. Roche, était présentée sous la forme

Les coefficients avaient été déterminés d'après les calculs relatifs à la précession des équinoxes.

La formule de variation de la pesanteur interne, qui découle de la loi de variation de densité, s'écrivait alors.

Ces données numériques s'accordaient assez bien avec l'expérience faite au fond des mines de Harton, où Airy avait constaté que le pendule battait, en 24 heures, deux oscillations de plus qu'à la surface. Toutefois, la densité des couches superficielles, 2, 12, résultant de la loi hypothétique (1), est manifestement trop faible à partir de la faible profondeur marquée par le fond des Océans, cette densité est certainement supérieure à 2,5. En 4 ontre, le coefficient de variation trouvé voisin de par E. Roche, 5

alors qu'il croyait l'aplatissement de la terre inférieur ou égal à

1

1

292

1 ne cadre pas avec l'aplatissement plus grand, ou 297' 293' admis aujourd'hui. Tisserand avait déjà montré en 1884 4 (COMPTES RENDUS, 2o semestre, p. 577) que ce chiffre ou 0,8,

5'

était trop élevé; il avait trouvé des nombres compris entre 0,758 et 0,777. Des considérations relatives aux variations de la pesanteur à la surface font voir que le coefficient est inférieur à 0,766. Aussi, grâce à l'intervention de Cornu, à partir de 1899, 4 3 la fraction a-t-elle été remplacée par la fraction qui répond 4

5 beaucoup mieux à toutes les observations concernant la densité des roches terrestres, l'aplatissement et la variation de la pesanteur à la surface du globe. Mais comme ce nouveau chiffre ne paraissait pas rendre compte de la valeur de la précession -remarque déjà faite par Tisserand la Commission a cru devoir signaler cette anomalie. En outre, elle a négligé de modifier les coefficients de la formule (2), qui dérivent euxmêmes de ceux de la loi hypothétique de variation de densité.

Une première démarche tentée auprès d'un membre influent de la Commission, en vue de rectifier cette erreur, est restée. sans résultat. Au commencement de l'année 1903, Callandreau, saisi de la question, donnait l'assurance que l'accord entre les deux formules serait rétabli et que la restriction relative à la prétendue anomalie de la précession serait supprimée.

C

A

C

Cette restriction était appuyée sur ce fait que le rapport des moments d'inertie du globe terrestre, déduit de la théorie de la précession, était inférieur à celui qui résultait de la loi hypothétique de variation de densité. Or, la théorie tétraédrique, aujourd'hui introduite officiellement dans l'ANNUAIRE, par M. Charles Lallemand, a résolu la difficulté.

La figure de la terre se rapproche de celle d'un tétraèdre en partie recouvert par l'eau des Océans. Le moment d'inertie, par rapport à un 'axe quelconque, peut se décomposer en deux : celui d'un sphéroïde ayant pour densité celle de l'eau, et celui d'une masse tétraédrique de densité beaucoup plus grande, de manière à atteindre la moyenne 5,5 adoptée pour l'ensemble des matériaux du globe terrestre. Si le tétraèdre était régulier, rien ne serait changé au rapport des moments d'inertie; ce rapport serait le même que si toute la partie solide du globe était sphé

roïdale, comme le reste des Océans. Mais il suffit de jeter les yeux sur une carte pour voir que la base septentrionale, dont les trois sommets correspondent sensiblement au massif des Alpes, aux plateaux de l'Himalaya et aux Montagnes Rocheuses, est plus petite que les trois autres. L'écorce terrestre, plus lourde que l'eau des Océans, est donc refoulée dans la direction de l'axe polaire, et le moment d'inertie autour de cet axe, qui intervient effectivement dans la théorie de la précession, est plus petit que le moment théorique calculé dans l'hypothèse que la terre est un sphéroïde composé de couches régulières. Ainsi s'explique la contradiction signalée autrefois, et Callandreau avait parfaitement reconnu la justesse de ces observations. La mort est venue le surprendre malheureusement avant qu'il ait pu leur donner

suite.

Notre regretté confrère A. de Lapparent promit alors d'intervenir pour faire corriger ces erreurs et rétablir la vérité; la mort vint l'enlever à son tour.

Le physicien Cornu, par l'intermédiaire duquel avait été faite la modification de 1899, était lui-même décédé en 1902. C'était vraiment décourageant.

Nous avions donc pris le parti de voir la formule erronée, comme la légendaire sentinelle placée auprès du bane fraichement peint, renouvelée indéfiniment. Nous sommes heureux de trouver enfin dans l'ANNUAIRE de 1909 la rectification demandée depuis si longtemps. La Commission en a profité pour corriger également le diamètre du Soleil reproduit aux Principaux éléments du système solaire, conformément à la valeur déjà adoptée pour le même élément dans le chapitre consacré au Soleil, valeur qui résulte de la parallaxe 8",80.

Vie DU LIGONDÈS.

BIBLIOGRAPHIE

I

EXERCICES ET LEÇONS D'ANALYSE, par R. D'ADHÉMAR. Quadratures. Equations différentielles. Equations integrales de M. Fredholm et de M. Volterra. Equations aux dérivées partielles du second ordre. Un vol. in-8° de vi-208 pages. - Paris, GauthierVillars, 1908.

Soucieux de l'intérêt des étudiants, M. d'Adhémar leur offre un ouvrage d'un genre nouveau et qui sera certainement bien accueilli. Voici, en effet, avec une ample collection d'exercices sur les théories classiques de l'analyse, une véritable introduction à l'une des questions les plus vastes et les plus attrayantes qui sollicitent en ce moment les efforts des géomètres. De là le double caractère du livre : élémentaire dans les exercices et tout d'actualité dans les lecons.

Le livre débute par une introduction où sont exprimés avec clarté et précision les théorèmes et les formules principales qu'il faut connaitre pour résoudre les exercices. Courbes et surfaces; intégrales et séries; variables complexes; existence des solutions des équations différentielles: c'est en vingt pages la récapitulation d'un cours de calcul différentiel et intégral.

Les exercices absorbent la première moitié ou les cent premières pages du livre et sont divisés en trois chapitres :

Le chapitre I se recommande tout particulièrement par les applications élégantes des théorèmes de Cauchy qu'il propose comme problèmes de quadratures sur les variables complexes. La manière de varier les contours d'intégration suivant la nature des fonctions et de leurs points singuliers est particulièrement propre à éveiller l'intérêt des étudiants et à leur faire entrevoir la puissance merveilleuse de l'instrument imaginé par Cauchy. Nous n'avions guère jusqu'à présent que les exercices de Tisse

rand-Painlevé sur cette question, on saura un gré tout particulier à l'auteur de nous en offrir une nouvelle série.

Le chapitre II contient des applications de la théorie des résidus, le développement de cot æ en série d'éléments simples; eafin de nombreux problèmes sur les équations différentielles et les applications géométriques, posés la plupart à l'examen pour le certificat de calcul différentiel et intégral.

Le chapitre III s'ouvre par une démonstration aussi simple qu'élégante, due à STIELTJES, de la formule d'Olinde Rodrigues qui exprime les polynomes Xa de Legendre. Viennent ensuite des démonstrations, toujours heureusement choisies, et inspirées des cours de Picard, Hermite, etc., se rapportant aux fonctions de Bessel, aux fonctions Bèta et Gamma et à la fonction Zêta de Riemann.

Nous arrivons maintenant à la partie la plus originale et la plus intéressante du livre, où l'auteur, ainsi qu'il le dit lui-même, esquisse le contour de quelques leçons sur des sujets dont l'étude est récente ». Ces leçons se réfèrent toutes plus ou moins directement à la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre. Les dimensions restreintes d'un compte rendu ne nous permettent d'en faire ici qu'une analyse très incomplète.

Les équations du second ordre se classent, d'après la nature de leurs caractéristiques, en types elliptiques, hyperboliques et paraboliques.

On se rappelle que nous avons analysé ici même (juillet 1907) un excellent traité que M. d'Adhémar a fait paraitre il y a deux ans Sur les équations aux dérivées partielles à caractéristiques réelles (Collection Scientia »). Mais M. d'Adhémar s'était alors attaché plus particulièrement aux équations du type hyperbolique, théorie à laquelle il avait d'ailleurs apporté lui-même une contribution importante. Dans l'ouvrage actuel, il résume tous ces anciens résultats; il les complète aussi. Nous avons particulièrement à signaler les recherches de M. Holmgren et de nouvelles applications de la théorie des approximations successives de M. Picard, dont l'auteur a très heureusement pu mettre les lecons à profit.

C'est aussi avec grand plaisir que nous voyons l'auteur étendre le champ de ses leçons aux équations du type elliptique, dont on sait que M. Fredholm a complètement renouvelé la théorie. L'équation de Laplace est la plus importante des équations du type elliptique (ou à caractéristiques imaginaires) et l'un des problèmes les plus importants de la physique mathématique, le