certaines équations intégrales. On sera heureux de trouver, dans l'ouvrage de M. d'Ocagne, la description et la théorie de ces intégraphes, qui méritent de devenir classiques.

La Nomographie (XI) se distingue du Calcul graphique dont nous avons parlé tout à l'heure. Celui-ci remplace un calcul numérique particulier par la construction à l'échelle d'une figure correspondante. La nomographie, par contre, substitue aux nombres des éléments géométriques quelconques (lignes ou points) et a pour objet de faire correspondre, non à une opération, mais à une relation analytique entre ces nombres, un rapport particulier de situation entre les éléments qui les représentent (droites concourantes, points en ligne droite). C'est ainsi que si une inconnue dépend de plusieurs variables indépendantes (généralement deux), on construit un graphique appelé abaque ou nomogramme, tel que, connaissant les éléments qui représentent les variables, l'élément représentatif de l'inconnue soit immédiatement déterminé par le rapport de situation prévu. Il existe deux types de nomogrammes, ceux à entrecroisements et ceux à points alignés, bien plus commodes que les premiers. Deux principes dominent cette théorie : le principe de l'anamorphose et le principe de dualité. Le principe de l'anamorphose permet, sous des conditions très générales, de remplacer les lignes courbes d'un nomogramme à entrecroisements par des lignes droites. Celui de dualité permet de transformer un nomogramme à entrecroisements en un autre à points alignés. Le nom seul de M. d'Ocagne suffit pour témoigner de la maîtrise avec. laquelle cette théorie est exposée ici et de l'intérêt des applications prises comme exemples. On peut, en effet, considérer M. d'Ocagne comme le véritable créateur de cette science, dont il n'a cessé d'étendre les applications depuis vingt ans, sans parler des services signalés que, sous sa direction, la nomographie a rendus à la balistique pendant la guerre.

Le tome II se termine, comme le premier, par un appendice qui apporte quelques compléments d'une grande nouveauté. On y trouvera, entre autres choses, les résumés des importantes recherches du professeur B. Magor, de Lausanne, sur la statique graphique de l'espace, et du professeur Gercevanoff, de Petrograd, sur l'application de la nomographie à l'intégration graphique.

En terminant cette analyse, nous ne pouvons nous empêcher de remarquer que l'ouvrage de M. d'Ocagne est un monument élevé en l'honneur de l'École polytechnique. C'est un hommage. rendu aux noms glorieux des polytechniciens, maitres ou élèves,

qui sont les fondateurs et les pionniers des diverses disciplines dont nous venons de parcourir la longue liste. Ces noms, M. d'Ocagne les signale au fur et à mesure qu'il les rencontre et nous y ajouterons le sien: il n'est pas indigne des autres. Puisse ce livre inspirer à ses élèves l'amour de l'École à laquelle ils ont l'honneur d'appartenir ! Il leur montrera la voie qu'ils ont à suivre pour être dignes de leurs ainés. C'est pour cela que ce livre a été écrit. Il portera ses fruits. Nous pouvons en adresser de confiance à l'auteur toutes nos félicitations.

C. DE LA VALLÉE POUSSIN.

LEÇONS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN VUE DE LEURS APPLICATIONS, par R. DE MONTESSUS DE BALLORE. Cours libre professé à la Faculté des Sciences de Paris. - Paris, GauthierVillars, 1917. Un vol. gr. in-8° de x-267 pages, avec figures dans le texte.

La plupart des intégrales des fonctions irrationnelles sont des transcendantes qui ne peuvent pas s'exprimer par l'emploi des signes algébriques et trigonométriques en nombre fini. Si l'on a simplement une intégrale de fonction rationnelle et d'un radical carré portant sur un polynome du 3 ou du 4 degré, cette intégrale peut se réduire à trois types fondamentaux :

que l'on appelle aujourd'hui intégrales elliptiques. Euler et d'autres s'étaient déjà un peu occupés de la question, mais c'est Legendre qui a jeté les premiers fondements d'une théorie des intégrales elliptiques. Les fonctions elliptiques sont les fonctions inverses de ces intégrales.

Les ouvrages publiés sur cette matière sont nombreux. Bien que ce soient des questions pratiques qui aient donné naissance

aux fonctions elliptiques, la plupart des traités y relatifs ont un caractère trop théorique. Trop élevés surtout, ils ne sont pas à la portée des étudiants ordinaires. Parmi les plus récents, il en est ainsi de ceux de J. Thomae, en 1905, de II. Burkhardt (le regretté fondateur de l'Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften), en 1906, de H. Durège, en 1908, de H. Weber, en 1908 (la première édition datait de 1891), de K. Boehm, en deux volumes dont le premier a paru en 1908, de J. M. Krause, en 1912, et de R. Fricke, en 1916. Ces ouvrages, écrits en langue allemande, sont la plupart très touffus et certains d'entre eux nous paraissent - est-ce une illusion? ne pas atteindre la perfection au point de vue de la clarté. Cette dernière remarque ne s'applique toutefois pas à R. Fricke, dont nous voulons signaler aussi le bel article (de 170 pages), paru, en 1913, dans l'Encyklopädie. Comme ouvrage en langue anglaise, il faut citer celui dont H. Hancock fit paraître le premier tome, en 1910, et qui est d'allure aussi savante que la magistrale œuvre inachevée (1886-1891) de G. H. Halphen et que le Traité en quatre volumes (1893-1902) de J. Tannery et J. Molk.

Aucun d'eux ne convient pour une première étude. Comme ouvrages français qui aient cherché à être brefs et de lecture facile, il y a celui de Ch. Henry, en 1895, que nous considérons comme trop rudimentaire et bon seulement à donner une idée des fonctions elliptiques à un seul point de vue ; celui de L. Lévy, déjà bien supérieur, et le Traité de MM. Appell et Lacour, dont on ne peut dire que du bien.

Mais il est temps d'arriver aux Leçons, que M. de Montessus a professées, en un cours libre, pendant l'année académique 1915-1916, à la Faculté des Sciences de Paris. C'est au savant maitre M. P. Appell que l'ouvrage est dédié. Sa lecture ne nécessite que la seule connaissance des tout premiers principes du calcul intégral et le livre s'adresse à tous ceux dont les connaissances en analyse ne dépassent pas le niveau des mathématiques dites générales et qui n'utilisent les fonctions elliptiques que pour les appliquer à des problèmes, soit de mécanique, soit de physique. Il pourra être utile aux élèves ingénieurs.

La notoriété qu'ont value à l'auteur ses savants travaux sur les sujets mathématiques les plus variés faisait prévoir un grand intérêt à son ouvrage. Cette opinion s'est amplement confirmée à la lecture. Le livre, qui ne manque pas d'originalité dans l'exposition, est très visiblement écrit avec un souci constant de concision et, sans nuire en rien à la clarté, l'auteur a su faire

tenir dans le petit volume beaucoup plus de choses qu'on ne pourrait présumer. C'est là un mérite sur lequel nous nous plaisons à insister, car nous avons souvent déploré la tendance à une encombrante prolixité de tant d'écrivains scientifiques. Pour arriver à condenser la matière comme l'a fait M. de Montessus, il faut être très familier avec le sujet traité et c'est bien le cas de l'auteur, qui a non seulement beaucoup étudié, et de longue date, les fonctions elliptiques, mais qui a de plus fait des recherches originales sur ces fonctions et les a appliquées à divers problèmes nouveaux. Mais la qualité la plus éminente de l'ouvrage est incontestableinent son esprit algébrique, qui s'affirme du commencement à la fin.

Avant de passer à une analyse détaillée, une parenthèse. M. de Montessus a publié, en 1915, des Exercices et Leçons de Mécanique analytique, qui se terminent par une Note, d'une soixantaine de pages, remarquablement substantielle, où il expose la théorie des fonctions elliptiques dans le domaine réel, autrement dit « leur trigonométrie », en vue de leurs applications à la géométrie des masses et à l'étude analytique du mouvement. On peut considérer qu'à certains points de vue, cet Appendice est développé dans les Leçons actuelles. En effet, comme l'indique le titre, l'auteur se place encore au point de vue des applications; il fait beaucoup de calculs et résout toutes les difficultés arithmétiques; de sorte que l'on peut dire que si ce volume ne contient pas d'applications proprement dites, il est bien fait pour y aboutir.

La théorie des fonctions elliptiques, plus peut-être qu'aucune autre branche des mathématiques, a été fouillée dans tous les sens. On peut l'aborder et la développer par des voies très diverses et il est indispensable, pour en faire une étude sérieuse, de se placer successivement à des points de vue différents. C'est ce qu'a fait l'auteur. L'ordre dans lequel se suivent ces points de vue caractérisera son ouvrage. La marche qui consiste à partir des fonctions doublement périodiques (et dont nous reparlerons plus loin) est la plus courte, mais celle qui prend comme point de départ les intégrales elliptiques a l'avantage d'être plus élémentaire et plus conforme à l'ordre historique. Et M. de Montessus a bien raison de débuter de cette seconde manière.

Il commence donc (Première Partie) en procédant comme III SÉRIE. T. XXVII.

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Abel, c'est-à-dire en définissant sn u comme fonction inverse de l'intégrale elliptique de première espèce de Legendre :

l'auteur introduit ainsi les transcendantes sn, en, dn, dans le domaine réel, à l'aide de l'inversion de cette intégrale. L'intégration de l'équation différentielle d'Euler fournit la formule d'addition pour sn. On établit ainsi qu'il n'existe qu'une période fondamentale réelle pour cette fonction. En imaginarisant l'argument, on montre que la formule d'addition permet encore de définir sn u dans tout le plan et d'en établir la double périodicité.

Les intégrales elliptiques sont alors réduites aux formes normales et l'auteur aborde une des deux parties de son ouvrage où l'on trouve les renseignements nécessaires pour les calculs qui se présentent dans les applications. Il développe en série l'intégrale de première espèce qui se présente dans la théorie du pendule et l'intégrale de seconde espèce qui inte: vient dans la rectification d'un arc d'ellipse. Dans ce cas on a une elu qui n'est pas elliptique, mais qui admet néanmoins une fonction formule d'addition, en relation étroite avec la fonction sn. L'auteur donne des Tables abrégées des valeurs des intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce (on n'en peut construire pour l'intégrale de troisième espèce, car il y a trois variables, c, k). Mais ces tables ne peuvent donner qu'une idée des valeurs de ces fonctions; et l'on expose alors le calcul direct des intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce. Une simplification est fournie par la transformation de Landen. Elle donne le rapport de deux intégrales elliptiques de même forme, mais de modules k inégaux. M. de Montessus donne, d'après J. Bertrand, une élégante et lumineuse représentation géométrique de cette transformation, comme correspondance entre deux angles dont l'un est inscrit dans une demicirconférence dont le diamètre contient le sommet de l'autre angle.

La Seconde Partie, la plus longue des quatre, a pour but de passer des fonctions de Jacobi (sn, cn, dn) aux fonctions de Weierstrass (pu, Zu, ou). La théorie générale des fonctions doublement périodiques ne peut être établie commodément en partant des premières. Les secondes sont, il est vrai, moins bien