APPENDICE II

CLASSIFICATION DES EAUX NATURELLES BELGES

A MINERALISATION SPÉCIALE

Eaux chlorurées sodiques, faibles, moyennes ou fortes: Bruxelles à 73 mètres de profondeur (milligr. de chlore par litre : 315), Lierre à 150 mètres (2180), Blankenberghe à 250 mètres (2570), Saint-Nicolas à 107 mètres (810), Op-Grimby à 370 mètres (3690);

Eaux sulfatées sodiques faibles: Denterghem à 130 mètres (milligr. dion sulfurique par litre : 325), Menin à 155 mètres (350) et à 75 mètres (415) ; Eau chlorurée et sulfatée sodique moyenne : Varssenaere à 300 mètres environ (milligr. de chlore et d'ion sulfurique par litre : 650 et 910);

Eaux bicarbonatées sodiques faibles: Bruges à 33-57 mètres (milligr. d'ion hydrocarbonique par litre : 500), Tamise à 80 mètres (585), Hemixem à 87 mètres (695);

Eaux chlorurées et bicarbonatées sodiques ou mixtes (sodiques et calciques), très faibles, faibles ou moyennes : Chaudfontaine (milligr. de chlore et d'ion hydrocarbonique: 60 et 170), Vilvorde à 185 mètres (160 et 160), Termonde à 180 mètres (3320 et 740), Hamme à 220 mètres (325 et 265), Zele à 200 mètres (410 et 350), Anvers à 170 mètres (1680 et 595);

Eaux chlorurées, sulfatées et bicarbonatées sodiques ou mixtes, faibles ou moyennes : Charleroi (milligr. de chlore et d'ious sulfurique et hydrocarbonique : 195, 170 et 315), Courtrai à 200 mètres (260, 310 et 510). Gand à 168 mètres (385, 330 et 835), Hornu à 40 mètres (475, 235 et 280), Ostende à 185 mètres (820, 380 et 840);

Eau chlorurée sodique moyenne, sulfatée et bicarbonatée sodique faible, boriquée et arsenicale faible: Ostende à 300 mètres (milligr. de chlore, d'ions sulfurique, hydrocarbonique, métaborique et hydroarsénique, par litre 810, 360, 675, 60 et 0,02);

Eaux ferrugineuses faibles ou moyennes : Wyneghem (milligr. de fer par litre : 3), Mariemont (4), Brée (7), Turnhout (18);

Eau ferrugineuse et magnésienne faible: Spontin (milligr. de fer et de magnésium par litre : 5 et 35);

Eau ferrugineuse forte et bicarbonatée mixte faible: Froyennes (milligr. de fer et d'ion hydrocarbonique par litre : 55 et 645);

Eaux ferrugineuses et carbogazeuses faibles, moyennes ou fortes: Tongres (milligr. de fer et d'anhydride carbonique par litre : 4 et 200), Spa (20-35 et 2350), Sart (35 et 2460);

Eau ferrugineuse et carbogazeuse moyenne et magnésienne faible : Chevron (milligr. de fer, d'anhydride carbonique et de magnésium par litre : 25, 1820 et 25);

Eau ferrugineuse et carbogazeuse moyenne, bicarbonatée mixte et magnésienne faible: Harre (milligr de fer, d'anhydride carbonique, d'ion hydrocarbonique et de magnésium par litre : 20, 2280, 525 et 45);

Eau arsenicale très forte et ferrugineuse moyenne Court-SaintEtienne (milligr. d'ion hydroarsénique et de fer : 8 et 6).

BIBLIOGRAPHIE

I

LEÇONS SUR L'APPROXIMATION DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE, professées à la Sorbonne par C. DE LA VALLÉE POUSSIN, professeur à l'Université de Louvain, membre correspondant de l'Institut de France (ouvrage de la Collection de monographies sur la théorie des fonctions, publiée sous la direction de M. Émile Borel). Un vol. in-8° de vi-150 pages. Paris, Gau

thier-Villars, 1919.

Tandis que les hordes ennemies, exécutant avec une brutalité sauvage les ordres iniques d'un commandement sans honneur, souillaient la noble Belgique de leur présence, plusieurs nations amies accueillaient avec empressement les maîtres dispersés de la glorieuse Université de Louvain, trop heureuses de faire bénéficier de la parole de ces maitres le public de leurs propres étudiants. C'est ainsi que M. de la Vallée Poussin s'est trouvé amené à professer au Collège de France ces remarquables leçons sur les intégrales de Lebesgue, les fonctions d'ensemble et les classes de Baire, qui, dans la Collection de monographies sur la théorie des fonctions d'Emile Borel, ont donné naissance à un volume paru en 1916, puis, en Sorbonne, ces leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle, que nous nous proposons d'analyser aujourd'hui.

Le sujet traité dans ces leçons est d'une importance capitale au point de vue de l'application des mathématiques aux problèmes posés par la mécanique et, plus généralement, par les diverses branches de la physique. Les fonctions auxquelles conduit cette application échappent, en effet, bien souvent à la catégorie de celles qu'on peut dire classiques, dont on peut effectuer immédiatement le calcul par les procédés ordinaires de l'arithmétique ou dont on possède des tables étendues. Dans l'ordre des applications techniques, où une très grande approximation n'est généralement pas requise, on a le plus

souvent le moyen d'y suppléer par l'emploi, aujourd'hui de plus en plus répandu, de méthodes graphiques, simples et expéditives, qui dispensent d'opérations beaucoup plus laborieuses. Il est toujours des cas où l'approximation un peu làche à laquelle on est ainsi conduit ne saurait suffire, où, tout au contraire, on tient à se rendre maître de cette approximation et à se réserver la possibilité de la pousser aussi loin que l'on veut. C'est pour de tels cas que s'impose la théorie développée dans ces leçons par M. de la Vallée Poussin avec tant d'élégance et de sûreté.

Son étude ne porte, à la vérité, que sur deux modes de représentation approchée : la représentation par polynomes pour une fonction prise seulement dans un intervalle déterminé, la représentation trigonométrique pour une fonction périodique de période 2π. Mais on peut dire de ces deux modes de représentation qu'ils suffisent à tout dans le domaine des applications courantes. La légitimité de leur emploi découle de deux théorèmes fondamentaux, dus à Weierstrass, auxquels l'auteur consacre l'Introduction du volume. Des démonstrations très simples qu'il en donne, visant avant tout la question d'existence, l'une est due à M. Lebesgue, l'autre, bien qu'également inspirée des idées de cet auteur, porte la marque propre de M. de la Vallée Poussin. Il montre l'équivalence des problèmes de l'approximation dans l'un et l'autre mode de représentation, en faisant usage des polynomes considérés en premier lieu par le grand mathématicien russe Tchebichef (1), puis par M. Bernstein qui les appelle des polynomes trigonométriques; il introduit aussi, sous le nom de module de continuité, une notion à laquelle il aura constamment recours par la suite et qui lui permet, dès l'abord, de donner une forme condensée à la condition de Lipschitz, puis de la généraliser.

Le chapitre I renferme l'étude de l'approximation par les séries de Fourier et, dès ce début, on est saisi par l'heureux enchainement des propositions et l'élégante simplicité de leurs démonstrations portant bien la marque de l'auteur.

Pour pousser plus avant dans l'étude de l'approximation trigonométrique des fractions continues, l'auteur a recours à l'importante notion des sommes de Fejér, introduites en vue de

(1) C'est pour nous conformer à une observation que nous avons recueillie de la bouche même de cet illustre géomètre que nous employons ici, pour son nom, cette orthographe, au lieu de celle (Tchebycheff) dont, suivant un usage très courant, se sert M. de la Vallée Poussin.

III SÉRIE. T. XXVII.

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la sommation de la série de Fourier par le procédé de la moyenne arithmétique, auxquelles est consacré le chapitre II. On y rencontre d'intéressantes contributions personnelles de M. de la Vallée Poussin sous forme soit de démonstrations nouvelles, grandement simplifiées, de certains résultats dus à M. S. Bernstein, soit mème de résultats nouveaux touchant notamment la détermination d'une borne de la meilleure approximation fournie par une expression trigonométrique approchée.

En vue d'abaisser la borne précédemment assignée à l'approximation, l'auteur a recours, dans le chapitre III, à des intégrales analogues à celles de Fejér, mais plus rapidement convergentes. Ainsi qu'il en fait lui-même la remarque, une partie des résultats qu'il obtient ainsi ne sont pas sans analogie avec ceux que M. D. Jackson a fait connaître, en 1911, dans sa thèse inaugurale; néanmoins, tant par la méthode suivie que par le plus haut degré de généralité atteint, M. de la Vallée Poussin imprime encore à cette partie de son exposé un cachet bien personnel.

Au chapitre IV, l'auteur s'attaque au problème en quelque sorte inverse du précédent qui consiste, pour une fonction périodique représentable avec une approximation d'un certain ordre, à découvrir les propriétés différentielles qui en sont la conséquence et qui, sous certaines conditions, prennent une forme singulièrement précise.

Dans le Chapitre V, l'auteur passe à l'approximation par polynomes qui, d'après une indication déjà donnée dans l'Introduction, revient à une approximation trigonométrique. Il utilise là d'importants travaux de M. S. Bernstein et de M. D. Jackson, mais en les présentant sous une forme qui lui est personnelle et en y ajoutant des remarques de grand intérêt.

Au Chapitre VI, il aborde, en s'aidant de certains travaux de M. Émile Borel et de M. Bernstein, la question capitale du polynome d'approximation minimum, dont la notion est due à Tchebichef, c'est-à-dire du polynome unique c'est là le point essentiel qui, pour une fonction donnée prise dans un intervalle donné, fournit la meilleure approximation compatible avec son degré.

Le Chapitre VII contient l'extension aux expressions trigonométriques des théorèmes relatifs aux polynomes d'approximation minimum. M. de la Vallée Poussin y apporte une part notable de remarques nouvelles ingénieusement établies.

On conçoit que les singularités de la fonction représentée

jouent un rôle capital dans l'étude de l'approximation. L'auteur traite à fond le sujet pour les fonctions analytiques présentant des singularités polaires, dans le Chapitre VIII. Il fait voir comment on peut obtenir l'expression trigonométrique d'approximation minimum applicable à chaque élément polaire simple du premier ordre, pour étendre ensuite les résultats obtenus à la meilleure représentation d'une fonction par polynomes dans un intervalle donné.

Généralisant ensuite la notion de pôle en celle de point critique d'ordre fractionnaire, il a recours, dans le Chapitre IX, pour l'étude des fonctions analytiques offrant de telles singularités, à des procédés entièrement différents de ceux qu'il a précédemment utilisés mais qui s'appliquent encore aux singularités polaires, en sorte qu'il se trouve ainsi conduit à des théorèmes plus généraux englobant comme cas particuliers (lorsque l'ordre du point critique devient entier) ceux qui concernent les pôles.

Enfin, dans le Chapitre X, réservé à l'approximation trigonométrique des fonctions entières, l'auteur montre que l'ordre d'approximation sur l'axe réel d'une fonction holomorphe dans tout le plan dépend, en première analyse, du degré plus ou moins rapide de croissance de la fonction quand la variable s'éloigne de l'axe réel.

En dehors des qualités de fond qui distinguent ce savant ouvrage, il convient de louer tout particulièrement l'aisance avec laquelle l'auteur se meut au milieu de ces questions si délicates, la remarquable élégance avec laquelle il effectue des calculs qui risqueraient, sous une autre plume, de paraitre lourds et pénibles, l'étonnante lucidité qu'il apporte dans toutes ses explications et qui, à la vérité, supprime l'effort du lecteur On peut dire d'une telle œuvre qu'elle est véritablement achevée.

II

M. D'OCAGNE.

COURS DE MÉCANIQUE, professé à l'École Polytechnique par LEON LECORNU, membre de l'Institut, inspecteur général des Mines. Tomes II et III; 2 vol. gr. in-8° de 538 et 668 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1915 et 1918.

Nous avons déjà analysé dans la REVUE (1) le tome I de ce bel ouvrage. La guerre ne nous pas permis de rendre compte en

(1) Juillet 1914, p. 241.