de l'arithmétique, de la théorie des équations et de la théorie des nombres pendant la deuxième partie du dix-huitième siècle. C'est assez dire qu'au jugement du maitre d'Heidelberg, le professeur américain était l'un des continuateurs les plus autorisés de son œuvre. La nouvelle histoire des mathématiques ne démentira pas cette appréciation.

H. BOSMANS.

VII

NOTES D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES (Antiquité et Moyen Age), par B. LEFEBVRE, S. J. Un volume in-8 de VIII et 154 pages. Louvain, Société scientifique de Bruxelles, 1920.

Les Notes d'Histoire des Mathématiques du P. Lefebvre ont toutes paru dans la REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. L'auteur vient d'avoir l'idée excellente de les réunir en volume. Il dit dans sa PREFACE au lecteur :

<«Datant non pas d'hier, mais d'avant-hier et, d'ailleurs, écrites sans la prétention à une irréprochable exactitude, ces Notes eussent gagné à être munies, en de fréquents endroits, de lignes additionnelles et, en d'autres, de corrections attentives. Mais, telles qu'elles sont, il a paru qu'elles restent de nature à être utiles à plus d'un professeur et à plus d'un étudiant; elles pourront d'autre part compléter l'Aperçu historique qui ouvre. notre Cours développé d'Algèbre élémentaire. (Namur, 1887.) La Table analytique des Matières qui précède ces Notes d'Histoire, permettra d'en retirer des services...

» Nous aimons de ne point clore cette Préface, sans saluer, avec gratitude et avec tristesse, le souvenir de l'inestimable Bibliothèque de l'Université de Louvain, anéantie par la torche allemande en la nuit inoubliable du 25 an 26 août 1914, première nuit du sac de notre ville. C'est aux pieds des travées de cette Bibliothèque et auprès de ses armoires que bon nombre des simples Notes qui suivent, avaient été écrites: le Lecteur verra, plus d'une fois, mentionnée cette origine, s'il fait à ces Notes, ou à leur Table des Matières, l'honneur de les parcourir. >>

Je me rallie complètement à cette Préface et à toutes les idées qui y sont émises. A l'occasion du présent compte rendu, je viens de relire les Notes du P. Lefebvre; je ne puis que lui affirmer le plaisir que j'y ai pris.

A la lecture des premiers articles on voit que l'auteur avait

d'abord l'intention de faire une critique rapide de l'Histoire des Mathématiques de Rouse Ball; mais il l'abandonne bientôt pour étudier différents chapitres que l'auteur anglais avait très peu

traités.

Sauf quelques légères erreurs de détail, auxquelles le P. Lefebvre fait allusion dans sa Préface, tout est bon dans le travail de mon érudit confrère. Plusieurs pages sont magistrales, notamment celles dans lesquelles est fait le tableau de l'état des mathématiques dans notre patrie pendant le haut Moyen Age (Ch. IX et XI). Aucun professeur belge ne devrait les ignorer. Les Notes n'avaient ni divisions en chapitres, ni titres, ni en-tèles d'aucune sorte. La Table des Matières non seulement comble cette lacune, mais les titres des chapitres sont suivis de résumés très développés qui rendent facile l'utilisation du livre. Elle occupe trois pages en tête du volume. Nous en reproduisons ici les en-têtes des chapitres, avec renvois aux livraisons et pages correspondantes de la REVUE:

1. Les Historiens des Sciences mathématiques, juillet 1907, p. 594. — II. Les Mathématiques orientales, ibid., p. 598. La Mathématique grecque, ibid., p. 599. Les Mathématiques Hindoues, p. 605. — III. Les Mathématiques à Rome, janvier 1908, p. 252. Les Mathématiques byzantines, ibid., p. 258. Les Mathématiques arabes, ibid., p. 269. IV. La Numération écrite chez les Grecs et chez les Romains, et dans le haut Moyen Age, avril 1908, p. 558. V. Origine hindoue de nos Chiffres, ibid., p. 569. VI. Nos Chiffres à travers les âges, juillet 1908, p. 228. VII. Les Mathématiques au Moyen Age, ibid., p. 231. VIII. Le haut Moyen Age, octobre 1908, p. 564. - IX. Les Mathématiques en nos contrées aux temps de Pepin le Bref et de Charlemagne, avril 1903, p. 599. X. Le moine Gerbert (Sylvestre II), ibid., p. 609. - XI. Les Sciences exactes chez les Belges après Charlemagne, ibid., p. 617, et janvier 1910, p. 264. -XII. Première Renaissance des Mathématiques dans l'Europe chrétienne aux XII et XIII siècles, avril 1910, p. 606. XIII. L'Europe entre en possession des Mathématiques arabes, avril 1911, p. 600. XIV. Les Arabisants de l'École de Tolède au XIIe siècle, octobre 1911, p. 572.

Faisons des vœux pour que ces Notes d'Histoire des Mathématiques ne soient pas les dernières que l'auteur nous réserve!

H. BOSMANS.

VIII

THEORIE DES Hélices propULSIVES MARINES ET AÉRIENNES ET DES AVIONS EN VOL RECTILIGNE, par A. RATEAU, membre de l'Académie des Sciences. Un vol. in-8° de VIII-159 pages. - Paris, GauthierVillars, 1920.

M. Rateau est l'un des représentants les plus illustres de l'union de la science pure et de la science appliquée. Lorsque, la dernière année de la guerre, l'Académie des Sciences de Paris créa une nouvelle section, celle des applications de la science à l'industrie, le nom de M. Rateau fut parmi les premiers qu'elle retint sur sa liste. Un ouvrage qui se présente sous un pareil patronage ne peut manquer de fixer l'attention. On est certain d'y trouver des vues originales et profondes et des résultats pratiques.

Cet ouvrage est divisé en deux Parties:

1° Théorie des hélices propulsives ;

2o Théorie des avions en vol rectiligne. Analysons-les successivement.

La théorie des hélices est une œuvre absolument originale et elle se partage en quatre articles : 1° Les hypothèses simplificatives; 2' La théorie mathématique; 3° La discussion des formules; 4 la comparaison avec l'expérience.

Le mouvement de l'hélice dans un fluide est un phénomène infiniment complexe, imparfaitement connu et inabordable par le calcul. Ce qui fait l'originalité de la théorie actuelle, ce sont les hypothèses simplificatives que l'auteur introduit dès le début et dont voici les éléments essentiels. M. Rateau admet que tout l'effet d'un élément de l'hélice sur le milieu ambiant consiste à faire passer une certaine tranche d'air ou d'eau d'un certain état dynamique uniforme à un autre état dynamique uniforme. Connaissant le volume de cette tranche et la modification que subit sa vitesse en grandeur et en direction, on en déduit le recul, la poussée, le moment résistant et le rendement de l'appareil par des calculs simples. Ces hypothèses ne laissent subsister dans les formules que deux paramètres expérimentaux: un coefficient k dont dépend l'épaisseur de la tranche fluide et un autre coefficient € dont dépend la réduction de la vitesse. On obtient ainsi, en fonction du recul, les expressions de la poussée, du moment résistant et du rendement, expressions qui sont d'une simplicité

inattendue et toutes propres pour le calcul. Mais quelle confiance méritent-elles? Quelle est la valeur réelle des hypothèses et de la théorie ? C'est à l'expérience seule de répondre.

Dans l'article 3, l'auteur discute les formules trouvées. Il étudie les conditions du meilleur rendement et il éclaire toute cette discussion par des diagrammes qui donnent une image extrêmement claire des conséquences de la théorie. Vient alors, dans l'article 4, le contrôle de l'expérience.

Le savant théoricien s'adresse aux expérimentateurs les plus autorisés de France, d'Angleterre et d'Amérique. Il compare ses résultats avec leurs mesures, ses diagrammes avec les graphiques enregistrés et il conclut :

«Toutes les particularités, même les plus singulières, du fonctionnement de ces propulseurs, sont parfaitement. éclaircies par notre théorie. Les formules qui s'en déduisent s'accordent bien avec les résultats expérimentaux, d'autant mieux que ces résultats sont plus précis et que le tracé et l'exécution des hélices sont plus corrects ».

«Notre théorie, et les hypothèses ou concepts sur lesquels nous les fondons, n'ont pas d'autre objet, et c'est capital, que d'établir un guide permettant de rechercher les valeurs que prennent les coefficients suivant les formes et les dimensions de l'hélice, et par là de voir comment ils se modifient lorsque les formes changent. Nous avons pu ainsi déterminer ces valeurs qui, avec une approximation déjà suffisante, nous semble-t-il, pour la pratique, ne dépendent que de deux paramètres physiques le coefficient k d'influence et le coefficient e de diminution moyenne des vitesses relatives; et encore devonsnous penser que k varie peu d'une hélice à l'autre, en sorte que, peut-être, il suffit de lui assigner des valeurs fixes pour l'eau, d'une part, et pour l'air, d'autre part.

«Il ne paraît pas possible de simplifier davantage ».

Je passe à la deuxième partie : Théorie du vol rectiligne des aeroplanes en palier et en montée.

L'auteur nous avertit que cette partie a été rédigée avant la première, dont elle peut cependant être considérée comme une application. En particulier, la formule de détermination du couple résistant de l'hélice y joue un rôle important. Mais cette partie reproduit, avec des additions et des modifications plus ou moins importantes, les quatre communications présentées par l'auteur à l'Académie des sciences de Paris, en juin et juillet 1919.

Les principales questions étudiées dans le vol horizontal sont : l'incidence du vol au plafond, les variations du plafond avec celles du poids de l'avion et du couple moteur, enfin la vitesse au plafond. Dans le vol en montée, c'est la vitesse ascensionnelle et les meilleures conditions pour la rendre rapide qui sont particulièrement étudiées. L'auteur reprend, après coup, ces mêmes questions en tenant compte de l'obliquité de l'axe de l'hélice sur la trajectoire, obliquité considérée comme négligeable en première approximation.

Il est inutile d'entrer ici dans plus de détails. Ce qui précède suffit pour montrer que la lecture du Livre se recommande à tous ceux qui s'intéressent à la théorie de l'aéroplane, et qu'elle s'impose à ceux qui auraient l'ambition de la faire progresser.

C. DE LA VALLÉE POUSSIN.

IX

Un vol.

UTILISATION DES VAPEURS D'ÉCHAPPEMENT DANS LES HOUILLÈRES EN VUE DE LA PRODUCTION D'ÉNERGIE ÉLECTRIQUE, par A. BARJOU, chef du service des machines aux mines de Carmaux. in-12 de 89 pages, avec 31 figures dans le texte. Gauthier-Villars, 1920.

Paris,

L'utilisation des chaleurs perdues est à l'ordre du jour, car elle s'impose plus que jamais, en raison même de la pénurie des combustibles dont nous souffrons si cruellement à l'heure présente le livre de M. Barjou est donc d'une prenante actualité.

Un grand nombre de houillères ont encore en service des machines d'extraction, à vapeur, à échappement libre, qui consomment moyennement 25 à 30 kilos de vapeur par cheval-heure utile en charbon extrait, dans les meilleures conditions de fonctionnement la récupération des calories, jetées à l'air, conduit à une économie d'au moins dix pour cent, dont il est inutile de souligner l'importance. Le procédé adopté par M. Rateau et par MM. Harlé et Cie consiste à accumuler dans un appareil approprié les flux d'échappement discontinus des machines à marche intermittente, de façon à obtenir à sa sortie un flux de vapeur régulier, qu'on utilise ensuite dans une machine secondaire, généralement une turbine à basse pression, pourvue d'un condenseur.